ثابت يامابي

في الرياضيات ، وتحديدًا في مجال الهندسة التفاضلية ، يُعرف ثابت يامابي ، أو ثابت سيجما ، بأنه عدد حقيقي ثابت مرتبط بمتشعب أملس ، ويُحفظ تحت تأثير التحويلات التفاضلية . وقد صِيغ لأول مرة بشكل مستقل من قِبَل أ. كوباياشي و ر. شون، وسُمّي نسبةً إلى هـ. يامابي . استخدمه فنسنت مونكريف وآرثر فيشر لدراسة الهاميلتوني المُختزل لمعادلات أينشتاين.

يترك${\displaystyle M}$ليكن متعدد الشعب أملسًا مضغوطًا (بدون حدود) ذو بُعد${\displaystyle n\geq 2}$دالة أينشتاين-هيلبرت المعيارية${\displaystyle {\mathcal {E}}}$يُخصص لكل مقياس ريماني${\displaystyle g}$على${\displaystyle M}$عدد حقيقي كما يلي:

${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)={\frac {\int _{M}R_{g}\,dV_{g}}{\left(\int _{M}\,dV_{g}\right)^{\frac {n-2}{n}}}},}$

أين${\displaystyle R_{g}}$هو الانحناء القياسي لـ${\displaystyle g}$و${\displaystyle dV_{g}}$هي كثافة الحجم المرتبطة بالمقياس${\displaystyle g}$يتم اختيار الأس في المقام بحيث تكون الدالة ثابتة المقياس: لكل ثابت حقيقي موجب${\displaystyle c}$إنه يرضي${\displaystyle {\mathcal {E}}(cg)={\mathcal {E}}(g)}$قد نفكر في${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)}$باعتبارها قياسًا لمتوسط ​​الانحناء القياسي لـ${\displaystyle g}$زيادة${\displaystyle M}$افترض يامابي أن كل فئة مطابقة من المقاييس تحتوي على مقياس ذي انحناء قياسي ثابت (ما يُعرف بمسألة يامابي )؛ وقد أثبت يامابي، وترودينجر ، وأوبين ، وشون أن القيمة الدنيا لـ${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)}$يتم تحقيق ذلك في كل فئة مطابقة من المقاييس، وعلى وجه الخصوص يتم تحقيق هذا الحد الأدنى بواسطة مقياس ذي انحناء قياسي ثابت.

نحن نحدد

${\displaystyle Y(g)=\inf _{f}{\mathcal {E}}(e^{2f}g),}$

حيث يتم حساب الحد الأدنى على الدوال الحقيقية الملساء${\displaystyle f}$على${\displaystyle M}$هذا الحد الأدنى محدود (ليس${\displaystyle -\infty }$): متباينة هولدر تعني${\displaystyle Y(g)\geq -\left(\textstyle \int _{M}|R_{g}|^{n/2}\,dV_{g}\right)^{2/n}}$الرقم${\displaystyle Y(g)}$يُطلق عليها أحيانًا طاقة يامابي المطابقة لـ${\displaystyle g}$(وهي ثابتة في الفئات المطابقة).

تُظهر حجة المقارنة التي قدمها أوبين أنه لأي مقياس${\displaystyle g}$،${\displaystyle Y(g)}$يحدها من الأعلى${\displaystyle {\mathcal {E}}(g_{0})}$، أين ${\displaystyle g_{0}}$هو المقياس القياسي في${\displaystyle n}$-جسم كروي${\displaystyle S^{n}}$ويترتب على ذلك أنه إذا عرّفنا

${\displaystyle \sigma (M)=\sup _{g}Y(g),}$

حيث يتم تطبيق القيمة العليا على جميع المقاييس في${\displaystyle M}$، ثم${\displaystyle \sigma (M)\leq {\mathcal {E}}(g_{0})}$(وهو محدود على وجه الخصوص). العدد الحقيقي${\displaystyle \sigma (M)}$يُطلق عليه اسم ثابت يامابي لـ${\displaystyle M}$.

في حالة أن${\displaystyle n=2}$(بحيث يكون M سطحًا مغلقًا ) تُعطى دالة أينشتاين-هيلبرت بالصيغة التالية

${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)=\int _{M}R_{g}\,dV_{g}=\int _{M}2K_{g}\,dV_{g},}$

أين${\displaystyle K_{g}}$يمثل انحناء غاوس للدالة g . ومع ذلك، وفقًا لنظرية غاوس-بونيه ، يُعطى تكامل انحناء غاوس بالصيغة التالية:${\displaystyle 2\pi \chi (M)}$، أين${\displaystyle \chi (M)}$هي خاصية أويلر للمصفوفة M. وعلى وجه الخصوص، لا يعتمد هذا العدد على اختيار المقياس. لذلك، بالنسبة للأسطح، نستنتج أن

${\displaystyle \sigma (M)=4\pi \chi (M).}$

على سبيل المثال، الكرة ثنائية الأبعاد لها ثابت يامابي يساوي${\displaystyle 8\pi }$، ويكون ثابت يامابي للسطح الحلقي ثنائي الأبعاد مساوياً للصفر.

