تكوين الطبقات

في الرياضيات، يُعرَّف تشكيل الأصناف بأنه مجموعة طوبولوجية تؤثر على وحدة نمطية وتستوفي شروطًا معينة. وقد قدّم إميل أرتين وجون تيت تشكيلات الأصناف لتنظيم مجموعات غالوا والوحدات النمطية المختلفة التي تظهر في نظرية حقول الأصناف .

التكوين هو مجموعة طوبولوجية G مع وحدة طوبولوجية G-module A التي تعمل عليها G بشكل مستمر .

الطبقة E / F من التكوين هي زوج من الزمر الجزئية المفتوحة E و F من G بحيث تكون F زمرة جزئية ذات فهرس منتهٍ من E. تُسمى طبقة عادية إذا كانت F زمرة جزئية عادية من E ، وطبقة دورية إذا كانت زمرة القسمة دورية بالإضافة إلى ذلك. إذا كانت E زمرة جزئية من G ، فإن A ∈ ^E تُعرَّف بأنها عناصر A التي تُثبَّت بواسطة E. نكتب

H ⁿ ( E / F )

بالنسبة لمجموعة التماثل تيت H ⁿ ( E / F , A ^F ) عندما تكون E / F طبقة طبيعية. (يعتبر بعض المؤلفين E و F حقلين ثابتين بدلاً من كونهما زمرة جزئية من G ، لذا يكتبون F / E بدلاً من E / F ). في التطبيقات، غالبًا ما تكون G هي زمرة غالوا المطلقة لحقل ما، وهي على وجه الخصوص زمرة منتهية ، وبالتالي فإن الزمر الجزئية المفتوحة تتوافق مع الامتدادات المنتهية للحقل الموجودة في إغلاق قابل للفصل ثابت.

إن تشكيل الفئات هو تشكيل بحيث يكون لكل طبقة طبيعية E / F

H ¹ ( E / F ) تافهة، و

H ² ( E / F ) دوري من الرتبة | E / F |.

عمليًا، تأتي هذه المجموعات الدورية مزودة بمولدات أساسية u _{E / F} ∈ H ² ( E / F )، تُسمى الفئات الأساسية ، وهي متوافقة فيما بينها بمعنى أن تقييد (فئات التماثل) فئة أساسية ما هو فئة أساسية أخرى. غالبًا ما تُعتبر الفئات الأساسية جزءًا من بنية تكوين الفئات.

يُطلق على التشكيل الذي يحقق الشرط H ¹ ( E / F )=1 اسم تشكيل حقل . على سبيل المثال، إذا كانت G أي زمرة منتهية تؤثر على حقل L و A=L ^× ، فإن هذا يُعد تشكيل حقل وفقًا لنظرية هيلبرت 90 .

أهم الأمثلة على تشكيلات الفئات (مرتبة تقريبًا حسب درجة الصعوبة) هي كما يلي:

• نظرية حقل الفئة المحلية لأرخميدس : الوحدة A هي مجموعة الأعداد المركبة غير الصفرية، و G إما تافهة أو هي المجموعة الدورية من الرتبة 2 المتولدة عن طريق الاقتران المركب.
• الحقول المنتهية: الوحدة A هي الأعداد الصحيحة (مع فعل G التافه )، و G هي مجموعة غالوا المطلقة لحقل منتهٍ، وهي متماثلة مع الإكمال المنتهي للأعداد الصحيحة.
• نظرية الحقل المحلي للفئة المميزة p > 0: الوحدة A هي مجموعة الوحدات للإغلاق الجبري القابل للفصل لحقل متسلسلات لوران الرسمية على حقل منتهٍ، و G هي مجموعة غالوا.
• نظرية حقل الفئة المحلية غير الأرخميدية ذات الخاصية 0: الوحدة النمطية A هي مجموعة الوحدات للإغلاق الجبري لحقل من الأعداد p -adic، و G هي مجموعة غالوا.
• نظرية المجال الفئوي العالمي للخاصية p > 0: الوحدة A هي اتحاد مجموعات الفئات المثالية للامتدادات المحدودة القابلة للفصل لبعض حقول الدوال على حقل محدود، و G هي مجموعة غالوا.
• نظرية حقل الفئة العالمية ذات الخاصية 0: الوحدة النمطية A هي اتحاد مجموعات فئات idele لحقول الأعداد الجبرية، و G هي مجموعة Galois للأعداد النسبية (أو بعض حقول الأعداد الجبرية) التي تعمل على A.

