النظام (نظرية الحلقة)

في الرياضيات ، تُسمى بعض المجموعات الجزئية من بعض الحقول بالرتب . مجموعة الأعداد الصحيحة هي رتبة في الأعداد النسبية (وهي الرتبة الوحيدة). في حقل الأعداد الجبرية${\displaystyle K}$، الترتيب هو حلقة من الأعداد الصحيحة الجبرية التي يكون حقل كسورها هو${\displaystyle K}$، والترتيب الأقصى ، والذي يُشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$، هي حلقة جميع الأعداد الصحيحة الجبرية في${\displaystyle K}$في حقل محلي غير أرخميدسي${\displaystyle K}$الترتيب هو حلقة فرعية تتولد من عدد محدود من العناصر ذات القيم غير السالبة. في هذه الحالة، يكون الترتيب الأقصى،ويرمز له بـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$، هي حلقة التقييم التي تشكلها جميع عناصر التقييم غير السالب.

إن إعطاء نفس الاسم لمثل هذه المفاهيم المختلفة ظاهريًا هو مدفوع بمبدأ المحلي-العالمي الذي يربط خصائص حقل عددي بخصائص جميع حقوله المحلية.

يعتمد تعريف الترتيب إلى حد ما على السياق. وأبسط تعريف له يكون في حقل عددي جبري.${\displaystyle F}$، حيث يكون الطلب${\displaystyle R}$هي حلقة فرعية من${\displaystyle F}$هذا مولد محدود${\displaystyle \mathbb {Z} }$- وحدة ، تحتوي على أساس منطقي لـ${\displaystyle F}$أي، بحيث${\displaystyle \mathbb {Q} R=F.}$

من ناحية أخرى، إذا${\displaystyle F}$هو حقل محلي غير أرخميدسي ، والترتيب هو حلقة فرعية مفتوحة مضغوطة${\displaystyle R}$ل${\displaystyle F}$. الترتيب الأقصى في هذه الحالة هو حلقة التقييم الخاصة بالمجال.

وبشكل أعم، والذي يشمل هاتين الحالتين الخاصتين، إذا${\displaystyle R}$مجال تكاملي مع حقل كسري${\displaystyle K}$، أن${\displaystyle R}$-رتبة في بُعد محدود${\displaystyle K}$-الجبر${\displaystyle A}$هو حلقة فرعية${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ل${\displaystyle A}$وهو كامل${\displaystyle R}$-الشبكة؛ أي أنها محدودة${\displaystyle R}$- وحدة نمطية ذات خاصية أن${\displaystyle {\mathcal {O}}\otimes _{R}K=A}$[ ^{1 ]​}

متى${\displaystyle A}$على الرغم من أن الحلقة ليست تبديلية ، إلا أن مفهوم الترتيب لا يزال مهمًا، لكن الظواهر تختلف. فعلى سبيل المثال، تُشكّل رباعيات هورويتز ترتيبًا أقصى في الرباعيات ذات الإحداثيات النسبية؛ وهي ليست الرباعيات ذات الإحداثيات الصحيحة بالمعنى الأوضح. توجد الترتيبات القصوى عمومًا، لكنها ليست بالضرورة فريدة: فليس هناك ترتيب أقصى واحد، بل عدد من الترتيبات القصوى. ومن الأمثلة المهمة على ذلك حلقات الزمر التكاملية .

بعض الأمثلة على الطلبات هي: ^{[ 2 ]}

• لو${\displaystyle A}$هي حلقة المصفوفة${\displaystyle M_{n}(K)}$زيادة${\displaystyle K}$ثم حلقة المصفوفة${\displaystyle M_{n}(R)}$زيادة${\displaystyle R}$هو${\displaystyle R}$-ترتيب في${\displaystyle A}$
• لو${\displaystyle R}$هو مجال تكاملي و${\displaystyle L}$امتداد قابل للفصل محدود لـ${\displaystyle K}$ثم الإغلاق التكاملي${\displaystyle S}$ل${\displaystyle R}$في${\displaystyle L}$هو${\displaystyle R}$-ترتيب في${\displaystyle L}$.
• لو${\displaystyle a}$في${\displaystyle A}$هو عنصر متكامل على${\displaystyle R}$ثم حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle R[a]}$هو${\displaystyle R}$-الترتيب في الجبر${\displaystyle K[a]}$
• لو${\displaystyle A}$هل هي حلقة المجموعة${\displaystyle K[G]}$من مجموعة منتهية${\displaystyle G}$، ثم${\displaystyle R[G]}$هو${\displaystyle R}$اطلب الآن${\displaystyle K[G]}$

خاصية أساسية لـ${\displaystyle R}$-الترتيبات هي أن كل عنصر من عناصر${\displaystyle R}$الرتبة - هي تكامل على${\displaystyle R}$[ ^{3 ]​}

إذا كان الإغلاق التكاملي${\displaystyle S}$ل${\displaystyle R}$في${\displaystyle A}$هو${\displaystyle R}$- الترتيب ثم تكامل كل عنصر من كل${\displaystyle R}$يُظهر الترتيب أن${\displaystyle S}$يجب أن يكون الحد الأقصى الفريد${\displaystyle R}$-ترتيب في${\displaystyle A}$. لكن${\displaystyle S}$ليس بالضرورة أن يكون دائمًا${\displaystyle R}$-الترتيب: بالفعل${\displaystyle S}$لا يشترط أن يكون خاتمًا، وحتى لو${\displaystyle S}$هو حلقة (على سبيل المثال، عندما${\displaystyle A}$(إذا كانت عملية التبديل)${\displaystyle S}$ليس بالضرورة أن يكون${\displaystyle R}$-الشبكة. ^{[ 3 ]}

المثال الأبرز هو الحالة التي${\displaystyle A}$هو حقل رقمي${\displaystyle K}$و${\displaystyle {\mathcal {O}}}$هي حلقة الأعداد الصحيحة . في نظرية الأعداد الجبرية، توجد أمثلة لأي${\displaystyle K}$بخلاف الحقل النسبي للحلقات الجزئية الصحيحة من حلقة الأعداد الصحيحة التي هي أيضًا رتب. على سبيل المثال، في امتداد الحقل${\displaystyle A=\mathbb {Q} (i)}$من الأعداد النسبية الغاوسية على${\displaystyle \mathbb {Q} }$، الإغلاق التكاملي لـ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ هي حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$وهذا هو الحد الأقصى الفريد${\displaystyle \mathbb {Z} }$-الترتيب: جميع الطلبات الأخرى في${\displaystyle A}$تحتوي على عناصر. على سبيل المثال، يمكننا أن نأخذ الحلقة الفرعية للأعداد المركبة من الشكل${\displaystyle a+2bi}$، مع${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$الأعداد الصحيحة. ^{[ 4 ]}

يمكن دراسة مسألة الترتيب الأقصى على مستوى الحقل المحلي . وتُطبَّق هذه التقنية في نظرية الأعداد الجبرية ونظرية التمثيل النمطي .

• ترتيب هورويتز الرباعي – مثال على ترتيب الحلقة

• بوست، م.؛ زاسنهاوس، هـ. (1989). نظرية الأعداد الجبرية الخوارزمية . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  30. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-33060-2. Zbl 0685.12001 . 
• راينر، آي. (2003). الرتب القصوى . سلسلة دراسات الجمعية الرياضية بلندن. سلسلة جديدة. المجلد  28. مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 0-19-852673-3. Zbl 1024.16008 .