معين

في الهندسة ، المعين ( جمعها : معينات ) هو شكل رباعي متساوي الأضلاع ، أي أن أضلاعه الأربعة متساوية في الطول. ومن الأسماء الأخرى للمعين : الماس ، والزينون ، والكاليسون .

كل معين هو مضلع بسيط (لا يتقاطع مع نفسه). المعين حالة خاصة من متوازي الأضلاع والطائرة الورقية . المعين ذو الزوايا القائمة هو مربع . ^{[ أ ]} المعين غير المربع له زاويتان حادتان متقابلتان وزاويتان منفرجتان متقابلتان .

يُشتق اسم المعين من الكلمة اليونانية ῥόμβος (rhómbos) ، والتي تعني شيئًا يدور، مثل آلة هدير الثور أو نموذجًا قديمًا لآلة الدوران الزرية . ^{[ 2 ]} وقد استخدم كلٌ من إقليدس وأرخميدس هذه الكلمة ، كما استخدما مصطلح "المعين الصلب" للإشارة إلى المخروط المزدوج ، وهو عبارة عن مخروطين دائريين قائمين يشتركان في قاعدة واحدة. ^{[ 3 ]} المعين المستوي هو مقطع عرضي للمخروط المزدوج.

يُشتق اسم الألماس من شكل حجر الألماس الثماني الأوجه ؛ وقد سُميت مجموعة الألماس في أوراق اللعب نسبةً إلى هذا الشكل - وكان يُطلق عليها في الأصل اسم " كارو " (وتعني حرفيًا "المربعات") بالفرنسية. ^{[ 4 ]} وفي سياق الأشكال متعددة الأضلاع ، وهي أشكال تشبه متعددات الأضلاع ولكنها مُكوّنة من مثلثات متساوية الأضلاع، يكون الألماس معينًا بزاوية 60 درجة.

أصل كلمة "معين" غير مؤكد. قد تكون مشتقة من شكل بعض أنواع معجنات اللوز ، أو من شكل شواهد القبور. وغالبًا ما يُطلق على المعين تحديدًا شكل معين بزاوية 45 درجة.

الكاليسون هو نوع من الحلوى الفرنسية على شكل معين . ^{[ 5 ]}

يكون الشكل الرباعي البسيط (غير المتقاطع مع نفسه ) معينًا إذا وفقط إذا كان أيًا مما يلي: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

• متوازي أضلاع ينصف فيه قطر زاوية داخلية
• متوازي أضلاع يكون فيه ضلعان متتاليان على الأقل متساويان في الطول
• متوازي أضلاع تكون أقطاره متعامدة ( متوازي أضلاع متعامد الأقطار )
• شكل رباعي الأضلاع ذو أربعة أضلاع متساوية الطول (بحسب التعريف)
• شكل رباعي تكون أقطاره متعامدة وتنصف بعضها بعضًا
• شكل رباعي الأضلاع ينصف فيه كل قطر زاويتين داخليتين متقابلتين.
• الشكل الرباعي ABCD الذي يمتلك نقطة P في مستواه بحيث تكون المثلثات الأربعة ABP و BCP و CDP و DAP متطابقة ^{[ 8 ].}
• الشكل الرباعي ABCD الذي تشترك فيه الدوائر الداخلية في المثلثات ABC و BCD و CDA و DAB في نقطة واحدة ^{[ 9 ].}

لكل معين قطران يصلان بين كل زوج من الرؤوس المتقابلة، وزوجان من الأضلاع المتوازية. باستخدام تطابق المثلثات ، يمكن إثبات أن المعين متناظر حول كل قطر من هذه الأقطار. وعليه، فإن أي معين يتمتع بالخصائص التالية:

• الزوايا المتقابلة في المعين متساوية في القياس.
• قطرا المعين متعامدان ؛ أي أن المعين هو شكل رباعي الأضلاع متعامد .
• قطراها ينصفان الزوايا المتقابلة.