يسهل التحقق من خاصية تكوين الفئات في حالة الحقل المنتهي وحالة الحقل المحلي الأرخميدي، لكن الحالات المتبقية أكثر صعوبة. ويتمثل الجزء الأكبر من العمل الشاق في نظرية حقول الفئات في إثبات أن هذه الحالات هي بالفعل تكوينات فئات. ويتم ذلك على عدة خطوات، كما هو موضح في الأقسام التالية.

تنص المتباينة الأولى في نظرية حقل الفئات على ما يلي:

| H ⁰ ( E / F )| ≥ | E / F |

بالنسبة للطبقات الدورية E / F. وعادةً ما يتم إثبات ذلك باستخدام خصائص حاصل قسمة هيربراند ، في شكل أكثر دقة.

| H ⁰ ( E / F )| = | E / F | × | H ¹ ( E / F )|.

من السهل إثبات ذلك إلى حد ما، لأن حاصل قسمة هيربراند سهل الحساب، لأنه ضربي على المتتاليات التامة القصيرة، ويكون 1 للوحدات المحدودة.

قبل عام 1950 تقريباً، كانت المتباينة الأولى تُعرف باسم المتباينة الثانية، والعكس صحيح.

تنص المتباينة الثانية لنظرية حقل الطبقات على ما يلي:

| H ⁰ ( E / F )| ≤ | E / F |

لجميع الطبقات العادية E / F.

بالنسبة للحقول المحلية، فإن هذه المتباينة تتبع بسهولة من نظرية هيلبرت 90 جنبًا إلى جنب مع المتباينة الأولى وبعض الخصائص الأساسية لعلم التماثل الجماعي.

تم إثبات المتباينة الثانية لأول مرة للحقول العامة بواسطة ويبر باستخدام خصائص متسلسلة L للحقول العددية، كما يلي: لنفترض أن الطبقة E / F تُقابل امتدادًا k ⊂ K للحقول العامة. بدراسة دالة زيتا ديديكيند لـ K ، يُمكن إثبات أن الأعداد الأولية من الدرجة 1 في K لها كثافة ديريشليه مُعطاة برتبة القطب عند s = 1، وهي 1 (عندما تكون K هي الأعداد النسبية، فإن هذا يُعدّ في جوهره برهان أويلر على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية باستخدام القطب عند s = 1 لدالة زيتا ريمان ). بما أن كل عدد أولي في k يُمثل معيارًا هو حاصل ضرب deg( K / k ) = | E / F | من الأعداد الأولية المختلفة من الدرجة 1 في K ، فإن هذا يُبين أن مجموعة الأعداد الأولية في k التي تُمثل معايير لها كثافة 1/| E / F |. من جهة أخرى، بدراسة متسلسلة ديريشليه-L للرموز الخاصة بالمجموعة H₀ ( E / F )، ^يُمكن إثبات أن كثافة ديريشليه للأعداد الأولية k التي تُمثل العنصر التافه لهذه المجموعة هي 1/| H₀ ( E / F )|. (يُعد هذا الجزء من البرهان تعميمًا لبرهان ديريشليه على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية في المتتابعات الحسابية). ولكن يُمثل العدد الأولي عنصرًا تافهًا في المجموعة ^H₀ ( E / F ) إذا كان مساويًا لمعيار modulo المُثُل الرئيسية، لذا فإن هذه المجموعة على الأقل بنفس كثافة مجموعة الأعداد الأولية التي تُمثل معايير ^.

1/| H ⁰ ( E / F )| ≥ 1/| E / F |

وهي المتباينة الثانية.

في عام ١٩٤٠، توصل شيڤالي إلى برهان جبري بحت للمتباينة الثانية، إلا أنه أطول وأصعب من برهان ويبر الأصلي. قبل عام ١٩٥٠ تقريبًا، كانت المتباينة الثانية تُعرف بالمتباينة الأولى؛ وقد تم تغيير الاسم لأن برهان شيڤالي الجبري لها يعتمد على المتباينة الأولى.

