نظرية فاريجنون

في الهندسة الإقليدية ، تنص نظرية فارينيون على أن نقاط المنتصف لأضلاع الشكل الرباعي التعسفي تشكل متوازي أضلاع ، يسمى متوازي أضلاع فارينيون . وقد سُمي على اسم بيير فارينيون ، الذي نُشر إثباته بعد وفاته في عام 1731. ^[1]

تشكل نقاط منتصف أضلاع الشكل الرباعي العشوائي متوازي أضلاع. إذا كان الشكل الرباعي محدبًا أو مقعرًا (غير مركب )، فإن مساحة متوازي الأضلاع تساوي نصف مساحة الشكل الرباعي.

إذا قدمنا ​​مفهوم المساحات الموجهة لـ n ضلع ، فإن مساواة المساحة هذه تنطبق أيضًا على الأشكال الرباعية المعقدة. ^[2]

يوجد متوازي أضلاع فارينيون حتى في رباعي الأضلاع المائل ، وهو مستوي سواء كان الرباعي مستويًا أم لا. يمكن تعميم النظرية على مضلع منتصف مضلع عشوائي.

بالإشارة إلى الرسم البياني أعلاه، فإن المثلثين ADC و HDG متشابهان وفقًا لمعيار الضلع-الزاوية-الضلع، وبالتالي فإن الزاويتين DAC و DHG متساويتان، مما يجعل HG موازية لـ AC . وبنفس الطريقة فإن EF موازية لـ AC ، وبالتالي فإن HG و EF متوازيان مع بعضهما البعض؛ وينطبق الشيء نفسه على HE و GF .

يمكن أيضًا إثبات نظرية فاريجنون باعتبارها نظرية في الهندسة التآلفية منظمة كجبر خطي مع اقتصار التركيبات الخطية على معاملات مجموعها 1، وتسمى أيضًا إحداثيات تآلفية أو إحداثيات مركزية . ينطبق الإثبات حتى على الأشكال الرباعية المائلة في فضاءات أي بُعد.

تكتمل أي ثلاث نقاط E و F و G إلى متوازي أضلاع (يقع في المستوى الذي يحتوي على E و F و  G ) بأخذ رأسه الرابع ليكون E  −  F  +  G. في إنشاء متوازي أضلاع فاريجنون، تكون هذه هي النقطة ( A  +  B )/2 − ( B  +  C )/2 + ( C  +  D )/2 = ( A  +  D )/2. ولكن هذه هي النقطة H في الشكل، ومن ثم يشكل EFGH متوازي أضلاع.

باختصار، مركز ثقل النقاط الأربع A و B و C و D هو نقطة منتصف كل من القطرين EG و FH في EFGH ، مما يدل على تطابق نقاط المنتصف.

من الإثبات الأول، يمكننا أن نرى أن مجموع الأقطار يساوي محيط متوازي الأضلاع المتكون. كما يمكننا استخدام متجهات تساوي نصف طول كل ضلع لتحديد مساحة الشكل الرباعي أولاً، ثم لإيجاد مساحات المثلثات الأربعة مقسومة على كل ضلع من أضلاع متوازي الأضلاع الداخلي.

شكل رباعي محدب	شكل رباعي مقعر	شكل رباعي متقاطع

يحتوي متوازي أضلاع فارينيون المستوي أيضًا على الخصائص التالية:

• كل زوج من الأضلاع المتقابلة في متوازي أضلاع فارينيون متوازيان مع قطر في الشكل الرباعي الأصلي.
• طول أحد أضلاع متوازي أضلاع فاريجنون يساوي نصف طول القطر في الشكل الرباعي الأصلي الموازي له.
• تساوي مساحة متوازي أضلاع فارينيون نصف مساحة الشكل الرباعي الأصلي. وهذا صحيح في الأشكال الرباعية المحدبة والمقعرة والمتقاطعة بشرط أن تكون مساحة الشكل الرباعي المتقاطع هي الفرق بين مساحتي المثلثين اللذين يتكون منهما. ^[2]
• محيط متوازي أضلاع فاريجنون يساوي مجموع أقطار الشكل الرباعي الأصلي.
• أقطار متوازي أضلاع فارينيون هي متوسطات الشكل الرباعي الأصلي.
• المتوسطان في الشكل الرباعي والقطعة المستقيمة التي تصل بين منتصفي الأقطار في ذلك الشكل الرباعي متزامنان ويقسمهما نقطة تقاطعهما. ^{[3] : ص 125}

