متوازي الأضلاع المضاد

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 14 صور
الموسوعة الحرة

متوازي أضلاع مضاد ، تم رسم القطرين p و q باستخدام خطوط منقطة، والارتفاع h عمودي عليهما.

في الهندسة ، يُعدّ متوازي الأضلاع المضاد نوعًا من الأشكال الرباعية المتقاطعة ذاتيًا . وكما هو الحال في متوازي الأضلاع ، يحتوي متوازي الأضلاع المضاد على زوجين متقابلين من الأضلاع المتساوية في الطول، ولكن هذه الأزواج من الأضلاع ليست متوازية بشكل عام . بل إن كل زوج من الأضلاع يكون متعاكسًا بالنسبة للآخر، حيث يتقاطع الضلعان في الزوج الأطول كما في آلية المقص . وبينما تكون الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية وموجهة في نفس الاتجاه، فإن زوايا متوازي الأضلاع المضاد متساوية ولكنها متعاكسة الاتجاه. ويُطلق على متوازيات الأضلاع المضادة أيضًا اسم متوازيات الأضلاع المتقابلة [ 1 ] أو متوازيات الأضلاع المتقاطعة [ 2 ] .

تظهر الأشكال المتوازية المضادة كأشكال رؤوس لبعض المجسمات المنتظمة غير المحدبة . في نظرية الوصلات الرباعية ، تُسمى الوصلات ذات الشكل المتوازي المضاد أيضًا بالوصلات الفراشية أو وصلات ربطة العنق ، وتُستخدم في تصميم التروس غير الدائرية . في علم الميكانيكا السماوية ، تظهر هذه الأشكال في بعض عائلات حلول مسألة الأجسام الأربعة .

لكل شكل مضاد لمتوازي الأضلاع محور تناظر ، وتقع رؤوسه الأربعة على دائرة. ويمكن تكوينه من شبه منحرف متساوي الساقين بجمع قطريه وإزالة ضلعين متوازيين. ومساحة كل شكل مضاد لمتوازي الأضلاع تساوي صفرًا.

الخصائص الهندسية

ثلاث دوائر مرتبطة بمتوازي أضلاع مضاد

المتوازي المضاد هو حالة خاصة من الأشكال الرباعية المتقاطعة ، حيث يكون لكل زوج من الأضلاع أطوال متساوية. [ 3 ] بشكل عام، يمكن أن تحتوي الأشكال الرباعية المتقاطعة على أضلاع غير متساوية. [ 3 ] من الأشكال الخاصة للمتوازي المضاد المستطيلات المتقاطعة والمربعات المتقاطعة، والتي تُحصل عليها باستبدال ضلعين متقابلين في المستطيل أو المربع بالقطرين. في هذه الأشكال، يكون الضلعان غير المتقاطعين متوازيين ومتساويين. [ 4 ] كل متوازي مضاد هو شكل رباعي دائري ، أي أن رؤوسه الأربعة تقع جميعها على دائرة واحدة . [ 3 ] بالإضافة إلى ذلك، فإن الأضلاع الأربعة الممتدة لأي متوازي مضاد هي مماسات ثنائية لدائرتين، مما يجعل المتوازيات المضادة وثيقة الصلة بالأشكال الرباعية المماسية ، والأشكال الرباعية شبه المماسية ، والطائرات الورقية (التي هي مماسية وشبه مماسية). [ 5 ]

لكل متوازي أضلاع مضاد محور تناظر يمر بنقطة تقاطعه. وبسبب هذا التناظر، يحتوي على زوجين من الزوايا المتساوية وزوجين من الأضلاع المتساوية. [ 2 ] تقع منتصفات أضلاعه الأربعة على خط عمودي على محور التناظر؛ أي أن متوازي أضلاع فارينيون ، بالنسبة لهذا النوع من الأشكال الرباعية، هو شكل رباعي منحط مساحته صفر، ويتكون من أربع نقاط تقع على خط مستقيم واحد. [ 6 ] [ 7 ] الغلاف المحدب لمتوازي الأضلاع المضاد هو شبه منحرف متساوي الساقين ، ويمكن تكوين أي متوازي أضلاع مضاد من شبه منحرف متساوي الساقين (أو حالاته الخاصة، المستطيلات والمربعات) باستبدال ضلعين متوازيين بقطري شبه المنحرف. [ 4 ]

