مجموعة فوكسيان

في الرياضيات ، تُعرَّف المجموعة الفوشية بأنها مجموعة جزئية منفصلة من فضاء PSL(2, R ) . ويمكن اعتبار المجموعة PSL(2, R ) مكافئةً لمجموعة من التحويلات المتماثلة الحافظة للاتجاه في المستوى الزائدي ، أو التحويلات المطابقة للقرص الواحدي ، أو التحويلات المطابقة للنصف العلوي من المستوى ، وبالتالي يمكن اعتبار المجموعة الفوشية مجموعةً تؤثر على أيٍّ من هذه الفضاءات. توجد بعض الاختلافات في التعريف: ففي بعض الأحيان يُفترض أن المجموعة الفوشية مولدة توليدًا منتهيًا ، وفي أحيان أخرى يُسمح لها بأن تكون مجموعة جزئية من فضاء PGL(2, R ) (بحيث تحتوي على عناصر تعكس الاتجاه)، وفي أحيان أخرى يُسمح لها بأن تكون مجموعة كلاينية (مجموعة جزئية منفصلة من فضاء PSL(2, C ) ) مترافقة مع مجموعة جزئية من فضاء PSL(2, R ).

تُستخدم الزمر الفوشية لإنشاء نماذج فوكسية لأسطح ريمان . في هذه الحالة، يُمكن تسمية الزمرة بالزمرة الفوشية للسطح . بمعنى ما، تُؤدي الزمر الفوشية وظيفةً في الهندسة غير الإقليدية تُشابه وظيفة الزمر البلورية في الهندسة الإقليدية . بعض رسومات إيشر مبنية عليها (في نموذج القرص للهندسة الزائدية).

تمت دراسة المجموعات الفوشية العامة لأول مرة من قبل هنري بوانكاريه ( 1882 ) ، الذي كان مدفوعًا بالورقة البحثية ( فوكس 1880 ) ، وبالتالي أطلق عليها اسم لازاروس فوكس . 

يترك${\displaystyle H=\{z\in \mathbb {C} |\operatorname {Im} {z}>0\}}$ليكن النصف العلوي من المستوى . إذن${\displaystyle H}$هو نموذج للمستوى الزائدي عند تزويده بالمقياس

${\displaystyle ds={\frac {1}{y}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}.}$

تؤثر المجموعة PSL(2, R ) على${\displaystyle H}$بواسطة التحويلات الكسرية الخطية (المعروفة أيضًا باسم تحويلات موبيوس ):

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

هذا الإجراء أمين، وفي الواقع فإن PSL(2, R ) متماثل مع مجموعة جميع التماثلات التي تحافظ على الاتجاه لـ${\displaystyle H}$.

مجموعة فوكسية${\displaystyle \Gamma }$يمكن تعريفها على أنها مجموعة فرعية من PSL(2, R )، والتي تعمل بشكل غير متصل على${\displaystyle H}$. إنه،

• لكل${\displaystyle z}$في${\displaystyle H}$المدار​${\displaystyle \Gamma z=\{\gamma z:\gamma \in \Gamma \}}$ليس لديه نقطة تراكم في${\displaystyle H}$.

تعريف مكافئ لـ${\displaystyle \Gamma }$أن تكون فوكسيًا يعني ذلك${\displaystyle \Gamma }$أن تكون مجموعة منفصلة ، ​​وهذا يعني أن:

• كل تسلسل${\displaystyle \gamma _{n}}$من عناصر${\displaystyle \Gamma }$التقارب نحو التطابق في الطوبولوجيا المعتادة للتقارب النقطي يكون ثابتًا في النهاية، أي يوجد عدد صحيح${\displaystyle \mathbb {N} }$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle n>\mathbb {N} }$،${\displaystyle \gamma _{n}=I}$، أين${\displaystyle I}$هي مصفوفة الوحدة.

على الرغم من أن عدم الاستمرارية والانفصال متكافئان في هذه الحالة، إلا أن هذا لا ينطبق عمومًا على حالة مجموعة عشوائية من التشاكلات المتماثلة التي تعمل على كرة ريمان الكاملة (على عكس${\displaystyle H}$في الواقع، فإن مجموعة فوكس PSL(2, Z ) منفصلة، ​​ولكنها تحتوي على نقاط تراكم على خط الأعداد الحقيقية.${\displaystyle \operatorname {Im} z=0}$: عناصر PSL(2, Z ) ستحمل${\displaystyle z=0}$لكل عدد نسبي ، والأعداد النسبية Q كثيفة في R.