عرّف تاكاغي حقل الفئات بأنه الحقل الذي تتحقق فيه المساواة في المتباينة الثانية. وبحسب تماثل آرتين المذكور أدناه، فإن H ⁰ ( E / F ) متماثل مع تحويل E / F إلى حقل تبديلي ، وبالتالي فإن المساواة في المتباينة الثانية تتحقق تمامًا في حالة الامتدادات التبديلية، وحقول الفئات هي نفسها الامتدادات التبديلية.

يمكن دمج المتباينتين الأولى والثانية على النحو التالي. بالنسبة للطبقات الدورية، تثبت المتباينتان معًا أن

H ¹ ( E / F )| E ​​/ F | = H ⁰ ( E / F ) ≤ | E / F |

لذا

H ⁰ ( E / F ) = | E / F |

و

H ¹ ( E / F ) = 1.

تُظهر نظرية أساسية حول مجموعات التماثل أنه بما أن H ¹ ( E / F ) = 1 لجميع الطبقات الدورية، فإننا نحصل على

H ¹ ( E / F ) = 1

بالنسبة لجميع الطبقات العادية (وبالتالي، فإن التكوين هو تكوين حقلي). هذا البرهان على أن ^H1 ( E / F ) تافه دائمًا هو برهان ملتوٍ نوعًا ما؛ إذ لا يوجد برهان "مباشر" معروف له (مهما كان المقصود بذلك) بالنسبة للحقول العالمية. (أما بالنسبة للحقول المحلية ^، فإن تلاشي H1 ( E / F ) هو ببساطة نظرية هيلبرت رقم 90).

بالنسبة للمجموعات الدورية، ^فإن H₀ هي نفسها H₂ ^، لذا فإن ^H₂ ( E / F ) = | E / F | لجميع الطبقات الدورية. تُظهر نظرية أخرى في علم تماثل المجموعات أنه بما أن ^{H₁(E/F) = 1 لجميع الطبقات العادية و H₂ (} E / F ) ≤ | E / F | لجميع الطبقات الدورية ، فإننا نحصل على

H ² ( E / F ) ≤ | E / F |

لجميع الطبقات العادية. (في الواقع، تتحقق المساواة لجميع الطبقات العادية، لكن هذا يتطلب جهدًا أكبر؛ انظر القسم التالي.)

تُعرَّف زمر براور H₂ ( E / * ⁾ لتكوين فئوي بأنها النهاية المباشرة للزمر H₂ ( E / ^F ) عندما يمتد F على جميع الزمر الجزئية المفتوحة من E. ومن النتائج المباشرة لانعدام H₁ لجميع الطبقات أن الزمر ^H₂ ( E / F ) هي جميعها زمر جزئية من زمرة براور. في نظرية الحقول الفئوية المحلية ^، تتطابق زمر براور مع زمر براور للحقول، ولكن في نظرية الحقول الفئوية العالمية ، لا تتطابق زمرة براور للتكوين مع زمرة براور للحقل العالمي المقابل (مع وجود علاقة بينهما).

الخطوة التالية هي إثبات أن H ² ( E / F ) دورية من الرتبة | E / F | بالضبط؛ يوضح القسم السابق أنها على الأكثر من هذه الرتبة، لذلك يكفي إيجاد عنصر من الرتبة | E / F | في H ² ( E / F ).

يستخدم برهان الامتدادات العشوائية تشاكلاً من المجموعة G إلى الإكمال شبه المنتهي للأعداد الصحيحة بنواة G∞ _، أو بعبارة أخرى، متتالية متوافقة من تشاكلات G إلى المجموعات الدورية من الرتبة n لكل n ، بنوى Gⁿ _. تُبنى هذه التشاكلات باستخدام امتدادات دورية دائرية للحقول؛ بالنسبة للحقول المنتهية، تُعطى بواسطة الإغلاق الجبري، وبالنسبة للحقول المحلية غير الأرخميدية، تُعطى بواسطة الامتدادات غير المتفرعة القصوى، وبالنسبة للحقول الشاملة، تكون أكثر تعقيدًا بعض الشيء. بما أن هذه الامتدادات معطاة صراحةً، يمكن التحقق من أنها تتمتع بالخاصية H² ⁽ G / Gⁿ ) دورية من الرتبة _n ، مع مولد قانوني. ويترتب على ذلك أنه لأي طبقة E ، _فإن المجموعة H² ⁽ E / E ∩ G∞ ) متماثلة قانونيًا مع Q / Z . تم تقديم فكرة استخدام جذور الوحدة هذه من قبل تشيبوتاريف في برهانه على نظرية الكثافة لتشيبوتاريف ، واستخدمها أرتين بعد ذلك بوقت قصير لإثبات نظرية التبادلية الخاصة به.