في أواخر التسعينيات، قام كلود لوبرون وزملاؤه بحساب ثابت يامابي لفئات كبيرة من متعددات الشعب الرباعية. وعلى وجه الخصوص، تبين أن معظم الأسطح المركبة المدمجة لها ثابت يامابي سالب وقابل للحساب بدقة، وأن أي مقياس كاهلر-أينشتاين ذي انحناء قياسي سالب يحقق ثابت يامابي في البعد 4. كما تبين أن ثابت يامابي لـ${\displaystyle CP^{2}}$يتحقق ذلك بواسطة مقياس فوبيني-ستودي ، وبالتالي فهو أقل من نظيره في الكرة الرباعية. تعتمد معظم هذه الحجج على نظرية سيبرغ-ويتن ، ولذا فهي خاصة بالبعد الرابع.

تنص إحدى النتائج المهمة التي توصل إليها بيتيان على أنه إذا${\displaystyle M}$متصل ببساطة وله أبعاد${\displaystyle n\geq 5}$، ثم${\displaystyle \sigma (M)\geq 0}$في ضوء حل بيرلمان لتخمين بوانكاريه ، يترتب على ذلك أن الاتصال البسيط${\displaystyle n}$لا يمكن أن يكون للمتشعب - ثابت يامابي سلبي إلا إذا${\displaystyle n=4}$من ناحية أخرى، وكما سبق ذكره، ببساطة متصلة ${\displaystyle 4}$في الواقع، غالبًا ما تحتوي المتشعبات على ثوابت يامابي سالبة.

فيما يلي جدول لبعض المشعبات الملساء ذات البعد الثالث والتي لها ثابت يامابي معروف. في البعد 3، يكون العدد${\displaystyle {\mathcal {E}}(g_{0})}$يساوي${\displaystyle 6(2\pi ^{2})^{2/3}}$وغالباً ما يُشار إليه بـ${\displaystyle \sigma _{1}}$.

${\displaystyle M}$	${\displaystyle \sigma (M)}$	ملحوظات
${\displaystyle S^{3}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	الكرة الثلاثية
${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	الحزمة الكروية الثنائية التافهة فوق${\displaystyle S^{1}}$[ 1 ]
${\displaystyle S^{2}{\stackrel {\sim }{\times }}S^{1}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	الحزمة الفريدة غير القابلة للتوجيه المكونة من كرتين فوق${\displaystyle S^{1}}$
${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{3}}$	${\displaystyle \sigma _{1}/2^{2/3}}$	تم حسابها بواسطة براي ونيفيس
${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{2}\times S^{1}}$	${\displaystyle \sigma _{1}/2^{2/3}}$	تم حسابها بواسطة براي ونيفيس
${\displaystyle T^{3}}$	${\displaystyle 0}$	الحلقة الثلاثية

استنادًا إلى حجةٍ منسوبةٍ إلى أندرسون، تُشير نتائج بيرلمان حول تدفق ريتشي إلى أن المقياس ذي الانحناء الثابت على أي مشعب ثلاثي الأبعاد زائدي يُحقق ثابت يامابي. وهذا يُوفر لنا عددًا لا نهائيًا من الأمثلة على المشعبات ثلاثية الأبعاد التي يكون فيها الثابت سالبًا وقابلًا للحساب بدقة.

إشارة ثابت يامابي لـ${\displaystyle M}$تحتوي على معلومات طوبولوجية مهمة. على سبيل المثال،${\displaystyle \sigma (M)}$تكون النتيجة موجبة إذا وفقط إذا${\displaystyle M}$^{[ 2 ]} تكمن أهمية هذه الحقيقة في أننا نعرف الكثير عن طوبولوجيا المتشعبات ذات المقاييس ذات الانحناء القياسي الموجب .

• تدفق يامابي
• مشكلة يامابي
• نظرية أوباتا

• MT Anderson , "المقاييس الكنسية على 3-المشعبات و 4-المشعبات"، Asian J. Math. 10 127–163 (2006).
• K. Akutagawa, M. Ishida, and C. LeBrun, “Perelman's invariant, Ricci flow, and the Yamabe invariants of smooth manifolds”, Arch. Math. 88 , 71–76 (2007).
• هـ. براي وأ. نيفيس، "تصنيف المشعبات الأولية ثلاثية الأبعاد ذات ثابت يامابي أكبر من${\displaystyle \mathbb {RP} ^{3}}$", Ann. of Math. 159 , 407–424 (2004).
• إم جيه جورسكي وسي. ليبرون، "ثوابت يامابي و${\displaystyle Spin^{c}}$الهياكل"، Geom. Funct. Anal. 8 965–977 (1998).
• O. Kobayashi, "Scalar curvature of a metric with unit volume", Math. Ann. 279 , 253–265, 1987.
• C. LeBrun, "الشعب الرباعية بدون مقاييس أينشتاين"، رسائل البحوث الرياضية 3 133-147 (1996).
• سي. ليبرون، "بعد كودايرا ومشكلة يامابي"، بالاتصالات. شرجي. جيوم. 7 133-156 (1999).
• J. Petean, "The Yamabe invariant of simply connected manifolds", J. Reine Angew. Math. 523 225–231 (2000).
• R. Schoen, "نظرية التباين للدالة الكلية لانحناء القياس القياسي للمقاييس الريمانية والمواضيع ذات الصلة"، موضوعات في حساب التفاضل والتكامل ، محاضرات في الرياضيات 1365 ، سبرينغر، برلين، 120-154، 1989.