توزيع لامدا لـ ويلكس

في الإحصاء ، يُعد توزيع لامدا ويلكس (المسمى على اسم صموئيل س. ويلكس ) توزيعًا احتماليًا يستخدم في اختبار الفرضيات متعددة المتغيرات ، وخاصة فيما يتعلق باختبار نسبة الاحتمال وتحليل التباين متعدد المتغيرات (MANOVA).

يتم تعريف توزيع ويلكس لامدا من متغيرين مستقلين موزعين وفقًا لتوزيع ويشارت على أنه التوزيع النسبي لمحدداتهما ، ^{[ 1 ]}

منح

${\displaystyle \mathbf {A} \sim W_{p}(\Sigma ,m)\qquad \mathbf {B} \sim W_{p}(\Sigma ,n)}$

مستقل ومع${\displaystyle m\geq p}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\det(\mathbf {A} )}{\det(\mathbf {A+B} )}}={\frac {1}{\det(\mathbf {I} +\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} )}}\sim \Lambda (p,m,n)}$

حيث p هو عدد الأبعاد. في سياق اختبارات نسبة الاحتمال، عادةً ما تكون m هي درجات حرية الخطأ، و n هي درجات حرية الفرضية، بحيث${\displaystyle n+m}$يمثل مجموع درجات الحرية. ^{[ 1 ]}

يوجد تناظر بين معلمات توزيع ويلكس، ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \Lambda (p,m,n)\sim \Lambda (n,m+np,p)}$

يمكن ربط التوزيع بحاصل ضرب متغيرات عشوائية مستقلة موزعة وفقًا لتوزيع بيتا

${\displaystyle u_{i}\sim B\left({\frac {m+ip}{2}},{\frac {p}{2}}\right)}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}u_{i}\sim \Lambda (p,m,n).}$

وعلى هذا النحو، يمكن اعتباره تعميمًا متعدد المتغيرات لتوزيع بيتا.

ويترتب على ذلك مباشرةً أنه بالنسبة لمسألة أحادية البعد، عندما تكون توزيعات ويشارت أحادية البعد مع${\displaystyle p=1}$(أي، توزيع مربع كاي)، ثم يكون توزيع ويلكس مساوياً لتوزيع بيتا مع مجموعة معينة من المعلمات،

${\displaystyle \Lambda (1,m,n)\sim B\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\right).}$

انطلاقاً من العلاقات بين بيتا وتوزيع F ، يمكن ربط لامدا ويلكس بتوزيع F عندما تكون إحدى معلمات توزيع لامدا ويلكس إما 1 أو 2، على سبيل المثال، ^{[ 1 ].}

${\displaystyle {\frac {1-\Lambda (p,m,1)}{\Lambda (p,m,1)}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{p,m-p+1},}$

و

${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{2p,2(m-p+1)}.}$