بالنسبة للطبقتين العامتين E و F ، يوجد تسلسل دقيق

${\displaystyle 0\rightarrow H^{2}(E/F)\cap H^{2}(E/E\cap G_{\infty })\rightarrow H^{2}(E/E\cap G_{\infty })\rightarrow H^{2}(F/F\cap G_{\infty })}$

يمكن تعريف المجموعتين الأخيرتين في هذه المتتالية بـ Q / Z ، والتحويل بينهما هو الضرب في | E / F |. لذا، فإن المجموعة الأولى متماثلة قانونيًا مع Z / n Z. وبما أن H ² ( E / F ) رتبتها على الأكثر Z / n Z، فلا بد أن تساوي Z / n Z (وهي تحديدًا تقع ضمن المجموعة الوسطى).

يُبين هذا أن مجموعة التماثل الثانية H₂ ( E / F ⁾ لأي طبقة دورية من الرتبة | E / F |، مما يُكمل التحقق من بديهيات تكوين الفئة. وبمزيد من الدقة في البراهين، نحصل على مولد أساسي لـ H₂ ( E / F ⁾ ، يُسمى الفئة الأساسية .

ويترتب على ذلك أن مجموعة براور H ² ( E /*) متماثلة (بشكل قانوني) مع المجموعة Q / Z ، باستثناء حالة الحقول المحلية الأرخميدية R و C عندما يكون لها رتبة 2 أو 1.

تنص نظرية تيت في علم تماثل المجموعات على ما يلي: لنفترض أن A وحدة نمطية على مجموعة منتهية G، وأن a عنصر من H² ( ^G , A )، بحيث يكون لكل مجموعة جزئية E من G

• H ¹ ( E , A ) تافهة، و
• يتم توليد H ² ( E , A ) بواسطة Res(a) الذي له رتبة E.

ثم يكون ناتج الكوب مع a هو تماثل

• H ⁿ ( G , Z ) → H ^{n +2} ( G , A ).

إذا طبقنا الحالة n = − 2 من نظرية تيت على تكوين فئة، فسنجد أن هناك تماثلًا

• H ^{− 2} ( E / F , Z ) → H ⁰ ( E / F , A ^F )

لأي طبقة طبيعية E / F ، ^فإن المجموعة H⁻² ( E / F , Z ⁾ هي ببساطة تحويل E/F إلى مجموعة تبديلية ^، والمجموعة H₀ ( E / F , AF ) هي AE بتردد مجموعة معايير ^AF . بعبارة أخرى، لدينا وصف صريح لتحويل مجموعة غالوا E / F ^{إلى مجموعة تبديلية} بدلالة AE .

بأخذ معكوس هذا التشاكل نحصل على تشاكل

A ^E → التبديلية لـ E / F ،

وأخذ النهاية على جميع الزمر الجزئية المفتوحة F يعطي تشاكلاً

A ^E → تبديل E ،

تُسمى هذه الخريطة بخريطة آرتين . خريطة آرتين ليست بالضرورة شاملة، ولكن صورتها كثيفة. وبحسب نظرية الوجود أدناه، فإن نواتها هي المكون المتصل لـ A ^E (في نظرية حقل الأصناف)، وهو أمر بديهي في نظرية حقل الأصناف للحقول المحلية غير الأرخميدية وحقول الدوال، ولكنه غير بديهي في الحقول المحلية الأرخميدية وحقول الأعداد.

