علم الأمراض (الرياضيات)

في الرياضيات ، عندما تتعارض ظاهرة رياضية مع حدس معين ، تُسمى هذه الظاهرة أحيانًا ظاهرة شاذة . من ناحية أخرى، إذا لم تتعارض الظاهرة مع الحدس، تُسمى أحيانًا ظاهرة منتظمة أو جيدة . هذه المصطلحات مفيدة أحيانًا في البحث والتدريس الرياضي، ولكن لا يوجد تعريف رياضي دقيق للظاهرة الشاذة أو المنتظمة. ^{[ 1 ]}

من الأمثلة الكلاسيكية على الحالات الشاذة دالة فايرشتراس ، وهي دالة متصلة في كل مكان ولكنها غير قابلة للتفاضل في أي مكان. ^{[ 1 ]} مجموع دالة قابلة للتفاضل ودالة فايرشتراس يكون متصلاً أيضاً ولكنه غير قابل للتفاضل في أي مكان؛ لذا يوجد على الأقل عدد من هذه الدوال يساوي عدد الدوال القابلة للتفاضل. في الواقع، باستخدام نظرية باير للفئات ، يمكن إثبات أن الدوال المتصلة غير قابلة للتفاضل في أي مكان بشكل عام . ^{[ 2 ]}

اعتُبرت هذه الأمثلة حالات مرضية عند اكتشافها لأول مرة. وكما قال هنري بوانكاريه : ^{[ 3 ]}

قد يُنتج المنطق أحيانًا ظواهر شاذة. فعلى مدى نصف قرن، ظهرت مجموعة من الدوال الغريبة، التي تسعى جاهدةً إلى أن تكون أقل شبهًا بالدوال الصحيحة ذات الفائدة. لا وجود للاستمرارية، أو استمرارية بدون مشتقات، وهكذا. والأكثر من ذلك، من وجهة نظر المنطق، أن هذه الدوال الغريبة هي الأكثر عمومية؛ فالدوال التي تُصادف دون بحث لم تعد تبدو إلا حالة خاصة، ولم يتبقَّ منها إلا القليل.

في السابق، عندما كانت تُبتكر وظيفة جديدة، كان ذلك بهدف تحقيق غاية عملية. أما اليوم، فتُبتكر هذه الوظائف عمدًا لإظهار قصور منطق أسلافنا، ولن نحصل منها على أكثر من ذلك.

لو كان المنطق هو الدليل الوحيد للمعلم، لكان عليه أن يبدأ بأكثر الدوال عمومية، أي بأكثرها غرابة. لكان عليه أن يُكلف المبتدئ بمهمة التعامل مع هذه المجموعة من الدوال المعقدة. وإذا لم يفعل ذلك، فقد يقول علماء المنطق، فلن يصل إلى الدقة إلا تدريجيًا.

Since Poincaré, nowhere differentiable functions have been shown to appear in basic physical and biological processes such as Brownian motion and in applications such as the Black-Scholes model in finance.

Counterexamples in Analysis is a whole book of such counterexamples.^[4]

Another example of pathological function is Du-Bois Reymondcontinuous function, that can't be represented as a Fourier series.^[5]

One famous counterexample in topology is the Alexander horned sphere, showing that topologically embedding the sphere S² in R³ may fail to separate the space cleanly. As a counterexample, it motivated mathematicians to define the tameness property, which suppresses the kind of wild behavior exhibited by the horned sphere, wild knot, and other similar examples.^[6]

Like many other pathologies, the horned sphere in a sense plays on infinitely fine, recursively generated structure, which in the limit violates ordinary intuition. In this case, the topology of an ever-descending chain of interlocking loops of continuous pieces of the sphere in the limit fully reflects that of the common sphere, and one would expect the outside of it, after an embedding, to work the same. Yet it does not: it fails to be simply connected.

For the underlying theory, see Jordan–Schönflies theorem.

Counterexamples in Topology is a whole book of such counterexamples.^[7]

In a sequence of four papers published in the American Journal of Mathematics between 1961 and 1975, David Mumford explored "pathological" behavior in algebraic geometry.^{[8][9][10][11]} His examples fall into two types: (a) bad behavior in characteristic p and (b) bad behavior in moduli spaces.