تُشير الخاصية الأولى إلى أن كل معين هو متوازي أضلاع. ولذلك، يتمتع المعين بجميع خصائص متوازي الأضلاع : على سبيل المثال، الأضلاع المتقابلة متوازية؛ الزوايا المتجاورة متكاملة ؛ القطران ينصف كل منهما الآخر؛ أي خط يمر بمنتصفهما ينصف مساحتهما؛ ومجموع مربعي طوليهما يساوي مجموع مربعي قطريهما ( قانون متوازي الأضلاع ). وبالتالي، إذا رمزنا للضلع المشترك بـ a وللقطرين بـ p و q ، فإن كل معين...

${\displaystyle \displaystyle 4a^{2}=p^{2}+q^{2}.}$

ليس كل متوازي أضلاع معينًا، مع أن أي متوازي أضلاع ذي قطرين متعامدين (الخاصية الثانية) هو معين. عمومًا، أي شكل رباعي ذي قطرين متعامدين، أحدهما محور تناظر، هو شكل طائرة ورقية . كل معين هو شكل طائرة ورقية، وأي شكل رباعي يكون شكل طائرة ورقية ومتوازي أضلاع في آن واحد هو معين.

المعين هو شكل رباعي مماس . ^{[ 10 ]} أي أنه يحتوي على دائرة داخلية مماسة لجميع جوانبه الأربعة.

يمكن التعبير عن طول القطرين p = AC و q = BD بدلالة طول ضلع المعين a وزاوية رأس واحدة α كما يلي:

${\displaystyle p=a{\sqrt {2+2\cos {\alpha }}}}$

و

${\displaystyle q=a{\sqrt {2-2\cos {\alpha }}}.}$

هذه الصيغ هي نتيجة مباشرة لقانون جيب التمام .

يمكن التعبير عن نصف القطر الداخلي (نصف قطر الدائرة المرسومة داخل المعين)، والذي يرمز له بـ r ، بدلالة القطرين p و q على النحو التالي ^{[ 10 ]}

${\displaystyle r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}},}$

أو بدلالة طول الضلع a وأي زاوية رأس α أو β كما

${\displaystyle r={\frac {a\sin \alpha }{2}}={\frac {a\sin \beta }{2}}.}$

كما هو الحال مع جميع متوازيات الأضلاع ، فإن مساحة المعين (K) هي حاصل ضرب قاعدته في ارتفاعه ( h ) . القاعدة هي ببساطة أي طول ضلع (a) .

${\displaystyle K=a\cdot h.}$

ويمكن التعبير عن المساحة أيضاً على أنها مربع القاعدة مضروباً في جيب أي زاوية:

${\displaystyle K=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta ,}$

أو من حيث الارتفاع وزاوية الرأس :

${\displaystyle K={\frac {h^{2}}{\sin \alpha }},}$

أو كنصف حاصل ضرب القطرين p و q :

${\displaystyle K={\frac {p\cdot q}{2}},}$

أو كنصف المحيط مضروبًا في نصف قطر الدائرة المرسومة داخل المعين (نصف القطر الداخلي):

${\displaystyle K=2a\cdot r.}$

هناك طريقة أخرى، مشتركة مع متوازيات الأضلاع، وهي اعتبار ضلعين متجاورين كمتجهين، مما يشكل متجهًا ثنائيًا ، وبالتالي فإن المساحة هي مقدار المتجه الثنائي (مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين)، وهو محدد الإحداثيات الديكارتية للمتجهين: K = x ₁ y ₂ – x ₂ y ₁ .

المضلع الثنائي للمعين هو مستطيل : ^{[ 11 ]}

• المعين له جميع الأضلاع متساوية، بينما المستطيل له جميع الزوايا متساوية.
• المعين له زوايا متقابلة متساوية، بينما المستطيل له أضلاع متقابلة متساوية.
• المعين له دائرة داخلية، بينما المستطيل له دائرة محيطة .
• المعين له محور تناظر يمر عبر كل زوج من زوايا الرأس المتقابلة، بينما المستطيل له محور تناظر يمر عبر كل زوج من الأضلاع المتقابلة.
• تتقاطع أقطار المعين بزوايا متساوية، بينما تكون أقطار المستطيل متساوية في الطول.
• الشكل الناتج عن توصيل منتصفات أضلاع المعين هو مستطيل ، والعكس صحيح.

تتكون أضلاع المعين المتمركز عند نقطة الأصل، والذي تقع أقطاره على محور، من جميع النقاط ( س، ص ) التي تحقق

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|\!=1.}$

تقع الرؤوس عند${\displaystyle (\pm a,0)}$و${\displaystyle (0,\pm b).}$هذه حالة خاصة من القطع الناقص الفائق ، مع أس 1.

• أحد أنواع الشبكات ثنائية الأبعاد الخمسة هو الشبكة المعينية، والتي تسمى أيضًا الشبكة المستطيلة المركزية .
• يمكن للمعينات أن تغطي المستوى ثنائي الأبعاد من الحافة إلى الحافة وبشكل دوري بثلاث طرق مختلفة، بما في ذلك، بالنسبة للمعين ذي الزاوية 60 درجة، التبليط المعيني .

كبلاطات مربعة طوبولوجية		بلاط معيني بزاوية 30-60 درجة

• تشمل الأشكال ثلاثية الأبعاد المشابهة للمعين الهرم المزدوج والمخروط المزدوج كسطح دوران .

كأوجه متعدد السطوح

تشمل المجسمات المحدبة ذات المعينات المجموعة اللانهائية من المجسمات المعينية ، والتي يمكن اعتبارها أغلفة إسقاطية للمكعبات الفائقة .

• المعين (يسمى أيضًا سداسي الأوجه المعيني) هو شكل ثلاثي الأبعاد مثل المكعب (يسمى أيضًا متوازي المستطيلات)، باستثناء أن أزواجه الثلاثة من الوجوه المتوازية هي ما يصل إلى 3 أنواع من المعينات بدلاً من المستطيلات .
• المجسم المعيني ذو الاثني عشر وجهاً هو متعدد السطوح محدب له 12 معينًا متطابقًا كأوجهه .
• المجسم ثلاثي الأضلاع المعيني هو متعدد السطوح محدب يحتوي على 30 معينًا ذهبيًا (معينات أقطارها في النسبة الذهبية ) كأوجه له.
• إن المجسم المعيني الثلاثي الأضلاع العظيم هو متعدد السطوح غير محدب ومتساوي الأوجه ومتساوي المحاور مع 30 وجهًا معينيًا متقاطعًا.
• المجسم المعيني السداسي الأوجه هو شكل نجمي من المجسم المعيني الثلاثي الأوجه. وهو غير محدب وله 60 وجهًا معينيًا ذهبيًا بتناظر عشريني الأوجه .
• المجسم المعيني التساعي الوجوه هو مجسم متعدد الأوجه يتكون من 90 وجهًا معينيًا، حيث تلتقي ثلاثة أو خمسة أو ستة معينات عند كل رأس. ويحتوي على 60 معينًا عريضًا و30 معينًا رفيعًا.
• المجسم العشري الوجوه المعيني هو متعدد السطوح يتكون من 20 وجهًا معينيًا، تلتقي ثلاثة أو أربعة أو خمسة منها عند كل رأس. وله 10 أوجه على المحور القطبي و10 أوجه أخرى تتبع خط الاستواء.

مثال على متعددات السطوح ذات جميع الوجوه المعينية

متساوي الأوجه		معينات ذهبية متساوية الأوجه		2-متساوي الأوجه	3-متساوي الأوجه
شبه منحرف ثلاثي	مجسم معيني ذو اثني عشر وجهًا	مجسم ثلاثي الأضلاع معيني	مجسم عشريني الوجوه معيني	مجسم معيني ذو تسعة أوجه	المعين

• معين مايكليس ، في علم التشريح البشري
• المعين ، إما متوازي مستطيلات أو متوازي أضلاع، وهو ليس معينًا ولا مستطيلًا.
• هوائي معيني الشكل
• الشطرنج المعيني
• علم مقاطعة شمال سانتاندير في كولومبيا، يحتوي على أربعة نجوم على شكل معين
• شكل بيضاوي فائق (يتضمن معينًا بزوايا مستديرة)

• متوازي الأضلاع والمعين – دورة تفاعلية (الإنشاء، المحيط، المساحة)
• تعريف المعين، مرجع الرياضيات المفتوح مع تطبيق تفاعلي.
• مساحة المعين، مرجع الرياضيات المفتوح - يعرض ثلاث طرق مختلفة لحساب مساحة المعين، مع تطبيق تفاعلي