انحناء غاوسي

في الهندسة التفاضلية ، يكون انحناء غاوس ( الرمز Κ ، سمي على اسم كارل فريدريش غاوس ) لسطح أملس في الفضاء ثلاثي الأبعاد عند نقطة ما هو حاصل ضرب الانحناءين الرئيسيين ، κ ₁ و κ ₂ ، عند النقطة المعطاة: $${\displaystyle K=\kappa _{1}\kappa _{2}.}$$ على سبيل المثال، تتمتع كرة نصف قطرها r بانحناء غاوسي مقداره 1 / r² في كل مكان ^، بينما يكون الانحناء الغاوسي للسطح المستوي والأسطوانة صفراً في كل مكان. ويمكن أن يكون الانحناء الغاوسي سالباً أيضاً، كما في حالة القطع الزائد أو السطح الداخلي للسطح الحلقي .

يُعدّ انحناء غاوس مقياسًا جوهريًا للانحناء ، بمعنى أنه من الممكن من حيث المبدأ قياسه بواسطة كائن ثنائي الأبعاد يعيش بالكامل داخل السطح، لأنه يعتمد فقط على المسافات المقاسة "داخل" السطح أو على طوله، وليس على كيفية تضمينه المتساوي القياس في الفضاء الإقليدي. هذا هو مضمون نظرية إغريغيوم ، التي نشرها غاوس عام 1827.

في أي نقطة على سطح ما، يمكننا إيجاد متجه عمودي على السطح؛ وتُسمى المستويات التي تحتوي على هذا المتجه بالمستويات العمودية . يشكّل تقاطع المستوى العمودي مع السطح منحنىً يُسمى المقطع العمودي ، وانحناء هذا المنحنى هو الانحناء العمودي . بالنسبة لمعظم النقاط على معظم الأسطح "الناعمة"، يكون للمقاطع العمودية المختلفة انحناءات مختلفة؛ وتُسمى القيمتان القصوى والدنيا لهذه المقاطع بالانحناءات الرئيسية ، ولنرمز لهما بـ _κ₁ و κ₂ . _{الانحناء} الغاوسي هو حاصل ضرب هذين الانحناءين الرئيسيين : κ = κ₁ _{κ₂ .}

يمكن استخدام إشارة انحناء غاوس لتوصيف السطح.

• إذا كانت كلتا الانحناءتين الرئيسيتين من نفس الإشارة: κ₁ κ₂ > 0 ، فإن انحناء غاوس يكون موجبًا _{، ويُقال إن السطح يحتوي على نقطة إهليلجية. عند هذه النقاط ،} يكون السطح على شكل قبة، ويقع محليًا على أحد جانبي مستواه المماس. جميع الانحناءات المقطعية تكون من نفس الإشارة.
• إذا كانت الانحناءات الرئيسية ذات إشارات مختلفة: κ₁ κ₂ < 0 _{، فإن انحناء غاوس يكون سالبًا ،} ويُقال إن السطح يحتوي على نقطة زائدية أو نقطة سرجية . عند هذه النقاط، يكون السطح على شكل سرجي. ولأن أحد الانحناءات الرئيسية سالب والآخر موجب، ولأن الانحناء العمودي يتغير باستمرار عند تدوير مستوى متعامد مع السطح حول العمودي عليه في اتجاهين، فإن الانحناءات العمودية ستكون صفرًا، مما يُعطي المنحنيات التقاربية لتلك النقطة.
• إذا كان أحد الانحناءات الرئيسية يساوي صفرًا: κ ₁ κ ₂ = 0 ، فإن انحناء غاوس يساوي صفرًا ويقال أن السطح له نقطة مكافئة.

تحتوي معظم الأسطح على مناطق ذات انحناء غاوسي موجب (نقاط بيضاوية) ومناطق ذات انحناء غاوسي سالب مفصولة بمنحنى من النقاط ذات انحناء غاوسي صفري يسمى خط القطع المكافئ .

عندما يكون للسطح انحناء غاوسي ثابت يساوي صفرًا، فإنه يكون سطحًا قابلاً للتطوير وتكون هندسة السطح هندسة إقليدية .

عندما يكون للسطح انحناء غاوسي موجب ثابت، فإن هندسة هذا السطح تكون هندسة كروية . تتميز الكرات ومجموعات الكرات بهذه الهندسة، ولكن توجد أمثلة أخرى أيضًا، مثل شكل الليمونة/كرة القدم الأمريكية .

عندما يكون للسطح انحناء غاوسي سالب ثابت، فإنه يكون سطحًا شبه كروي وتكون هندسة السطح هندسة زائدية .

يمثل الانحناءان الرئيسيان عند نقطة معينة على سطح ما القيم الذاتية لمؤثر الشكل عند تلك النقطة. وهما يقيسان مقدار انحناء السطح في اتجاهات مختلفة انطلاقًا من تلك النقطة. نمثل السطح، وفقًا لنظرية الدالة الضمنية ، برسم بياني لدالة f ذات متغيرين، بحيث تكون النقطة p نقطة حرجة، أي أن تدرج f يساوي صفرًا (ويمكن تحقيق ذلك دائمًا بحركة صلبة مناسبة). عندئذٍ، يكون انحناء غاوس للسطح عند p هو محدد مصفوفة هيسيان 2×2 للدالة f (وهو حاصل ضرب القيم الذاتية لمصفوفة هيسيان). (تذكر أن مصفوفة هيسيان هي مصفوفة متناظرة من المشتقات الثانية، والتي في الفضاء الإقليدي قابلة للتقطير عبر الحالة الخاصة لنظرية الطيف المقيدة عندما تكون H مكافئة لمرافقها المنقول ، أي أن H حقيقية) يسمح هذا التعريف بفهم الفرق بين نقطة الكأس/الغطاء ونقطة السرج على الفور.

كما هو موضح بواسطة $${\displaystyle K={\frac {{\bigl \langle}(\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}{\bigr \rangle }}{\det g}},}$$ حيث ∇ _i = ∇ _{e i} هو المشتق المتغير و g هو موتر القياس .

عند نقطة p على سطح منتظم في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ^R³ ، يُعطى انحناء غاوس أيضًا بالصيغة التالية: $${\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det S(\mathbf {p} ),}$$ حيث S هو عامل الشكل .

تُعد معادلة ليوفيل، بدلالة لابلاس في الإحداثيات متساوية الحرارة، صيغة مفيدة لانحناء غاوس .

يُطلق على التكامل السطحي لانحناء غاوس على منطقة معينة من سطح ما اسم الانحناء الكلي . يساوي الانحناء الكلي للمثلث الجيوديسي انحراف مجموع زواياه عن π . يتجاوز مجموع زوايا المثلث على سطح ذي انحناء موجب قيمة π ، بينما يكون مجموع زوايا المثلث على سطح ذي انحناء سالب أقل من π . أما على سطح ذي انحناء صفري، كالمستوى الإقليدي ، فيكون مجموع الزوايا مساويًا لـ π راديان بالضبط. $${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\iint _{T}K\,dA.}$$ أما النتيجة الأكثر عمومية فهي نظرية جاوس-بونيه .

• تنص نظرية ميندينغ (1839) على أن جميع الأسطح ذات الانحناء الثابت K متساوية القياس محليًا. ومن نتائج هذه النظرية أنه يمكن إنشاء أي سطح يكون انحناؤه صفرًا تمامًا عن طريق ثني منطقة مستوية معينة. تُسمى هذه الأسطح بالأسطح القابلة للتطوير . كما أثار ميندينغ تساؤلًا حول ما إذا كان السطح المغلق ذو الانحناء الموجب الثابت صلبًا بالضرورة.
• أجابت نظرية ليبمان (1900) على سؤال ميندينغ. الأسطح المغلقة المنتظمة الوحيدة (من الفئة C2 ) في ^الفضاء R3 ذات الانحناء الغاوسي الموجب الثابت هي الكرات . ^{[ 2 ]} إذا تشوهت كرة، فإنها لا تبقى كرة، مما يثبت أن الكرة صلبة. يستخدم برهان قياسي ليمّة هيلبرت التي ^تنص على أن النقاط غير السرية ذات الانحناء الرئيسي الأقصى لها انحناء غاوسي غير موجب. ^{[ 3 ]}
• تنص نظرية هيلبرت (1901) على أنه لا يوجدسطح منتظم تحليلي كامل (من الفئة Cω ) في ^{الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد (} R³ ⁾ ذو انحناء غاوسي سالب ثابت. في الواقع، تنطبق هذه النتيجة أيضًا على الأسطح من الفئة C² المغمورة في R³ ، لكنها لا تنطبق على ^{الأسطح من الفئة} C¹ . يتميز السطح الزائف بانحناء غاوسي سالب ثابت باستثناء دائرة حدوده، حيث يكون الانحناء الغاوسي غير مُعرَّف.

توجد أسطح أخرى ذات انحناء غاوسي موجب ثابت. يدرس مانفريدو دو كارمو أسطح الدوران.${\displaystyle (\phi (v)\cos(u),\phi (v)\sin(u),\psi (v))}$أين${\displaystyle \phi (v)=C\cos v}$، و${\textstyle \psi (v)=\int _{0}^{v}{\sqrt {1-C^{2}\sin ^{2}v'}}\ dv'}$( تكامل إهليلجي غير مكتمل من النوع الثاني ). جميع هذه الأسطح لها انحناء غاوسي ثابت يساوي 1، ولكن، بالنسبة لـ${\displaystyle C\neq 1}$إما أن يكون لها حدود أو نقطة شاذة. كما يقدم دو كارمو ثلاثة أمثلة مختلفة لسطح ذي انحناء غاوسي سالب ثابت، أحدها هو الكرة الزائفة . ^{[ 4 ]}

توجد العديد من الأسطح المحدودة الأخرى الممكنة ذات الانحناء الغاوسي الثابت. في حين أن الكرة صلبة ولا يمكن ثنيها باستخدام التناظر، إلا أنه إذا أُزيل جزء صغير منها، أو حتى قُطع جزء صغير منها، فإنه يمكن ثني السطح الناتج. يحافظ هذا الثني على الانحناء الغاوسي، لذا فإن أي ثني للكرة بعد إزالة جزء منها سيحافظ أيضًا على الانحناء الغاوسي الثابت. ^{[ 5 ]}

• يمكن التعبير عن انحناء غاوس لسطح في R ³ كنسبة بين محددات الشكلين الأساسيين الثاني والأول II و I :$${\displaystyle K={\frac {\det(\mathrm {I\!I} )}{\det(\mathrm {I} )}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}.}$$
• التعطي صيغة بريوشي (نسبة إلىفرانشيسكو بريوشي) انحناء غاوس فقط من حيث الشكل الأساسي الأول:$$$$ {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{\left(EG-F^{2}\right)^{2}}}}$$
• بالنسبة للمعاملات المتعامدة ( F = 0 )، يكون انحناء غاوس كما يلي:$${\displaystyle K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {G_{u}}{\sqrt {EG}}}+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}{\sqrt {EG}}}\right).}$$
• بالنسبة لسطح موصوف بأنه رسم بياني لدالة ثنائية المتغيرات z = F ( x , y ) ، فإن انحناء غاوس هو: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle K={\frac {F_{xx}\cdot F_{yy}-F_{xy}^{2}}{\left(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{2}}}}$$
• بالنسبة لسطح معرف ضمنيًا، F ( x , y , z ) = 0 ، يمكن التعبير عن انحناء غاوس بدلالة التدرج ∇ F ومصفوفة هيسيان H ( F ) : ^{[ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle K=-{\frac {\begin{vmatrix}H(F)&\nabla F^{\mathsf {T}}\\\nabla F&0\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}=-{\frac {\begin{vmatrix}F_{xx}&F_{xy}&F_{xz}&F_{x}\\F_{xy}&F_{yy}&F_{yz}&F_{y}\\F_{xz}&F_{yz}&F_{zz}&F_{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}&0\\\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}}$$
• بالنسبة لسطح ذي مقياس متطابق مع المقياس الإقليدي، بحيث يكون F = 0 و E = G = e ^σ ، فإن انحناء غاوس يُعطى بواسطة (حيث Δ هو عامل لابلاس المعتاد ):$${\displaystyle K=-{\frac {1}{2e^{\sigma }}}\Delta \sigma .}$$
• الانحناء الغاوسي هو الفرق الحدي بين محيط دائرة جيوديسية ودائرة في المستوى: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi rC(r)}{\pi r^{3}}}}$$
• الانحناء الغاوسي هو الفرق الحدي بين مساحة القرص الجيوديسي ومساحة القرص في المستوى: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}}$$
• يمكن التعبير عن انحناء غاوس باستخدام رموز كريستوفيل : ^{[ 10 ]}$${\displaystyle K=-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)}$$

• نصف قطر انحناء الأرض الغاوسي
• الانحناء المقطعي
• متوسط ​​الانحناء
• خريطة غاوس
• موتر انحناء ريمان
• الانحناء الرئيسي

• غرينفيلد، ب. (2014). مقدمة في تحليل الموترات وحساب الأسطح المتحركة . سبرينغر. ISBN 978-1-4614-7866-9.
• روفيلي، كارلو (2021). النسبية العامة: الأساسيات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-009-01369-7.

• "انحناء غاوسي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]