Mumford wrote in the 1962 paper Further Pathologies in Algebraic Geometry:

تُشابه المتنوعات ذات الخاصية غير الشاذة p مشعبًا عقديًا غير كاهلريًا عامًا؛ وعلى وجه الخصوص، فإن التضمين الإسقاطي لمثل هذا المتنوع ليس بقوة مقياس كاهلر على مشعب عقدي، وتنهار نظريات هودج-ليفشيتز-دولبو المتعلقة بتماثل الحزم بكل الطرق الممكنة. ^{[ 12 ]}

1. في كتابه "علم الأمراض 1" ( علم أمراض الأسطح الجبرية المعيارية )، وجد مامفورد (أ) شكلاً تفاضلياً منتظماً في كل مكان على سطح إسقاطي أملس غير مغلق، وأظهر أن تناظر هودج يفشل بالنسبة لأسطح إنريكيس الكلاسيكية في الخاصية 2. وقد طُوِّر هذا المثال بشكل أكبر في ورقة مامفورد الثالثة حول تصنيف الأسطح في الخاصية p (التي كتبها بالاشتراك مع إنريكو بومبيري ). ويمكن تفسير ذلك من خلال مخطط بيكارد للسطح، وتحديداً فشله في أن يكون مخططاً مُختزلاً ، وهو موضوع طُوِّر في كتاب مامفورد " محاضرات حول المنحنيات على سطح جبري" . وقد استكشف لوك إيلوسي لاحقاً علم الأمراض المتعلق بالالتواء p في علم التماثل البلوري . ^{[ 13 ]}
2. في كتاب "علم الأمراض II" ( علم أمراض إضافي في الهندسة الجبرية )، يُقدّم مامفورد (أ) مثالًا بسيطًا لسطح ذي خاصية p حيث يكون الجنس الهندسي غير صفري، لكن عدد بيتي الثاني يساوي رتبة زمرة نيرون-سيفيري . وتظهر أمثلة أخرى مماثلة في نظرية زاريسكي للأسطح . كما افترض أن نظرية كودايرا للتلاشي خاطئة بالنسبة للأسطح ذات الخاصية p . ويجد مامفورد أيضًا (ب) أن مخطط هيلبرت الذي يُعطي معلمات لمنحنيات الفضاء من الدرجة 14 والجنس 24 له مُركّب مُتعدد. في عام 2006، بيّن رافي فاكيل في بحثه "قانون مورفي في الهندسة الجبرية" أن مخططات هيلبرت يُمكن أن تكون "سيئة" بشكلٍ تعسفي، مع عدد غير محدود من المُركّبات وتعددات كبيرة بشكلٍ تعسفي. ^{[ 14 ]}
3. في كتابه "علم الأمراض الثالث"، يقدم (أ) مثالاً على سطح طبيعي لا تنطبق عليه معادلة كودايرا. وقد قدم ميشيل رينو أول مثال على سطح أملس لا تنطبق عليه هذه المعادلة عام 1978.
4. في علم الأمراض الرابع، (ب) يجد منحنيات كاملة مختزلة وغير قابلة للاختزال والتي ليست تخصصات للمنحنيات غير المفردة.

كثيرًا ما يتحدث علماء الرياضيات (والعلماء في العلوم ذات الصلة) عن مدى "حسن سلوك" أي كائن رياضي - سواء كان دالة أو مجموعة أو فضاءً من نوع ما . ورغم أن المصطلح لا يملك تعريفًا رسميًا ثابتًا، إلا أنه يشير عمومًا إلى استيفاء مجموعة من الشروط السائدة، والتي قد تختلف باختلاف السياق والاهتمامات الرياضية والتوجهات السائدة. ولضمان "حسن سلوك" الكائن، يُدخل علماء الرياضيات بديهيات إضافية لتضييق نطاق الدراسة. وهذا يُسهّل التحليل، ولكنه يُفقد الاستنتاجات المُتوصل إليها عموميتها .

في كل من الرياضيات البحتة والتطبيقية (مثل التحسين ، والتكامل العددي ، والفيزياء الرياضية )، فإن السلوك الجيد يعني أيضًا عدم انتهاك أي افتراضات ضرورية لتطبيق أي تحليل تتم مناقشته بنجاح.

أما الحالة المعاكسة فتُصنف عادةً بأنها "مرضية". ليس من غير المألوف وجود حالات تكون فيها معظم الحالات (من حيث العدد أو المقياس ) مرضية، لكن الحالات المرضية لن تظهر في الواقع العملي - إلا إذا تم إنشاؤها عمدًا.

