منطقة متجهة

في الهندسة ثلاثية الأبعاد وحساب المتجهات ، متجه المساحة هو متجه يجمع بين كمية المساحة والاتجاه ، وبالتالي يمثل مساحة موجهة في ثلاثة أبعاد.

يمكن ربط كل سطح محدود في ثلاثة أبعاد بمتجه مساحة فريد يسمى مساحة المتجه . وهو يساوي التكامل السطحي للعمودي على السطح ، ويختلف عن مساحة السطح العادية ( القياسية ) .

يمكن اعتبار مساحة المتجه بمثابة تعميم ثلاثي الأبعاد للمساحة الموقعة في بعدين.

بالنسبة لسطح مستوٍ محدود ذي مساحة قياسية S ومتجه عمودي وحدوي ^ n ، تُعرَّف المساحة المتجهة S بأنها المتجه العمودي الوحدوي مضروبًا في المساحة: $${\displaystyle \mathbf {S} ={\hat {\mathbf {n} }}S}$$

بالنسبة لسطح قابل للتوجيه S يتكون من مجموعة Si من مساحات الأوجه المسطحة، _فإن مساحة متجه السطح تُعطى بواسطة $${\displaystyle \mathbf {S} =\sum _{i}{\hat {\mathbf {n} }}_{i}S_{i}}$$ حيث ^ n _i هو متجه الوحدة العمودي على المنطقة S _i .

بالنسبة للأسطح المنحنية المحدودة والموجهة والتي تتمتع بسلوك جيد بما فيه الكفاية ، لا يزال بإمكاننا تعريف مساحة المتجه. أولًا، نقسم السطح إلى عناصر متناهية الصغر، كل منها مسطح فعليًا. لكل عنصر متناهي الصغر من المساحة، لدينا متجه مساحة، وهو أيضًا متناهي الصغر. $${\displaystyle d\mathbf {S} ={\hat {\mathbf {n} }}\ dS}$$ حيث يمثل ^ n متجه الوحدة المحلي العمودي على dS . ويعطي التكامل مساحة المتجه للسطح. $${\displaystyle \mathbf {S} =\int d\mathbf {S} }$$

يمكن تفسير مساحة متجه السطح على أنها المساحة المسقطة (الموجهة) أو "ظل" السطح في المستوى الذي تكون فيه أكبر ما يمكن؛ ويتم تحديد اتجاهها بواسطة العمودي على ذلك المستوى.

بالنسبة للأسطح المنحنية أو متعددة الأوجه (أي غير المستوية)، تكون مساحة المتجه أصغر من مساحة السطح الفعلية . كمثال متطرف، قد يمتلك سطح مغلق مساحة كبيرة كيفما شاء، لكن مساحة متجهه تساوي صفرًا بالضرورة. ^{[ 1 ]} قد تختلف مساحات الأسطح التي تشترك في حدود اختلافًا كبيرًا، لكن يجب أن يكون لها نفس مساحة المتجه - فمساحة المتجه تُحدد بالكامل بواسطة الحدود. هذه نتائج نظرية ستوكس .

تُحسب مساحة المتوازي الأضلاع بضرب متجهين يمتدان عليه، وهي ضعف مساحة المثلث المُشكّل من هذين المتجهين. وبشكل عام، يمكن حساب مساحة أي سطح يتكون محيطه من سلسلة من القطع المستقيمة (شبيهة بالمضلع في بعدين) باستخدام سلسلة من الضرب الاتجاهي التي تُقابل تحويل السطح إلى مثلث. وهذا تعميم لصيغة " رباط الحذاء" إلى ثلاثة أبعاد.

باستخدام نظرية ستوكس المطبقة على حقل متجهي مختار بشكل مناسب، يمكن اشتقاق تكامل حدودي لمنطقة المتجه: $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\oint _{\partial S}\mathbf {r} \times d\mathbf {r} }$$ حيث ∂S هي حدود S ، أي منحنى واحد أو أكثر من المنحنيات الفضائية المغلقة الموجهة . وهذا مماثل لحساب المساحة ثنائية الأبعاد باستخدام نظرية غرين .

تُستخدم متجهات المساحة عند حساب التكاملات السطحية ، كما هو الحال عند تحديد تدفق حقل متجهي عبر سطح ما. يُعطى التدفق بتكامل حاصل الضرب القياسي للحقل ومتجه المساحة (المتناهي الصغر). عندما يكون الحقل ثابتًا على السطح، يتبسط التكامل إلى حاصل الضرب القياسي للحقل ومتجه مساحة السطح.

• المتجه الثنائي ، الذي يمثل منطقة موجهة في أي عدد من الأبعاد
• نظرية دي غوا ، حول تحليل مساحة المتجه إلى مكونات متعامدة
• الضرب الاتجاهي
• سطح عادي
• تكامل السطح