النظرية الرئيسية لزاريسكي

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 7 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة الجبرية ، تُعدّ نظرية زاريسكي الرئيسية ، التي أثبتها أوسكار زاريسكي ( 1943 ) ، بيانًا حول بنية التشكلات الثنائية النسبية ، وتنصّ تقريبًا على وجود فرع واحد فقط عند أي نقطة طبيعية في أي صنف . وهي حالة خاصة من نظرية زاريسكي للاتصال عندما يكون الصنفان ثنائيي النسب. 

يمكن صياغة نظرية زاريسكي الرئيسية بعدة طرق تبدو للوهلة الأولى مختلفة تمامًا، ولكنها في الواقع مترابطة ترابطًا وثيقًا. وفيما يلي بعض الصيغ التي تُعرف بنظرية زاريسكي الرئيسية:

  • التشاكل الثنائي النسبي ذو الألياف المحدودة إلى صنف طبيعي هو تشاكل إلى مجموعة فرعية مفتوحة.
  • التحويل الكلي لنقطة أساسية طبيعية لخريطة ثنائية نسبية له بُعد موجب. هذه هي في الأساس النسخة الأصلية لزاريسكي.
  • التحويل الكلي لنقطة عادية تحت تشاكل ثنائي نسبي مناسب متصل.
  • يصف تعميم منسوب إلى غروتينديك بنية التشكلات شبه المحدودة للمخططات .

تتضمن العديد من النتائج في الجبر التبادلي الأشكال الهندسية لنظرية زاريسكي الرئيسية، بما في ذلك:

وقد تم تسمية النتيجة الأصلية بـ "النظرية الرئيسية" في زاريسكي ( 1943 ) . 

النظرية الرئيسية لزاريسكي للتشاكلات الثنائية النسبية

ليكن f تطبيقًا ثنائيًا نسبيًا على أصناف جبرية V و W. تذكر أن f معرف بواسطة صنف فرعي مغلق .Γ⊂V×دبليو{\displaystyle \Gamma \subset V\times W}(رسم بياني للدالة f ) بحيث يكون الإسقاط على العامل الأولص1{\displaystyle p_{1}}يُحدث تماثلاً بين مفتوحيو⊂V{\displaystyle U\subset V}وص1-1(يو){\displaystyle p_{1}^{-1}(U)}، وعلى هذا النحوص2∘ص1-1{\displaystyle p_{2}\circ p_{1}^{-1}}هو تماثل على U أيضًا. يُطلق على متمم U في V اسم تنوع أساسي أو موضع عدم تحديد ، وصورة مجموعة جزئية من V تحتص2∘ص1-1{\displaystyle p_{2}\circ p_{1}^{-1}}يُطلق عليه اسم التحول الكامل له.

نصّ النص الأصلي للنظرية في ( زاريسكي 1943 ، ص 522) هو: 

النظرية الرئيسية: إذا كان W عبارة عن تنوع أساسي غير قابل للاختزال على V لتطابق ثنائي عقلاني T بين V و V ′ وإذا لم يكن لـ T عناصر أساسية على V ′، فإنه - بافتراض أن V طبيعي محليًا عند W - يكون كل مكون غير قابل للاختزال للتحويل T [ W ] ذا بُعد أعلى من W.

هنا T هو في الأساس تشاكل من V ′ إلى V وهو ثنائي نسبي، و W هو صنف فرعي من المجموعة حيث لا يتم تعريف معكوس T الذي تكون حلقته المحلية طبيعية، والتحويل T [ W ] يعني الصورة العكسية لـ W تحت التشاكل من V ′ إلى V.

فيما يلي بعض الصيغ المختلفة لهذه النظرية باستخدام مصطلحات أحدث. يطلق هارتشورن (1977 ، النتيجة III.11.4) على عبارة الاتصال التالية اسم "نظرية زاريسكي الرئيسية":

إذا كان f : X → Y عبارة عن تشاكل إسقاطي ثنائي نسبي بين مخططات التكامل النويثرية، فإن الصورة العكسية لكل نقطة طبيعية لـ Y تكون متصلة.

والنتيجة التالية لذلك (النظرية V.5.2، المرجع السابق ) تُعرف أيضاً بهذا الاسم:

إذا كان f : X → Y تحويلًا ثنائيًا منطقيًا للأصناف الإسقاطية مع Y طبيعي، فإن التحويل الكلي لنقطة أساسية لـ f يكون متصلًا وله بُعد لا يقل عن 1.

أمثلة

  • لنفترض أن V عبارة عن تنوع أملس ذي بُعد أكبر من 1 وأن ​​V ′ معطى بتفجير نقطة W على V. عندئذٍ يكون V طبيعيًا عند W ، ويكون مُركِّب تحويل W فضاءً إسقاطيًا، له بُعد أكبر من W كما تنبأت به الصيغة الأصلية لنظرية زاريسكي الرئيسية.
  • في المثال السابق، كان تحويل W غير قابل للاختزال. من السهل إيجاد أمثلة يكون فيها التحويل الكلي قابلاً للاختزال عن طريق تضخيم نقاط أخرى على التحويل. على سبيل المثال، إذا تم الحصول على V ′ بتضخيم نقطة W على V ثم تضخيم نقطة أخرى على هذا التحويل، فإن التحويل الكلي لـ W يحتوي على مُركّبين غير قابلين للاختزال يلتقيان عند نقطة واحدة. وكما تنبأت صيغة هارتشورن للنظرية الرئيسية، فإن التحويل الكلي متصل وله بُعد لا يقل عن 1.
  • كمثالٍ حيث لا يكون W طبيعيًا ولا تتحقق نتيجة النظرية الرئيسية، لنفترض أن V ′ منوع أملس، وأن V معطى بتحديد نقطتين مختلفتين على V ′ ، وأن W هي صورة هاتين النقطتين. عندئذٍ، يكون W غير طبيعي، ويتكون تحويل W من نقطتين غير متصلتين، وليس لهما بُعد موجب.

