جيا وكوتي جيا وأوتكراما جيا

جيا ، وكوتي-جيا، وأوتكراما -جيا هي ثلاثدوال مثلثيةقدمهاعلماء الرياضياتوالفلك الهنود. وأقدم كتاب هندي معروف يتضمن إشارات إلى هذه الدوال هوسوريا سيدانتا. ^{[ 1 ]} وهي دوال لأقواس الدوائر وليست دوالًا للزوايا.ترتبط جيا وكوتي -جيا ارتباطًاالجيبوجيبالتمامالمثلثية. في الواقع، تعود أصول مصطلحي "الجيب" و"جيب التمام" الحديثين إلىالكلمتينالسنسكريتيتين جيا وكوتي -جيا . ^{[ 1 ]}

لنفترض أن القوس AB يمثل قوسًا طرفاه A و B في دائرة مركزها O. إذا سقط عمود BM من B إلى OA ، فإن:

• زاوية القوس AB = BM
• كوتي-جيا من القوس AB = OM
• utkrama-jyā of arc AB = MA

إذا كان نصف قطر الدائرة R وطول القوس AB هو s ، فإن الزاوية المقابلة للقوس AB عند النقطة O ، مقاسة بالراديان، هي θ = s / R. وترتبط الدوال الهندية الثلاث بالدوال المثلثية الحديثة كما يلي:

• jyā ( arc AB ) = R sin ( s / R )
• koti-jyā ( arc AB ) = R cos ( s / R )
• أوكراما-جيا ( قوس AB ) = R ( 1 − cos ( s / R ) ) = R فيرسين ( s / R )

يشبه قوس الدائرة القوس، ولذا يُسمى " دهانو " أو "تشابا"، وهي كلمة سنسكريتية تعني "قوس". أما الخط المستقيم الواصل بين طرفي قوس الدائرة فيشبه وتر القوس، وهو وتر الدائرة. يُسمى هذا الوتر " جيا" ، وهي كلمة سنسكريتية تعني "وتر القوس"، ويُفترض أنها ترجمة لكلمة " χορδή " التي استخدمها هيبارخوس بنفس المعنى . كما تُستخدم كلمة "جيفا" كمرادف لكلمة "جيا" في الأدبيات الهندسية. ^{[ 2 ]} في مرحلة ما، أدرك علماء الفلك والرياضيات الهنود أن الحسابات ستكون أسهل باستخدام أنصاف الأوتار بدلًا من الأوتار الكاملة، وربطوا أنصاف الأوتار بأنصاف الأقواس. ^{[ 1 ] [ 3 ]} كانت أنصاف الأوتار تسمى ardha-jyā s أو jyā-ardha s. تم اختصار هذه المصطلحات مرة أخرى إلى jyā عن طريق حذف الصفة ardha التي تعني "نصف".

كلمة "كوتي" السنسكريتية تعني "نقطة، رأس مدبب"، وتحديدًا " الطرف المنحني للقوس ". في علم المثلثات، أصبحت تُشير إلى "مُتمِّم القوس الذي قياسه 90 درجة ". وبالتالي ، فإن "كوتي-جيا " تعني " جيا القوس المُتمِّم". في المؤلفات الهندية، وخاصة في الشروح، غالبًا ما يُختصر مصطلح "كوتي-جيا" إلى "كوجيا" . كما يُشير مصطلح "كوتي " أيضًا إلى "ضلع المثلث القائم الزاوية". لذا، يُمكن أن تعني "كوتي-جيا" أيضًا الضلع الآخر في المثلث القائم الزاوية، حيث يكون الضلع الأول هو "جيا" . ^{[ 1 ]}

تعني كلمة " أوتكراما " "مقلوب"، وبالتالي فإن "أوتكراما-جيا " تعني "وتر مقلوب". تُشتقالقيم الجدولية لـ "أوتكراما-جيا" من القيم الجدولية لـ "جيا" عن طريق طرح العناصر من نصف القطر بترتيب عكسي.هذا هو في الواقعالسهم بين القوس ووتر القوس، ومن هنا جاءت تسميته أيضًا بـ"بانا " أو "إيشو" أو " شارا "، وكلها تعني "سهم". ^{[ 1 ]}

يُطلق على قوس الدائرة الذي يُقابل زاوية 90° في المركز اسم " فريتا-بادا" (مربع الدائرة). يُحدد كل برج من الأبراج قوسًا طوله 30° ، وتُحدد ثلاثة أبراج متتالية " فريتا-بادا" . يُعرف "جيا" في "فريتا-بادا" بأنه نصف قطر الدائرة. وقد صاغ علماء الفلك الهنود مصطلح "تري-جيا" للدلالة على نصف قطر الدائرة الأساسية، حيث يشير مصطلح "تري-جيا " إلى " جيا الأبراج الثلاثة". يُطلق على نصف القطر أيضًا أسماء مثل "فياساردا " و "فيشكامبهاردا " و "فيستاراردا "، وغيرها، وكلها تعني "نصف القطر". ^{[ 1 ]}

بحسب أحد الاصطلاحات، يُرمز للدالتين jyā و koti-jyā على التوالي بـ "Rsin" و "Rcos" ككلمة واحدة. ^{[ 1 ]} بينما يرمز لهما آخرون بـ "Sin" و "Cos" على التوالي (حيث تكون الأحرف الأولى كبيرة، على عكس كونها صغيرة في دالتي الجيب وجيب التمام العاديتين). ^{[ 3 ]}

تعود أصول مصطلح الجيب الحديث إلى الكلمة السنسكريتية jyā ، ^{[ 4 ] [ 5 ]} أو تحديدًا إلى مرادفها jīvá . وقد اعتُمد هذا المصطلح في الرياضيات الإسلامية في العصور الوسطى ، ونُقل إلى العربية باسم جيب ( جيب ). ولأن اللغة العربية تُكتب بدون حركات قصيرة - ولأن الحركة الطويلة هنا مُستعارة ، فقد فُسِّر ذلك على أنه الكلمة المتجانسة jaib ، جيب ( جيب )، والتي تعني "صدر". استخدم مترجم النص اللاتيني في القرن الثاني عشر المقابل اللاتيني لكلمة "صدر"، وهو sinus . ^{[ 6 ]} عندما تحولت jyā إلى sinus ، اقتُرح أنه قياسًا على ذلك، أصبحت kojyā هي co-sinus . ومع ذلك، في نصوص العصور الوسطى المبكرة، يُطلق على جيب التمام اسم complementi sinus "جيب المتمم"، مما يشير إلى أن التشابه مع kojyā هو من قبيل الصدفة. ^{[ 7 ]}

• فيرسين