لأن متوازي الأضلاع العكسي يُشكّل منطقتين مثلثيتين متطابقتين في المستوى، ولكنه يلتف حول هاتين المنطقتين في اتجاهين متعاكسين، فإن مساحته الموجبة هي الفرق بين مساحتي المنطقتين، وبالتالي تساوي صفرًا. [ 7 ] أما المساحة السالبة للمضلع (المساحة الكلية التي يُحيط بها) فهي مجموع هاتين المساحتين، وليست الفرق بينهما. بالنسبة لمتوازي أضلاع عكسي ذي قطرين متوازيين طولهما...ص{\displaystyle p}وq{\displaystyle q}، مفصولة حسب الارتفاعح{\displaystyle h}هذا المجموع هوحصq/(ص+q){\displaystyle hpq/(p+q)}[ 4 ] يتبين من تطبيق متباينة المثلث على هاتين المنطقتين المثلثيتين أن زوج الحواف المتقاطعة في متوازي الأضلاع المضاد يجب أن يكون دائمًا أطول من الحافتين غير المتقاطعتين. [ 8 ]

التطبيقات

في متعددات السطوح

مجسم سداسي صغير . يؤدي قطع أحد رؤوسه إلى الحصول على مقطع عرضي الرأسمتوازي أضلاع .
معين سداسي صغير ، وهو متعدد السطوح ذو أوجه متوازية الأضلاع (مكونة من أزواج من المثلثات المستوية).
ثماني السطوح بريكارد مبني على شكل هرم مزدوج فوق متوازي أضلاع مضاد .

تتخذ العديد من المجسمات المنتظمة غير المحدبة ، بما في ذلك رباعي نصف سداسي الأوجه ، ومكعب نصف ثماني الأوجه ، وثماني نصف ثماني الأوجه ، ومعين سداسي الأوجه صغير ، وعشروني نصف اثني عشري الأوجه صغير ، واثني عشري نصف اثني عشري الأوجه صغير ، أشكالاً متوازية الأضلاع كأشكال رؤوسها ، وهي المقاطع العرضية المتكونة من تقطيع المجسم بمستوى يمر بالقرب من أحد الرؤوس، عموديًا على المحور بين الرأس والمركز. [ 9 ]

يمكن بناء أحد أشكال متعدد السطوح غير المنتظم ولكنه مرن ، وهو ثماني السطوح بريكارد ، على شكل هرم مزدوج فوق متوازي أضلاع مضاد. [ 10 ]

وصلات رباعية القضبان

وصلة متوازية الأضلاع معكوسة، مثبتة عند منتصفاتها لمنعها من الانفصال. [ 11 ] يلزم ثلاث وصلات فقط عند المنتصف. تشير الوصلات المنقطة إلى الوصلة الأخيرة المطلوبة للوصلة الرابعة.

استُخدم الشكل المضاد لمتوازي الأضلاع كنوع من أنواع الوصلات الرباعية ، حيث تدور أربعة عوارض صلبة ذات أطوال ثابتة (أضلاع الشكل المضاد لمتوازي الأضلاع الأربعة) حول بعضها البعض عند مفاصل تقع عند رؤوس الشكل المضاد لمتوازي الأضلاع الأربعة. ويُطلق عليه في هذا السياق أيضًا اسم وصلة الفراشة أو وصلة ربطة العنق . وكوصلة، توجد نقطة عدم استقرار يمكن عندها تحويله إلى متوازي أضلاع والعكس صحيح، ولكن يمكن تدعيم أي من هاتين الوصلتين لمنع هذا عدم الاستقرار. [ 12 ] [ 11 ]

في كلتا الوصلتين، متوازية الأضلاع ومضادة متوازية الأضلاع، إذا ثُبِّت أحد الضلعين الطويلين (المتقاطعين) للوصلة كقاعدة، فإن المفاصل الحرة تتحرك على دوائر متساوية، ولكن في متوازي الأضلاع تتحرك في نفس الاتجاه وبسرعات متساوية، بينما في مضاد متوازية الأضلاع تتحرك في اتجاهين متعاكسين وبسرعات غير متساوية. [ 13 ] وكما اكتشف جيمس وات ، إذا ثُبِّت الضلع الطويل لمضاد متوازية الأضلاع بهذه الطريقة، فإن نقطة منتصف الضلع الطويل غير المثبت سترسم منحنى ليمنيسكات أو منحنى على شكل الرقم ثمانية. أما بالنسبة لمضاد متوازية الأضلاع المُشكَّل من أضلاع وقطر مربع، فهو منحنى ليمنيسكات برنولي . [ 14 ] [ 15 ]

يُعدّ متوازي الأضلاع المضاد، ذو الضلع الطويل الثابت، أحد أنواع وصلات وات . [ 14 ] ويُمثّل متوازي الأضلاع المضاد سمةً مهمةً في تصميم عاكس هارت ، وهو وصلة (مثل وصلة بوسيليه-ليبكين ) قادرة على تحويل الحركة الدورانية إلى حركة خطية. [ 16 ] كما يُمكن استخدام وصلة على شكل متوازي أضلاع مضاد لربط محوري مركبة رباعية العجلات، مما يُقلّل نصف قطر دوران المركبة مقارنةً بنظام تعليق يسمح بدوران محور واحد فقط. [ 2 ] وقد استُخدم زوج من متوازيات الأضلاع المضادة المتداخلة في وصلة عرّفها ألفريد كيمب كجزء من نظرية كيمب الشاملة ، التي تنص على أنه يُمكن رسم أي منحنى جبري بواسطة مفاصل وصلة مُعرّفة بشكل مناسب. أطلق كيمبي على وصلة متوازي الأضلاع المتداخلة اسم "المضاعف"، إذ يمكن استخدامها لضرب زاوية في عدد صحيح. [ 1 ] وعند استخدامها في الاتجاه المعاكس، أي لتقسيم الزوايا، يمكن استخدامها لتثليث الزاوية (وإن لم يكن ذلك ممكنًا باستخدام المسطرة والفرجار ). [ 17 ] أغفلت الإنشاءات الأصلية لكيمبي باستخدام هذه الوصلة عدم استقرار متوازي الأضلاع-متوازي الأضلاع المضاد، لكن تدعيم الوصلات يُصلح برهانه لنظرية الشمولية. [ 12 ]

تصميم التروس

يؤدي تثبيت الحافة القصيرة لوصلة متوازية الأضلاع إلى رسم نقطة التقاطع لشكل بيضاوي . هذه الأشكال البيضاوية هي مراكز الوصلة.
تروس بيضاوية تعتمد على حركة وصلة متوازية الأضلاع المضادة

لنفترض أن أحد ضلعي آلية متوازي الأضلاع المضاد غير المتقاطعين مثبت في مكانه، بينما يتحرك باقي الآلية بحرية. عند تحرك الآلية، يمكن تقسيم كل متوازي أضلاع مضاد مُشكَّل إلى مثلثين متطابقين يلتقيان عند نقطة التقاطع. في المثلث المُشكَّل من الضلع الثابت، يكون مجموع طولي الضلعين المتحركين مساويًا لطول ثابت لأحد ضلعي متوازي الأضلاع المضاد المتقاطعين، وبالتالي ترسم نقطة التقاطع المتحركة قطعًا ناقصًا بؤرتاه هما النقطتان الثابتتان. وبالمثل، فإن الضلع الثاني (المتحرك) غير المتقاطع لمتوازي الأضلاع المضاد له بؤرتا قطع ناقص ثانٍ، مُشكَّل من الأول بانعكاسه حول خط مماس يمر بنقطة التقاطع. [ 2 ] [ 18 ] ولأن القطع الناقص الثاني يدور حول الأول، يمكن استخدام هذا التكوين للقطع الناقصة من حركة متوازي الأضلاع المضاد في تصميم التروس الإهليلجية التي تحول الدوران المنتظم إلى دوران غير منتظم أو العكس. [ 19 ]

الميكانيكا السماوية

في مسألة الأجسام المتعددة (n -body problem )، وهي دراسة حركة الكتل النقطية وفقًا لقانون نيوتن للجاذبية الكونية ، تلعب التكوينات المركزية دورًا هامًا. تُعرَّف التكوينات المركزية بأنها حلول لمسألة الأجسام المتعددة حيث تدور جميع الأجسام حول نقطة مركزية كما لو كانت متصلة ببعضها اتصالًا صلبًا. على سبيل المثال، بالنسبة لثلاثة أجسام، توجد خمسة حلول من هذا النوع، تُحددها نقاط لاغرانج الخمس . أما بالنسبة لأربعة أجسام، مع وجود زوجين من الأجسام متساوية الكتلة (مع تغير النسبة بين كتل الزوجين باستمرار)، تشير الأدلة العددية إلى وجود مجموعة متصلة من التكوينات المركزية، ترتبط فيما بينها بحركة آلية متوازية الأضلاع. [ 20 ]

مراجع

  1. 1 2 ديمين، إريك ؛ أورورك، جوزيف (2007)، خوارزميات الطي الهندسي ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 32-33 ، doi : 10.1017/CBO9780511735172 ، ISBN  978-0-521-85757-4MR 2354878​ 
  2. 1 2 3 4 براينت، جون؛ سانجوين، كريستوفر جيه. (2008)، "3.3 متوازي الأضلاع المتقاطع" ، ما مدى استدارة دائرتك؟ حيث يلتقي الهندسة والرياضيات ، مطبعة جامعة برينستون، ص 54-56 ، ISBN  978-0-691-13118-4.
  3. 1 2 3 بيجالا، إنجيل؛ بيروكا، أنطونيلا (2020)، "أساسيات الأشكال الرباعية الدورية"، Uitwiskeling ، جامعة لوكسمبورغ، hdl : 10993/43232
  4. 1 2 3 ألسينا، كلاودي؛ نيلسن، روجر ب. (2020)، وفرة من الأشكال الرباعية ، سلسلة دولسياني للعروض الرياضية، المجلد 55، بروفيدنس، رود آيلاند: مطبعة جمعية الرياضيات الأمريكية والجمعية الرياضية الأمريكية، ص 212، ISBN   978-1-4704-5312-1MR 4286138​ 
  5. ↑ ويلر، روجر ف. (1958)، "الأشكال الرباعية"، المجلة الرياضية ، 42 (342): 275-276 ، doi : 10.2307/3610439 ، JSTOR 3610439 ، S2CID 250434576  
  6. ↑ مويرهيد، آر إف (فبراير 1901)، "هندسة شبه المنحرف متساوي الساقين ومتوازي الأضلاع المعاكس، مع تطبيقات على هندسة القطع الناقص"، وقائع جمعية إدنبرة الرياضية ، 20 : 70-72 ، doi : 10.1017/s0013091500032892
  7. 1 2 دي فيلييرز، مايكل (2015)، "التغلب على 'وحش' هندسي: إيجاد مساحة شكل رباعي متقاطع"، تعلم وتدريس الرياضيات ، 2015 (18): 23-28 ، hdl : 10520/EJC175721
  8. ↑ يثبت نفس الاستدلال، بشكل أعم، أنه في أي شكل رباعي محدب (مثل شبه المنحرف متساوي الساقين الذي يُشتق منه متوازي الأضلاع العكسي)، يكون مجموع قطري الشكل أطول من مجموع أي ضلعين متقابلين. في شبه المنحرف متساوي الساقين، يتساوى القطران، وكذلك الضلعان المتقابلان، مما يُبسط هذه المتباينة. للاطلاع على استخدام متباينة المثلث لإثبات متباينة مجموع الأقطار، انظر على سبيل المثال: Demaine & O'Rourke (2007 ، ص 80).
  9. ↑ كوكسيتر، إتش إس إم ؛ لونغيت-هيغينز، إم إس ؛ ميلر، جيه سي بي (1954)، "المجسمات المنتظمة"، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ، العلوم الرياضية والفيزيائية ، 246 (916): 401-450 ، رمز Bibcode : 1954RSPTA.246..401C ، doi : 10.1098/rsta.1954.0003 ، JSTOR 91532 ، MR 0062446 ، S2CID 202575183   
  10. ^ ديمين وأورورك (2007) ، القسم 23.2، “متعددات الوجوه المرنة”، ص 345–348
  11. 1 2 أبوت، تيموثي جود ( 2008)، "3.1.2 متوازيات الأضلاع العكسية"، تعميمات نظرية كيمب العالمية (ملف PDF) (رسالة ماجستير)، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، ص 34-36 
  12. 1 2 سوسينسكي، أليكسي (2016)، "فضاءات التكوين للوصلات المستوية"، كتيب نظرية تايخمولر، المجلد السادس ، محاضرات IRMA في الرياضيات والفيزياء النظرية، المجلد 27، زيورخ: الجمعية الرياضية الأوروبية، الصفحات 335-373 ، MR 3618193   انظر الصفحة 359
  13. ↑ نورتون، روبرت ل. (2003)، تصميم الآلات ، ماكجرو هيل بروفيشنال، ص 51، ISBN  978-0-07-121496-4
  14. 1 2 براينت وسانغوين (2008) ، الصفحات 58-59
  15. ↑ كندي، هـ. مارتن (مارس 2005)، "89.23 منحنى برنولي"، المجلة الرياضية ، 89 (514): 89-93 ، doi : 10.1017/s0025557200176855 ، S2CID 125521872 
  16. ↑ ديكسمان، إي. أ. (1976)، هندسة حركة الآليات ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 203، رقم ISBN  9780521208413
  17. ↑ ييتس، روبرت سي. (مارس 1941)، "مسألة التثليث"، مجلة الرياضيات الوطنية ، 15 (6): 278-293 ، doi : 10.2307/3028413 ، JSTOR 3028413 
  18. ^ فان شوتن ، فرانس (1646) ، De Organica Conicarum sectionum In Plano descriptione، Tractatus. جيوميتريس، أوبتيسيس؛ عرض صحيح Gnomonicis وMechanicis Utilis. Cui subnexa est Appendix, de Cubicarum Æquationumsolutione , الصفحات 49-50 , 69-70 
  19. ↑ جلايسر، جورج (2020)، "متوازيات الأضلاع المضادة؛ ليس بالضرورة أن يكون الدوران منتظمًا دائمًا..."، الهندسة وتطبيقاتها في الفنون والطبيعة والتكنولوجيا ، دار نشر سبرينغر الدولية، ص 428-429 ، doi : 10.1007/978-3-030-61398-3 ، ISBN  978-3-030-61397-6، S2CID 241160811 
  20. ↑ غريبينيكوف، يفغيني أ.؛ إحسانوف، إرساين ف.؛ بروكوبينيا، ألكسندر ن. (2006)، "الحسابات العددية الرمزية في دراسة التكوينات المركزية في مسألة نيوتن الرباعية المستوية"، الجبر الحاسوبي في الحوسبة العلمية ، سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب، المجلد 4194، برلين: سبرينغر، الصفحات 192-204 ، doi : 10.1007/11870814_16 ، ISBN   978-3-540-45182-2MR 2279793​ 
  • شعار ويكيميديا ​​كومنزالوسائط المتعلقة بمتوازيات الأضلاع المضادة على ويكيميديا ​​كومنز