نظرية ويدربورن الصغيرة

في الرياضيات ، تنص نظرية ويدربورن الصغيرة على أن كل حلقة قسمة منتهية هي حقل ؛ وبالتالي، فإن كل نطاق منتهٍ هو حقل. بعبارة أخرى، بالنسبة للحلقات المنتهية ، لا يوجد فرق بين النطاقات وحلقات القسمة والحقول.

تعمم نظرية أرتين -زورن النظرية لتشمل الحلقات البديلة : كل حلقة قسمة بديلة منتهية هي حقل. ^{[ 1 ]}

قدّم جوزيف ويدربورن البرهان الأصلي عام ١٩٠٥، ^{[ ٢ ]} ثمّ برهن النظرية بطريقتين أخريين. وقدّم ليونارد يوجين ديكسون برهانًا آخر بعد برهان ويدربورن الأصلي بفترة وجيزة، وأقرّ ديكسون بأسبقية ويدربورن. مع ذلك، وكما ذُكر في ( بارشال ١٩٨٣ ) ، كان برهان ويدربورن الأول غير صحيح - إذ احتوى على ثغرة - ولم تظهر براهينه اللاحقة إلا بعد اطلاعه على برهان ديكسون الصحيح. بناءً على ذلك، يجادل بارشال بأنّ الفضل في البرهان الصحيح الأول يعود إلى ديكسون.

قدّم إرنست ويت لاحقًا نسخة مبسطة من البرهان . ^{[ 2 ]} ويرد أدناه ملخص لبرهان ويت. وبدلاً من ذلك، تُعدّ النظرية نتيجةً لنظرية سكوليم-نوثر من خلال الحجة التالية. ^{[ 3 ]} ليكن${\displaystyle D}$ليكن جبر قسمة منتهيًا مع مركز${\displaystyle k}$. يترك${\displaystyle [D:k]=n^{2}}$و${\displaystyle q}$تشير إلى عدد العناصر${\displaystyle k}$كل حقل فرعي أقصى من${\displaystyle D}$لديه${\displaystyle q^{n}}$العناصر؛ لذا فهي متماثلة وبالتالي مترافقة حسب سكوليم-نوثر. لكن المجموعة المنتهية (المجموعة الضربية لـ${\displaystyle D}$(في حالتنا) لا يمكن أن يكون اتحادًا لمرافقات مجموعة فرعية فعلية؛ وبالتالي،${\displaystyle n=1}$.

تم تقديم برهان " نظري للمجموعات " لاحق من قبل تيد كاتشينسكي في عام 1964. ^{[ 4 ]} كان هذا البرهان، وهو أول عمل رياضي منشور لكاتشينسكي، عبارة عن ملاحظة قصيرة من صفحتين أقرت أيضًا بالبرهان التاريخي السابق.

تُكافئ هذه النظرية أساسًا القول بأن زمرة براور لحقل منتهٍ تافهة. في الواقع، يُؤدي هذا التوصيف مباشرةً إلى برهان النظرية كما يلي: ليكن K حقلًا منتهيًا. بما أن خارج قسمة هيربراند يتلاشى بسبب التناهي،${\displaystyle \operatorname {Br} (K)=H^{2}(K^{\text{al}}/K)}$يتزامن مع${\displaystyle H^{1}(K^{\text{al}}/K)}$والتي بدورها تختفي بحلول هيلبرت 90 .

يمكن أيضًا الحصول على تفاهة مجموعة براور عن طريق الحساب المباشر، كما يلي.${\displaystyle |K|=q,}$ودع${\displaystyle L/K}$ليكن امتدادًا محدودًا من الدرجة${\displaystyle n,}$لهذا السبب.${\displaystyle |L|=q^{n}.}$ثم${\displaystyle \mathrm {Gal} (L/K)}$هي مجموعة دورية من الرتبة${\displaystyle n,}$وتُظهر الطريقة القياسية لحساب علم التماثل للمجموعات الدورية المنتهية أن $${\displaystyle H^{2}(L/K)=K^{\times }/N_{L/K}(L^{\times }),}$$ حيث خريطة المعيار${\displaystyle N_{L/K}:L^{\times }\to K^{\times }}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \mathrm {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{\frac {q^{n}-1}{q-1}}.}$$ أخذ${\displaystyle \alpha }$أن يكون مولدًا للمجموعة الحلقية${\displaystyle L^{\times },}$وجدنا أن${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$تم الطلب${\displaystyle q-1,}$وبالتالي يجب أن يكون مولدًا لـ${\displaystyle K^{\times }}$وهذا يعني أن${\displaystyle N_{L/K}}$هو شامل، وبالتالي ${\displaystyle H^{2}(L/K)}$أمر تافه.

يترك${\displaystyle A}$ليكن مجالًا محدودًا. لكل قيمة غير صفرية${\displaystyle b}$في${\displaystyle A}$الخريطتان

${\displaystyle a\mapsto ab,a\mapsto ba:A\to A}$

تكون هذه العناصر أحادية بواسطة خاصية الإلغاء ، وبالتالي، شاملة بواسطة العد. ويترتب على ذلك من نظرية الزمر الأولية ^{[ 5 ]} أن العناصر غير الصفرية من${\displaystyle A}$تشكل مجموعة تحت عملية الضرب. وبالتالي،${\displaystyle A}$هي حلقة تقسيم .

منذ المركز${\displaystyle Z(A)}$ل${\displaystyle A}$ هو حقل، ${\displaystyle A}$هو فضاء متجهي على${\displaystyle Z(A)}$بأبعاد محدودة${\displaystyle n}$هدفنا إذن هو أن نوضح ${\displaystyle n=1}$. لو${\displaystyle q}$هو ترتيب${\displaystyle Z(A)}$، ثم${\displaystyle A}$تم الطلب${\displaystyle {q}^{n}}$لاحظ ذلك لأن${\displaystyle Z(A)}$يحتوي على العناصر المميزة${\displaystyle 0}$و${\displaystyle 1}$،${\displaystyle q>1}$لكل${\displaystyle b}$في${\displaystyle A}$هذا ليس في المركز، المُوَسِّط${\displaystyle {Z}_{b}}$ل${\displaystyle b}$هو فضاء متجهي على${\displaystyle Z(A)}$وبالتالي فهو منظم${\displaystyle {q}^{d}}$أين${\displaystyle d}$أقل من${\displaystyle n}$مشاهدة${\displaystyle {Z(A)}^{*}}$،${\displaystyle A^{*}}$، و${\displaystyle {Z}_{b}^{*}}$باعتبارنا مجموعات تحت عملية الضرب، يمكننا كتابة معادلة الفئة

${\displaystyle q^{n}-1=q-1+\sum {q^{n}-1 \over q^{d}-1}}$

حيث يتم حساب المجموع على فئات الاقتران غير الموجودة داخل${\displaystyle {Z(A)}^{*}}$و${\displaystyle d}$يتم تعريفها بحيث يكون ترتيب كل فئة اقتران${\displaystyle {Z}_{b}^{*}}$لأي${\displaystyle x}$في الفصل الدراسي${\displaystyle {q}^{d}-1}$وعلى وجه الخصوص، حقيقة أن${\displaystyle {Z}_{b}^{*}}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle A^{*}}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle q^{d}-1}$يقسم${\displaystyle q^{n}-1}$ومن ثم${\displaystyle d}$يقسم${\displaystyle n}$باستخدام الجبر الابتدائي .

${\displaystyle {q}^{n}-1}$و${\displaystyle q^{d}-1}$كلاهما يقبل التحليل إلى عوامل متعددة الحدود بدلالة كثيرات الحدود الدائرية${\displaystyle \Phi _{f}(q)}$كثيرات الحدود الدائرية على${\displaystyle \mathbb {Q} }$في${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$، وتحقيق المتطابقات

${\displaystyle x^{n}-1=\prod _{m\mid n}\Phi _{m}(x)}$و${\displaystyle x^{d}-1=\prod _{m\mid d}\Phi _{m}(x)}$.

بما أن كل${\displaystyle d}$هو قاسم صحيح لـ${\displaystyle n}$،

${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$يقسم كليهما${\displaystyle {x}^{n}-1}$وكل${\displaystyle {x^{n}-1 \over x^{d}-1}}$في${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$،

وبالتالي، وفقًا لمعادلة الفئة أعلاه،${\displaystyle \Phi _{n}(q)}$يجب تقسيمها${\displaystyle q-1}$وبالتالي، من خلال الأخذ بالمعايير ،

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|\leq q-1}$.

لإدراك أن هذه القوى${\displaystyle n}$يكون${\displaystyle 1}$سنعرض

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1}$

ل${\displaystyle n>1}$باستخدام التحليل إلى عوامل على الأعداد المركبة. في متطابقة كثير الحدود

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod (x-\zeta ),}$

أين${\displaystyle \zeta }$يتفوق على البدائي${\displaystyle n}$جذور الوحدة، مجموعة${\displaystyle x}$يكون${\displaystyle q}$ثم خذ القيم المطلقة

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|=\prod |q-\zeta |.}$

ل${\displaystyle n>1}$نلاحظ أنه لكل عنصر أولي${\displaystyle n}$الجذر النوني للوحدة${\displaystyle \zeta }$،

${\displaystyle |q-\zeta |>|q-1|}$

بسبب موقع${\displaystyle q}$،${\displaystyle 1}$، و${\displaystyle \zeta }$في المستوى المركب. بما أن${\displaystyle q\geq 2}$، على المدى${\displaystyle q-1}$هو على الأقل${\displaystyle 1}$. هكذا

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1.}$

• بارشال، ك.هـ. (1983). "في سبيل نظرية الجبر القسمي المحدود وما بعدها: جوزيف هـ.م. ويدربورن، وليونارد ديكسون، وأوزوالد فيبلين". أرشيف التاريخ الدولي للعلوم . 33 : 274-299 .
• لام، تسيت-يوين (2001). مدخل إلى الحلقات غير التبادلية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  131 (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 0-387-95183-0.

• برهان نظرية ويدربورن على موقع بلانيت ماث
• إثبات نظام الميزار : http://mizar.org/version/current/html/weddwitt.html#T38