النظرية الرئيسية لزاريسكي للتشاكلات شبه المحدودة

في كتاب EGA III، يطلق غروتينديك على العبارة التالية التي لا تتضمن الاتصال اسم "النظرية الرئيسية" لزاريسكي غروتينديك (1961 ، النظرية 4.4.3) :

إذا كان f : X → Y تشاكلاً شبه إسقاطي لمخططات نوثرية، فإن مجموعة النقاط المعزولة في أليافها تكون مفتوحة في X. علاوة على ذلك، فإن المخطط المستحث لهذه المجموعة متماثل مع مجموعة جزئية مفتوحة من مخطط منتهٍ على Y.

في كتاب EGA IV، لاحظ غروتينديك أن العبارة الأخيرة يمكن استنتاجها من نظرية أعمّ حول بنية التشكلات شبه المنتهية ، والتي يُشار إليها غالبًا باسم "نظرية زاريسكي الرئيسية بصيغة غروتينديك". من المعروف أن الغمر المفتوح والتشكلات المنتهية هي تشكلات شبه منتهية. أثبت غروتينديك أنه في ظل فرضية الانفصال، فإن جميع التشكلات شبه المنتهية هي تركيبات من هذه التشكلات (غروتينديك، 1966 ، النظرية 8.12.6) .

إذا كان Y مخططًا منفصلاً شبه مضغوط وو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}إذا كان تشاكلًا منفصلًا ، شبه منتهٍ، ومُقدَّمًا بشكل منتهٍ، فإنه يوجد تحليل إلىX→Z→Y{\displaystyle X\to Z\to Y}، حيث تكون الخريطة الأولى عبارة عن غمر مفتوح، أما الثانية فهي محدودة.

العلاقة بين هذه النظرية المتعلقة بالتشاكلات شبه المنتهية والنظرية 4.4.3 من EGA III المذكورة أعلاه هي أنه إذا كان f : X → Y تشاكلًا إسقاطيًا للمتنوعات، فإن مجموعة النقاط المعزولة في أليافها تكون شبه منتهية على Y. عندئذٍ تنطبق نظرية البنية للتشاكلات شبه المنتهية وتؤدي إلى النتيجة المرجوة.

نظرية زاريسكي الرئيسية للحلقات التبديلية

أعاد زاريسكي (1949) صياغة نظريته الرئيسية باستخدام الجبر التبادلي كعبارة حول الحلقات المحلية. وقد عمم غروتينديك (1961 ، النظرية 4.4.7) صياغة زاريسكي على النحو التالي:

إذا كان B جبرًا من النوع المحدود على حلقة نوثرية محلية A ، وكان n مثاليًا أقصى لـ B وهو أصغر بين مثاليات B التي صورتها العكسية في A هي المثالي الأقصى m لـ A ، فإنه يوجد جبر A محدود A ′ مع مثالي أقصى m ′ (الذي صورته العكسية في A هي m ) بحيث يكون التوطين B n متماثلًا مع جبر A A ′ m ′ .

إذا كانت A و B مجموعتين صحيحتين ولهما نفس حقل الكسور ، وكانت A مجموعة مغلقة تكاملياً، فإن هذه النظرية تستلزم أن A و B متساويتان. هذه هي في جوهرها صياغة زاريسكي لنظريته الرئيسية بدلالة الحلقات التبديلية.

النظرية الرئيسية لزاريسكي: الشكل الطوبولوجي

تنص النسخة الطوبولوجية من نظرية زاريسكي الرئيسية على أنه إذا كانت x نقطة ( مغلقة ) من تنوع معقد طبيعي، فإنها أحادية الفرع ؛ بعبارة أخرى، هناك جوارات صغيرة بشكل تعسفي U لـ x بحيث تكون مجموعة النقاط غير الشاذة لـ U متصلة ( مامفورد 1999 ، III.9) .

إن خاصية كون الشيء طبيعياً أقوى من خاصية كونه أحادي الفرع: على سبيل المثال، نقطة التقاء منحنى مستوٍ هي أحادية الفرع ولكنها ليست طبيعية.

نظرية زاريسكي الرئيسية: شكل متسلسلة القوى

تنص نسخة متسلسلة القوى الرسمية لنظرية زاريسكي الرئيسية على أنه إذا كانت x نقطة طبيعية لمجموعة متنوعة فإنها تكون طبيعية تحليليًا ؛ بعبارة أخرى، فإن إكمال الحلقة المحلية عند x هو مجال تكاملي طبيعي ( مامفورد 1999 ، III.9) .

انظر أيضاً

مراجع