إن التحويل الكسري الخطي المعرّف بمصفوفة من PSL(2, C ) يحافظ على كرة ريمان P1 ⁽ C ) = C ∪ ∞، ولكنه ينقل النصف العلوي من المستوى H إلى قرص مفتوح Δ. ويؤدي الاقتران بهذا التحويل إلى نقل مجموعة فرعية منفصلة من PSL(2, R ) إلى مجموعة فرعية منفصلة من PSL(2, C ) تحافظ على Δ.

هذا يحفز التعريف التالي لمجموعة فوكسية . ليكن Γ ⊂ PSL(2, C ) مؤثرًا بشكل ثابت على قرص مفتوح مناسب Δ ⊂ C ∪ ∞، أي أن Γ(Δ) = Δ. عندئذٍ تكون Γ فوكسية إذا وفقط إذا تحققت أي من الخصائص الثلاث المتكافئة التالية:

1. Γ هي مجموعة منفصلة (بالنسبة للطوبولوجيا القياسية على PSL(2, C )).
2. يعمل Γ بشكل غير متصل بشكل صحيح عند كل نقطة z ∈ Δ.
3. المجموعة Δ هي مجموعة فرعية من منطقة الانقطاع Ω(Γ) لـ Γ.

أي أن أيًا من هذه العناصر الثلاثة يمكن أن يُستخدم كتعريف لمجموعة فوكسية، بينما تُستنتج العناصر الأخرى كنظريات. يُعد مفهوم المجموعة الجزئية الثابتة Δ مهمًا؛ فمجموعة بيكارد PSL(2, Z [ i ]) منفصلة، ​​لكنها لا تحافظ على أي قرص في كرة ريمان. في الواقع، حتى المجموعة النمطية PSL(2, Z )، وهي مجموعة فوكسية، لا تعمل بشكل غير متصل على خط الأعداد الحقيقية؛ إذ تحتوي على نقاط تراكم عند الأعداد النسبية . وبالمثل، تُعد فكرة أن Δ مجموعة جزئية فعلية من منطقة عدم الاتصال مهمة؛ فعندما لا تكون كذلك، تُسمى المجموعة الجزئية مجموعة كلاينية .

من الشائع جدًا اعتبار المجال الثابت Δ إما قرص الوحدة المفتوح أو النصف العلوي من المستوى .

بسبب التأثير المتقطع، فإن مدار النقطة z في النصف العلوي من المستوى المركب Γ z تحت تأثير Γ لا يحتوي على نقاط تراكم في هذا النصف. مع ذلك، قد توجد نقاط حدية على المحور الحقيقي. لنفترض أن Λ(Γ) هي مجموعة النهايات لـ Γ، أي مجموعة نقاط النهايات لـ Γ z حيث z ∈ H. عندئذٍ Λ(Γ) ⊆ R ∪ ∞. قد تكون مجموعة النهايات فارغة، أو قد تحتوي على نقطة واحدة أو نقطتين، أو قد تحتوي على عدد لا نهائي من النقاط. في الحالة الأخيرة، يوجد نوعان:

الزمرة الفوشية من النوع الأول هي زمرة تكون مجموعة نهايتها هي الخط الحقيقي المغلق R ∪ ∞. يحدث هذا إذا كان للفضاء الخارجي H /Γ حجم محدود، ولكن توجد زمر فوكسية من النوع الأول ذات حجم مشترك لانهائي.

بخلاف ذلك، يُقال إن المجموعة الفوشية من النوع الثاني . وبصورة مكافئة، هي مجموعة تكون فيها مجموعة النهاية مجموعة مثالية غير كثيفة في أي مكان على R ∪ ∞. ولأنها غير كثيفة في أي مكان، فهذا يعني أن أي نقطة نهاية قريبة جدًا من مجموعة مفتوحة ليست ضمن مجموعة النهاية. بعبارة أخرى، مجموعة النهاية هي مجموعة كانتور .

لا يشترط أن يكون نوع مجموعة فوكسيان هو نفسه نوعها عند اعتبارها مجموعة كلاينية: في الواقع، جميع مجموعات فوكسيان هي مجموعات كلاينية من النوع 2، لأن مجموعاتها الحدية (كمجموعات كلاينية) هي مجموعات جزئية مناسبة من كرة ريمان، موجودة في دائرة ما.

من الأمثلة على الزمر الفوشية الزمرة النمطية PSL(2, Z ). وهي زمرة جزئية من PSL(2, R ) تتكون من تحويلات كسرية خطية.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}}$

حيث a و b و c و d أعداد صحيحة. فضاء القسمة H /PSL(2, Z ) هو فضاء المعاملات للمنحنيات الإهليلجية .

تشمل المجموعات الفوشية الأخرى المجموعات Γ( n ) لكل عدد صحيح n > 0. تتكون Γ( n ) هنا من تحويلات كسرية خطية بالشكل المذكور أعلاه، حيث تكون عناصر المصفوفة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

متطابقة مع مصفوفة الوحدة modulo n .

من الأمثلة على المجموعات المتراصة مجموعة المثلثات (2، 3، 7 ) (العادية، الدورانية) ، التي تحتوي على مجموعات فوكسية لسطح كلاين الرباعي وسطح ماكبيث ، بالإضافة إلى مجموعات هورويتز الأخرى . وبشكل أعم، فإن أي مجموعة فون ديك زائدية (المجموعة الفرعية ذات الدليل 2 لمجموعة مثلثات ، والتي تُقابل التماثلات الحافظة للاتجاه) هي مجموعة فوكسية.

كل هذه مجموعات فوكسية من النوع الأول .

• جميع المجموعات الفرعية الدورية الزائدية والقطع المكافئ لـ PSL(2, R ) هي مجموعات فوكسية.
• أي مجموعة فرعية دورية إهليلجية تكون فوكسية إذا وفقط إذا كانت منتهية.
• كل مجموعة فوكسية أبيلية هي مجموعة دورية.
• لا توجد مجموعة فوكسية متماثلة مع Z × Z.
• ليكن Γ زمرة فوكسية غير تبديلية. عندئذٍ يكون المعيار لـ Γ في PSL(2, R ) فوكسيًا.

إذا كان h عنصرًا زائديًا، فإن طول الإزاحة L لتأثيره في النصف العلوي من المستوى يرتبط بأثر h كمصفوفة 2 ×2 بالعلاقة التالية:

${\displaystyle |\mathrm {tr} \;h|=2\cosh {\frac {L}{2}}.}$

وينطبق الأمر نفسه على الانقباض لسطح ريمان المقابل، إذا كانت مجموعة فوكسيان خالية من الالتواء ومتراصة.

• مجموعة شبه فوكسية
• مجموعة بلورية غير إقليدية
• مجموعة شوتكي

• فوكس، لازاروس (1880)، "Ueber eine Klasse von Funktionen mehrerer Variablen، welche durch Umkehrung der Integrale von Lösungen der Lineren Differentialgleichungen mit Rationalen Coeffizienten entstehen" ، J. Reine Angew. الرياضيات. ، 89 : 151 – 169
• هيرشل م. فاركاس، إيروين كرا ، ثوابت ثيتا، أسطح ريمان والمجموعة النمطية ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، بروفيدنس، رود آيلاند، رقم ISBN 978-0-8218-1392-8(انظر القسم 1.6)
• هنريك إيوانيك ، الأساليب الطيفية للأشكال التلقائية، الطبعة الثانية ، (2002) (المجلد 53 في الدراسات العليا في الرياضيات )، الجمعية الرياضية الأمريكية، بروفيدنس، رود آيلاند، ISBN 978-0-8218-3160-1(انظر الفصل 2.)
• سفيتلانا كاتوك ، مجموعات الفوشيه (1992)، مطبعة جامعة شيكاغو، شيكاغو ISBN 978-0-226-42583-2
• ديفيد مامفورد ، سلسلة كارولين ، وديفيد رايت، لآلئ إندرا: رؤية فيليكس كلاين ، (2002) مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-35253-6( يقدم عرضاً ممتازاً للنظرية والنتائج، مدعوماً برسوم بيانية غنية.)
• بيتر ج. نيكولز، نظرية الإرجودية للمجموعات المنفصلة ، ​​(1989)، سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن 143، مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-37674-7
• بوانكاريه، هنري (1882)، “Théorie des groupes fuchsiens”، Acta Mathematica ، 1 ، سبرينغر هولندا: 1–62 ، دوى : 10.1007 / BF02592124 ، ISSN 0001-5962 ، JFM 14.0338.01  
• فينبرغ، إرنست ب. (2001) [1994]، "مجموعة فوكسية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS