مجموعة المثلثات (2، 3، 7)

لإنشاء مجموعة المثلثات، نبدأ بمثلث زائدي بزوايا π/2 وπ/3 وπ/7. هذا المثلث، وهو أصغر مثلث شوارتز زائدي ، يُبلّط المستوى بانعكاسات على أضلاعه. لننظر إذن إلى المجموعة المولدة من انعكاسات أضلاع المثلث، والتي (بما أن المثلث يُبلّط) هي مجموعة بلورية غير إقليدية (مجموعة فرعية منفصلة من التماثلات الزائدية) مع هذا المثلث كمجال أساسي ؛ والتبليط المرتبط به هو التبليط السباعي المنصف من الرتبة 3. تُعرَّف مجموعة المثلثات (2، 3، 7) بأنها المجموعات الفرعية ذات الدليل 2 التي تتكون من التماثلات الحافظة للاتجاه، وهي مجموعة فوكسية (مجموعة NEC الحافظة للاتجاه).

تبليطات منتظمة سباعية/مثلثة v ت هـ
التناظر: [7,3]، (*732)							[7,3] + , (732)
{7,3}	t{7,3}	r{7,3}	t{3,7}	{3,7}	rr{7,3}	tr{7,3}	sr{7,3}
ثنائيات موحدة
V7 3	الإصدار 3.14.14	الإصدار 3.7.3.7	الإصدار 6.6.7	الإصدار 3 7	الإصدار 3.4.7.4	الإصدار 4.6.14	الإصدار 3.3.3.3.7

يتم عرضها من حيث زوج من المولدات، g ₂ و g ₃ ، بتردد العلاقات التالية:

${\displaystyle g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=1.}$

هندسياً، تتوافق هذه مع عمليات الدوران بمقدار${\displaystyle {\frac {2\pi }{2}},{\frac {2\pi }{3}}}$، و${\displaystyle {\frac {2\pi }{7}}}$حول رؤوس مثلث شوارتز.

يمكن تمثيل زمرة المثلث (2، 3، 7) بدلالة زمرة الكواترنيونات ذات المعيار 1 بترتيب مناسب في جبر الكواترنيونات . وبشكل أكثر تحديدًا، فإن زمرة المثلث هي خارج قسمة زمرة الكواترنيونات على مركزها  ±1.

لنفترض أن η  =  2cos(2π/7). إذن من المتطابقة

${\displaystyle (2-\eta )^{3}=7(\eta -1)^{2}.}$

نلاحظ أن Q (η) هو امتداد مكعب حقيقي تمامًا لـ Q. زمرة المثلث الزائدي (2، 3، 7) هي زمرة جزئية من زمرة العناصر ذات المعيار 1 في جبر الكواترنيون المُوَلَّد كجبر ترابطي بواسطة زوج المولدات i و j والعلاقات i² = ^j² = η و ij = −ji . يتم اختيار ترتيب هورويتز كواترنيون مناسب ^.  ${\displaystyle {\mathcal {Q}} _ {\mathrm {Hur} }}$في جبر الكواترنيون. هنا الترتيب${\displaystyle {\mathcal {Q}} _ {\mathrm {Hur} }}$يتم توليدها بواسطة العناصر

${\displaystyle g_{2}={\tfrac {1}{\eta }}ij}$

${\displaystyle g_{3}={\tfrac {1}{2}}(1+(\eta ^{2}-2)j+(3-\eta ^{2})ij).}$

في الواقع، الترتيب عبارة عن وحدة Z [η] حرة على الأساس${\displaystyle 1,g_{2},g_{3},g_{2}g_{3}}$هنا، تحقق المولدات العلاقات التالية

${\displaystyle g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=-1,\,}$

والتي تنحدر إلى العلاقات المناسبة في مجموعة المثلث، بعد القسمة على المركز.