تُعدّ نظرية تاكاغي للوجود النظرية الرئيسية المتبقية في نظرية حقول الفئات ، والتي تنص على أن كل زمرة فرعية مغلقة ذات فهرس منتهٍ من زمرة فئات إيديلي هي زمرة المعايير المناظرة لامتداد أبيلي ما. وتتمثل الطريقة الكلاسيكية لإثبات ذلك في بناء بعض الامتدادات ذات زمر معايير صغيرة، وذلك بإضافة العديد من جذور الوحدة أولًا، ثم أخذ امتدادات كومر وامتدادات آرتين -شراير . قد تكون هذه الامتدادات غير أبيلية (مع أنها امتدادات لزمر أبيلية بواسطة زمر أبيلية)؛ إلا أن هذا لا يُشكّل أهمية كبيرة، لأن زمرة معايير امتداد غالوا غير أبيلي هي نفسها زمرة معايير امتداده الأبلي الأقصى (ويمكن إثبات ذلك باستخدام ما نعرفه مسبقًا عن حقول الفئات). وهذا يُعطي عددًا كافيًا من الامتدادات (الأبيلية) لإثبات وجود امتداد أبيلي مناظر لأي زمرة فرعية ذات فهرس منتهٍ من زمرة فئات إيديلي.

والنتيجة هي أن نواة خريطة أرتين هي المكون المتصل لهوية مجموعة فئة idele، بحيث يكون تحويل مجموعة غالوا لـ F إلى مجموعة تبديلية هو الإكمال النهائي لمجموعة فئة idele.

في نظرية الحقول المحلية، يُمكن أيضًا بناء امتدادات أبيلية بشكل أكثر وضوحًا باستخدام قوانين الزمر الرسمية للوبين-تيت . أما بالنسبة للحقول الشاملة، فيُمكن بناء الامتدادات الأبيلية بشكل صريح في بعض الحالات: على سبيل المثال، يُمكن بناء الامتدادات الأبيلية للأعداد النسبية باستخدام جذور الوحدة، ويُمكن بناء الامتدادات الأبيلية للحقول التخيلية التربيعية باستخدام الدوال الإهليلجية، ولكن إيجاد نظير لذلك بالنسبة للحقول الشاملة العشوائية لا يزال مشكلة لم تُحل.

هذه ليست مجموعة فايل، ولا علاقة لها بمجموعة فايل-شاتليه أو مجموعة مورديل-فايل.

مجموعة ويل لتشكيل فئة مع فئات أساسية u _{E / F} ∈ H ² ( E / F , A ^F ) هي نوع من مجموعة غالوا المعدلة، والتي قدمها ويل (1951) واستخدمت في صياغات مختلفة لنظرية حقل الفئة، وعلى وجه الخصوص في برنامج لانجلاندز .

إذا كانت الطبقة E / F طبقة عادية، فإن مجموعة ويل U للطبقة E / F هي الامتداد

1 → أ ^ف → ش → ه / ف → 1

يتوافق مع الفئة الأساسية u _{E / F} في H ² ( E / F , A ^F ). تُعرَّف زمرة ويل للتكوين بأكمله بأنها النهاية العكسية لزمر ويل لجميع الطبقات G / F ، حيث F زمرة فرعية مفتوحة من G.

إن خريطة التبادلية لتكوين الفئة ( G ، A ) تؤدي إلى تماثل من A ^G إلى التبديلية لمجموعة ويل. 

• آرتين، إميل ؛ تيت، جون (2009) [1952]، نظرية حقل الطبقات ، دار نشر تشيلسي التابعة لجمعية الرياضيات الأمريكية، بروفيدنس، رود آيلاند، رقم ISBN 978-0-8218-4426-7، MR 0223335 
• كاوادا، يوكيوسي (1971)، "تشكيلات الفئات"، معهد نظرية الأعداد لعام 1969 (وقائع ندوة الرياضيات البحتة، المجلد 20، جامعة ولاية نيويورك، ستوني بروك، نيويورك، 1969) ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، الصفحات 96-114 
• سيري، جان بيير (1979)، المجالات المحلية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد.  67، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-90424-5، MR 0554237 وخاصة الفصل الحادي عشر: تشكيلات الطبقات
• تيت، ج. (1979)، "الخلفية النظرية للأعداد" ، الأشكال التلقائية، والتمثيلات، ودوال L، الجزء 2 ، وقائع ندوة الرياضيات البحتة، المجلد  33، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات، الصفحات 3-26 ، ISBN  978-0-8218-1435-2
• ويل ، أندريه (1951)، “Sur la theorie du corps declass”، مجلة الجمعية الرياضية اليابانية ، 3 : 1–35 ، دوى : 10.2969/jmsj/00310001 ، ISSN 0025-5645 ، MR 0044569  ، أعيد طبعه في المجلد الأول من أوراقه المجمعة، ISBN 0-387-90330-5