مجموعة ويل

في الرياضيات، تُعدّ زمرة ويل ، التي قدمها أندريه ويل ، ^{[ 1 ]} تعديلاً لزمرة غالوا المطلقة لحقل محلي أو عالمي ، وتُستخدم في نظرية الحقول الفئوية . بالنسبة لمثل هذا الحقل${\displaystyle F}$، ويُشار إلى مجموعة ويل الخاصة بها عمومًا بـ${\displaystyle W_{F}}$توجد أيضًا تعديلات "منتهية المستوى" لمجموعات غالوا: إذا${\displaystyle E/F}$إذا كان امتدادًا محدودًا ، فإن مجموعة ويل النسبية لـ${\displaystyle E/F}$يكون${\displaystyle W_{E/F}=W_{F}/W_{E}^{c}}$(حيث يكون النص العلوي)${\displaystyle c}$يرمز إلى مجموعة التبديل الفرعية ). ^{[ 2 ] [ 3 ]}

مجموعة ويل لتكوين الفئات ذات الفئات الأساسية${\displaystyle u_{E/F}=H^{2}(E/F,A^{F})}$هو نوع من مجموعة غالوا المعدلة، المستخدمة في صياغات مختلفة لنظرية حقل الفئة، وخاصة في برنامج لانجلاندز .

لو${\displaystyle E/F}$إذا كانت طبقة عادية، فإن مجموعة ويل (النسبية)${\displaystyle W_{E/F}}$ل${\displaystyle E/F}$هل هذا هو الامتداد

${\displaystyle 1\to A^{F}\to W_{E/F}\to \operatorname {Gal} (E/F)\to 1}$

المقابل (باستخدام تفسير العناصر في علم التماثل للمجموعة الثانية كامتدادات مركزية) للفئة الأساسية${\displaystyle u_{E/F}}$في${\displaystyle H^{2}(\operatorname {Gal} (E/F),A^{F})}$تُعرَّف مجموعة ويل للتكوين بأكمله بأنها النهاية العكسية لمجموعات ويل لجميع الطبقات. ${\displaystyle G/F}$، ل${\displaystyle F}$مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle G}$.

خريطة التبادلية لتكوين الطبقات${\displaystyle (G,A)}$يُحدث تماثلاً من${\displaystyle A^{G}}$إلى عملية التبديل لمجموعة ويل.

بالنسبة للحقول المحلية الأرخميدية، يسهل وصف مجموعة ويل: لـ${\displaystyle \mathbb {C} }$إنها المجموعة${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$من الأعداد المركبة غير الصفرية ، و لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$هو امتداد غير منقسم لمجموعة غالوا من الرتبة 2 بواسطة مجموعة الأعداد المركبة غير الصفرية، ويمكن تحديده مع المجموعة الفرعية${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cup j\mathbb {C} ^{\times }}$من الأعداد الرباعية غير الصفرية .

بالنسبة للحقول المنتهية، تكون زمرة ويل دورية لانهائية . ويُوفّر التشاكل الذاتي لفروبينيوس مولدًا مميزًا . وتعود بعض الاصطلاحات المتعلقة بالمصطلحات، مثل فروبينيوس الحسابي ، إلى تحديد مولد هنا (مثل فروبينيوس أو معكوسه).

لحقل محلي ذي خصائص${\displaystyle p>0}$، مجموعة ويل هي المجموعة الفرعية لمجموعة غالوا المطلقة للعناصر التي تعمل كقوة لتشاكل فروبينيوس على الحقل الثابت (اتحاد جميع الحقول الفرعية المنتهية).

ل${\displaystyle p}$الحقول -adic مجموعة ويل هي مجموعة فرعية كثيفة من مجموعة غالوا المطلقة، وتتكون من جميع العناصر التي تكون صورتها في مجموعة غالوا لحقل البقايا قوة صحيحة لتشاكل فروبينيوس.

وبشكلٍ أدق، في هذه الحالات، لا تمتلك زمرة ويل طوبولوجيا الفضاء الجزئي ، بل طوبولوجيا أدق. تُعرَّف هذه الطوبولوجيا بإعطاء زمرة القصور الذاتي طوبولوجيا الفضاء الجزئي الخاصة بها، وفرض كونها زمرة مفتوحة من زمرة ويل. (الطوبولوجيا الناتجة هي " محدودية محلية ").

بالنسبة للحقول العالمية المميزة${\displaystyle p>0}$(حقول الدوال)، مجموعة ويل هي المجموعة الفرعية لمجموعة غالوا المطلقة للعناصر التي تعمل كقوة لتشاكل فروبينيوس على الحقل الثابت (اتحاد جميع الحقول الفرعية المنتهية).

بالنسبة لحقول الأعداد، لا توجد بنية "طبيعية" معروفة لزمرة ويل دون استخدام الدورات المرافقة لإنشاء الامتداد. التطبيق من زمرة ويل إلى زمرة غالوا شامل، ونواته هي المكون المتصل لعنصر محايد زمرة ويل، وهو أمر معقد للغاية.

مخطط مجموعة Weil – Deligne (أو ببساطة مجموعة Weil – Deligne )${\displaystyle W_{K}'}$حقل محلي غير أرخميدسي${\displaystyle K}$وهي امتداد لمجموعة ويل${\displaystyle W_{K}}$بواسطة مخطط مجموعة جمعي أحادي البعد${\displaystyle G_{a}}$، التي قدمها بيير ديلين . ^{[ 4 ]} في هذا الامتداد، تعمل مجموعة ويل على المجموعة الجمعية بواسطة

${\displaystyle wxw^{-1}=\|w\|x}$

أين${\displaystyle w}$يؤثر على حقل البقايا من النظام${\displaystyle q}$مثل${\displaystyle a\to a^{\|w\|}}$مع${\displaystyle \|w\|}$قوة${\displaystyle q}$.

مراسلات لانغلاندز المحلية لـ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$زيادة${\displaystyle K}$ينص على وجود تقابل طبيعي بين فئات التشاكل للتمثيلات المقبولة غير القابلة للاختزال لـ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$ومؤكد${\displaystyle n}$تمثيلات ذات أبعاد لمجموعة ويل-ديليجن${\displaystyle K}$.

تظهر مجموعة ويل-ديليجن غالبًا من خلال تمثيلاتها. في مثل هذه الحالات، تُعتبر مجموعة ويل-ديليجن أحيانًا${\displaystyle W_{K}\times \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$أو${\displaystyle W_{K}\times \operatorname {SU} (2,\mathbb {R} )}$أو يتم التخلص منها ببساطة، وتمثيلات ويل-ديليجن لـ${\displaystyle W_{K}}$^{[ 5 ]}​

في حالة أرخميدس، يتم تعريف مجموعة ويل-ديليجن ببساطة على أنها مجموعة ويل.

• مجموعة لانغلاندز
• نظرية شافاريفيتش-ويل