في شكل رباعي محدب بأضلاعه أ ، ب ، ج ، د ، يكون طول الخط المتوسط ​​الذي يربط بين نقطتي منتصف الضلعين أ وج هو

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}}$

حيث p و q هما طول القطرين. ^[4] طول الخط المتوسط ​​الذي يربط بين نقطتي منتصف الضلعين b و d هو

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.}$

ومن هنا ^{[3] : ص126}

${\displaystyle \displaystyle ص2+س2=2(م2+ن2).}$

وهذا أيضًا نتيجة تكميلية لقانون متوازي الأضلاع المطبق في متوازي الأضلاع لفاريجنون.

يمكن أيضًا التعبير عن أطوال المتوسطات الثنائية من حيث ضلعين متقابلين والمسافة x بين نقاط منتصف القطرين. وهذا ممكن عند استخدام نظرية أويلر الرباعية في الصيغ أعلاه. ومن هنا ^[5]

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}$

و

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}$

إن الجانبين المتقابلين في هذه الصيغ ليسا الاثنين اللذين يربطهما المتوسط ​​الثنائي.

في الشكل الرباعي المحدب، يوجد الاتصال المزدوج التالي بين المتوسطين والقطرين: ^[6]

• يكون للمتوسطين الطول نفسه إذا وفقط إذا كان القطران متعامدين .
• يكون المستقيمان المتوسطان متعامدين إذا وفقط إذا كان القطران متساويان في الطول.

متوازي أضلاع فارينيون هو معين إذا وفقط إذا كان قطري الشكل الرباعي متساويان في الطول، أي إذا كان الشكل الرباعي رباعي الأضلاع متساوي الأضلاع . ^[7]

متوازي أضلاع فارينيون هو مستطيل إذا وفقط إذا كانت أقطار الشكل الرباعي متعامدة ، أي إذا كان الشكل الرباعي رباعيًا قطريًا متعامدًا . ^{[6] : ص 14  [7] : ص 169}

بالنسبة للرباعي المتقاطع ذاتيًا ، يمكن أن يتحلل متوازي أضلاع فارينيون إلى أربع نقاط متوازية، مكونًا بذلك قطعة مستقيمة تم قطعها مرتين. يحدث هذا كلما تم تشكيل المضلع عن طريق استبدال ضلعين متوازيين من شبه المنحرف بقطري شبه المنحرف، كما هو الحال في متوازي الأضلاع المضاد . ^[8]

• إنشاء منصف عمودي لشكل رباعي ، طريقة مختلفة لتشكيل شكل رباعي آخر من شكل رباعي معين
• نظرية مورلي للثلاثيات ، وهي نظرية ذات صلة بالمثلثات

• HSM Coxeter, SL Greitzer: Geometry Revisited . MAA, Washington 1967, pp. 52-54
• بيتر ن. أوليفر: عواقب نظرية متوازي الأضلاع فارينيون. مدرس الرياضيات، الفرقة 94، العدد 5، مايو 2001، ص 406-408

• وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية فاريجنون". MathWorld .
• متوازي أضلاع فارينيون في الهندسة المختصرة
• تعميم لنظرية فارينيون على 2n-gons وعلى 3D في رسومات الهندسة الديناميكية، رسومات الهندسة الديناميكية التفاعلية.
• متوازي أضلاع فارينيون في موقع cut-the-knot-org