يُستخدم مصطلح "حسن السلوك" عمومًا بمعنى مطلق - إما أن يكون الشيء حسن السلوك أو لا. على سبيل المثال:

• في الاستدلال الخوارزمي ، تكون الإحصائية ذات السلوك الجيد رتيبة، ومحددة جيدًا، وكافية .
• في نظرية بيزو ، يكون كثير الحدود حسن السلوك، وبالتالي فإن الصيغة التي تقدمها النظرية لعدد تقاطعاتهما صحيحة، إذا كان القاسم المشترك الأكبر لكثير الحدود ثابتًا.
• الدالة الميرومورفية هي نسبة بين دالتين حسنتي السلوك، بمعنى أن هاتين الدالتين تكونان هولومورفيتين .
• شروط كاروش -كون-تاكر هي شروط ضرورية من الدرجة الأولى لكي يكون الحل في مشكلة البرمجة غير الخطية جيدة السلوك مثاليًا؛ ويشار إلى المشكلة بأنها جيدة السلوك إذا تم استيفاء بعض شروط الانتظام.
• في الاحتمالات ، تكون الأحداث الموجودة في جبر سيجما المقابل لفضاء الاحتمالات ذات سلوك جيد، وكذلك الدوال القابلة للقياس .

على نحو غير معتاد، يمكن أيضاً استخدام المصطلح بمعنى مقارن:

• في حساب التفاضل والتكامل :
  • تتميز الدوال التحليلية بسلوك أفضل من الدوال الملساء العامة .
  • تتميز الدوال السلسة بسلوك أفضل من الدوال العامة القابلة للتفاضل.
  • تتميز الدوال المتصلة القابلة للتفاضل بسلوك أفضل من الدوال المتصلة العامة. وكلما زاد عدد مرات إمكانية تفاضل الدالة، كان سلوكها أفضل.
  • تكون الدوال المتصلة أفضل سلوكاً من الدوال القابلة للتكامل وفقًا لريمان على المجموعات المدمجة.
  • تتميز الدوال القابلة للتكامل وفقًا لريمان بسلوك أفضل من الدوال القابلة للتكامل وفقًا لليبيغ .
  • تتميز الدوال القابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ بسلوك أفضل من الدوال العامة.
• في علم الطوبولوجيا :
  • تكون الدوال المتصلة أفضل سلوكاً من الدوال غير المتصلة.
  • الفضاء الإقليدي أفضل سلوكاً من الهندسة غير الإقليدية .
  • تكون النقاط الثابتة الجاذبة أفضل سلوكاً من النقاط الثابتة التنافرية.
  • تتميز طوبولوجيات هاوسدورف بسلوك أفضل من تلك الموجودة في الطوبولوجيا العامة التعسفية .
  • تتميز مجموعات بوريل بسلوك أفضل من المجموعات العشوائية للأعداد الحقيقية .
  • تكون المساحات ذات البعد الصحيح أفضل سلوكاً من المساحات ذات البعد الكسري .
• في الجبر المجرد :
  • المجموعات أكثر اتزاناً من الصهارة وأشباه المجموعات .
  • تتميز المجموعات الأبيلية بسلوك أفضل من المجموعات غير الأبيلية.
  • تتميز المجموعات الأبيلية ذات التوليد المنتهي بسلوك أفضل من المجموعات الأبيلية ذات التوليد غير المنتهي.
  • تتميز الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة بسلوك أفضل من الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد اللانهائية .
  • تتميز الحقول بسلوك أفضل من الحقول المائلة أو الحلقات العامة .
  • تتميز امتدادات الحقول القابلة للفصل بسلوك أفضل من تلك غير القابلة للفصل.
  • تتميز جبر القسمة المعيارية بسلوك أفضل من جبر التركيب العام.

غالباً ما تتسم الأمثلة الشاذة ببعض الخصائص غير المرغوب فيها أو غير المألوفة التي تجعل من الصعب احتواؤها أو تفسيرها ضمن نظرية ما. غالباً ما تحفز هذه السلوكيات الشاذة إجراء بحوث واستقصاءات جديدة، مما يؤدي إلى ظهور نظريات جديدة ونتائج أكثر شمولاً. ومن الأمثلة التاريخية الهامة على ذلك:

• يوصف التصويت الترتيبي عادةً بأنه وظيفة اختيار اجتماعي مرضية ، وذلك بسبب ميله إلى استبعاد المرشحين الذين يحصلون على عدد كبير جدًا من الأصوات . ^{[ 15 ]}
• اكتشاف الأعداد غير النسبية من قبل مدرسة فيثاغورس في اليونان القديمة؛ على سبيل المثال، طول قطر مربع الوحدة ، أي${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
• اكتشاف الأعداد المركبة في القرن السادس عشر من أجل إيجاد جذور الدوال متعددة الحدود من الدرجة التكعيبية والرباعية .
• تحتوي بعض حقول الأعداد على حلقات من الأعداد الصحيحة التي لا تشكل مجال تحليل فريد ، على سبيل المثال الحقل الموسع${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}$.
• اكتشاف الأشكال الكسورية وغيرها من الأشكال الهندسية "الخشنة" (انظر بُعد هاوسدورف ).
• دالة فايرشتراس ، وهي دالة حقيقية القيم على خط الأعداد الحقيقية ، متصلة في كل مكان ولكنها غير قابلة للتفاضل في أي مكان. ^{[ 1 ]}
• دوال الاختبار في التحليل الحقيقي ونظرية التوزيع، هي دوال قابلة للتفاضل بلا حدود على خط الأعداد الحقيقية، وتساوي صفرًا في كل مكان خارج فترة محدودة معينة . ومن أمثلة هذه الدوال دالة الاختبار.$${\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}e^{-1/(1-t^{2})},&-1<t<1,\\0,&{\text{فيما عدا ذلك}}.\end{cases}}}$$
• مجموعة كانتور هي مجموعة جزئية من الفترة${\displaystyle [0,1]}$الذي له قياس صفر ولكنه غير قابل للعد .
• مجموعة كانتور السمينة ليست كثيفة بأي حال من الأحوال ولكنها ذات مقياس إيجابي .
• دالة فابيوس سلسة في كل مكان ولكنها ليست تحليلية في أي مكان .
• دالة فولتيرا قابلة للتفاضل مع مشتقة محدودة في كل مكان، لكن المشتقة ليست قابلة للتكامل وفقًا لريمان .
• منحنى بيانو لملء الفراغ هو دالة شاملة متصلة تقوم برسم الفترة 1${\displaystyle [0,1]}$على${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$.
• دالة ديريشليه ، وهي دالة المؤشر للأعداد النسبية، هي دالة محدودة غير قابلة للتكامل وفقًا لريمان .
• دالة كانتور هي دالة شاملة متصلة رتيبة تقوم بتحويل${\displaystyle [0,1]}$على${\displaystyle [0,1]}$، ولكن مشتقتها تساوي صفرًا في كل مكان تقريبًا .
• دالة علامة الاستفهام لمينكوفسكي متصلة ومتزايدة تمامًا ولكن مشتقتها تساوي صفرًا في كل مكان تقريبًا.
• يمكن إنشاء فئات الرضا التي تحتوي على عبارات حسابية "خاطئة بشكل بديهي" لنماذج حساب بيانو القابلة للعد والمشبعة بشكل متكرر .
• منحنى أوسجود هو منحنى جوردان (على عكس معظم المنحنيات التي تملأ الفراغ ) ذو مساحة موجبة .
• الكرة الغريبة متماثلة الشكل ولكنها ليست متماثلة الشكل مع الكرة الإقليدية القياسية ذات البعد n .

عند اكتشافها، اعتُبرت كلٌّ من هذه الأمثلة شاذةً للغاية؛ أما اليوم، فقد أُدمجت جميعها في النظرية الرياضية الحديثة. تدفع هذه الأمثلة مُلاحظيها إلى تصحيح معتقداتهم أو حدسهم، وفي بعض الحالات تستلزم إعادة تقييم التعريفات والمفاهيم الأساسية. على مرّ التاريخ، أدّت هذه الأمثلة إلى رياضيات أكثر دقةً وقوةً ودقةً. على سبيل المثال، دالة ديريشليه قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ، ويُستخدم الالتفاف مع دوال الاختبار لتقريب أي دالة قابلة للتكامل محليًا بدوال سلسة. ^{[ ملاحظة 1 ]}

إن تحديد ما إذا كان سلوك ما مرضياً يخضع، بحكم التعريف، للحدس الشخصي. فالأمراض تعتمد على السياق والتدريب والخبرة، وما يعتبره باحث ما مرضياً قد يكون سلوكاً طبيعياً بالنسبة لآخر.

يمكن أن تُظهر الأمثلة الشاذة أهمية الافتراضات الواردة في النظرية. على سبيل المثال، في الإحصاء ، لا يحقق توزيع كوشي نظرية النهاية المركزية ، على الرغم من أن شكله الجرس المتماثل يبدو مشابهًا للعديد من التوزيعات التي تحققها؛ فهو لا يستوفي شرط وجود متوسط ​​وانحراف معياري محدودين.

تعتمد بعض أشهر المفارقات ، مثل مفارقة باناخ-تارسكي ومفارقة هاوسدورف ، على وجود مجموعات غير قابلة للقياس . ويتقبل علماء الرياضيات، عموماً، التعامل مع هذه المجموعات، إلا إذا اتخذوا موقفاً مخالفاً لفرضية الاختيار .

في علم الحاسوب ، يختلف مفهوم "المرضي" قليلاً فيما يتعلق بدراسة الخوارزميات . هنا، يُقال إن مُدخلاً (أو مجموعة مُدخلات) مرضي إذا تسبب في سلوك غير نمطي للخوارزمية، مثل انتهاك تعقيدها في الحالة المتوسطة ، أو حتى انتهاك صحتها. على سبيل المثال، تحتوي جداول التجزئة عمومًا على مُدخلات مرضية: مجموعات من المفاتيح التي تتصادم في قيم التجزئة. عادةً ما تحتوي خوارزمية الفرز السريع على مُدخلات مرضية.${\displaystyle O(n\log {n})}$تعقيد الوقت، لكنه يتدهور إلى${\displaystyle O(n^{2})}$عندما يتم إدخال بيانات تؤدي إلى سلوك غير مثالي.

يُستخدم هذا المصطلح غالبًا بشكلٍ ازدرائي، كوسيلةٍ لرفض مثل هذه المدخلات باعتبارها مُصممة خصيصًا لتعطيل إجراءٍ سليمٍ عمليًا (قارن بمصطلح بيزنطي ). من ناحيةٍ أخرى، يُعدّ الوعي بالمدخلات الشاذة أمرًا بالغ الأهمية، إذ يُمكن استغلالها لشنّ هجوم حجب الخدمة على نظام الحاسوب. كما أن المصطلح، بهذا المعنى، يخضع للتقدير الشخصي، شأنه شأن معانيه الأخرى. فمع توفر وقت تشغيل كافٍ، وقاعدة مستخدمين كبيرة ومتنوعة (أو عوامل أخرى)، قد تحدث بالفعل مدخلاتٌ يُمكن اعتبارها شاذة (كما رأينا في أول رحلة تجريبية لصاروخ أريان 5 ).

ثمة ظاهرة مشابهة ولكنها متميزة، وهي ظاهرة الكائنات الاستثنائية ( والتشاكلات الاستثنائية )، والتي تحدث عندما يكون هناك عدد "صغير" من الاستثناءات لنمط عام (مثل مجموعة محدودة من الاستثناءات لقاعدة لا نهائية). في المقابل، في حالات الشذوذ، غالبًا ما تكون معظم أو كل حالات الظاهرة شذوذية (على سبيل المثال، جميع الأعداد الحقيقية تقريبًا غير نسبية).

من وجهة نظر شخصية، تُعتبر الكائنات الاستثنائية (مثل المجسم العشري الوجوه أو الزمر البسيطة المتفرقة ) عمومًا أمثلة "جميلة" وغير متوقعة لنظرية ما، بينما تُعتبر الظواهر الشاذة غالبًا "قبيحة"، كما يوحي اسمها. وبناءً على ذلك، تُوسّع النظريات عادةً لتشمل الكائنات الاستثنائية. على سبيل المثال، تُدرج جبر لي الاستثنائية في نظرية جبر لي شبه البسيط : تُعتبر البديهيات جيدة، والكائنات الاستثنائية غير متوقعة ولكنها صحيحة.

في المقابل، تُستخدم الأمثلة الشاذة للإشارة إلى قصور في البديهيات، مما يستدعي استخدام بديهيات أقوى لاستبعادها. على سبيل المثال، اشتراط ترويض تضمين كرة في مسألة شونفليس . عمومًا، يمكن دراسة النظرية الأكثر عمومية، بما في ذلك الحالات الشاذة، والتي قد توفر تبسيطاتها الخاصة (للأعداد الحقيقية خصائص مختلفة تمامًا عن الأعداد النسبية، وكذلك للدوال المتصلة خصائص مختلفة تمامًا عن الدوال الملساء)، وكذلك النظرية الأضيق التي استُمدت منها الأمثلة الأصلية.

• منحنى كسري
• قائمة المصطلحات الرياضية
• ظاهرة رونج
• ظاهرة جيبس
• مجموعة متناقضة

• الهياكل المرضية والكسور الهندسية - مقتطف من مقال بقلم فريمان دايسون ، "توصيف عدم الانتظام"، مجلة ساينس، مايو 1978

تتضمن هذه المقالة مواد من موقع pathological على PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .