مجموعة المثلثات

في الرياضيات ، تُعرف مجموعة المثلثات بأنها مجموعة يمكن تمثيلها هندسيًا بتسلسلات من الانعكاسات حول أضلاع مثلث . قد يكون المثلث مثلثًا إقليديًا عاديًا ، أو مثلثًا على الكرة ، أو مثلثًا زائديًا . تمثل كل مجموعة مثلثات مجموعة التناظر لتبليط المستوى الإقليدي ، أو الكرة ، أو المستوى الزائدي بمثلثات متطابقة تُسمى مثلثات موبيوس ، حيث يُمثل كل مثلث منها مجالًا أساسيًا للفعل.

ليكن l و m و n أعدادًا صحيحة أكبر من أو تساوي 2. زمرة المثلث Δ( l , m , n ) هي زمرة حركات في المستوى الإقليدي، أو الكرة ثنائية الأبعاد، أو المستوى الإسقاطي الحقيقي، أو المستوى الزائدي، ناتجة عن انعكاسات في أضلاع مثلث بزوايا π/ l و π/ m و π/ n (مقاسة بالراديان ). حاصل ضرب الانعكاسات في ضلعين متجاورين هو دوران بزاوية تساوي ضعف الزاوية بين هذين الضلعين، أي 2π/ l و 2π/ m و 2π/ n . بالتالي، إذا كانت الانعكاسات المولدة مُعَلَّمة a و b و c ، وكانت الزوايا بينها بالترتيب الدوري كما هو موضح أعلاه، فإن العلاقات التالية تتحقق:

1. ${\displaystyle a^{2}=b^{2}=c^{2}=1}$و
2. ${\displaystyle (ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^{m}=1.}$

تنص النظرية على أن جميع العلاقات الأخرى بين a و b و c هي نتائج لهذه العلاقات، وأن Δ( l , m , n ) هي مجموعة منفصلة من حركات الفضاء المقابل. وبالتالي، فإن مجموعة المثلثات هي مجموعة انعكاس تقبل تمثيلًا جماعيًا.

${\displaystyle \Delta (l,m,n)=\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^{m}=1\rangle .}$

المجموعة المجردة التي يتم عرضها بهذه الطريقة هي مجموعة كوكسيتر بثلاثة مولدات.

بفرض أي أعداد طبيعية l و m و n أكبر من 1، فإن أحد الأشكال الهندسية الكلاسيكية ثنائية الأبعاد (الإقليدية، الكروية، أو الزائدية) يقبل مثلثًا بزوايا (π/l، π/m، π/n)، ويتم تبليط الفضاء بانعكاسات هذا المثلث. يحدد مجموع زوايا المثلث نوع الشكل الهندسي وفقًا لنظرية غاوس-بونيه : فهو إقليدي إذا كان مجموع زواياه يساوي π تمامًا، وكروي إذا كان أكبر من π، وزائدي إذا كان أصغر من π. علاوة على ذلك، فإن أي مثلثين بزوايا معينة يكونان متطابقين. تحدد كل مجموعة مثلثات تبليطًا، يُلون عادةً بلونين، بحيث يكون لأي بلاطتين متجاورتين لونان متعاكسان.    

فيما يتعلق بالأعداد l و m و n > 1، توجد الاحتمالات التالية.    

الحالة الإقليدية

${\displaystyle {\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}=1.}$

مجموعة المثلثات هي مجموعة التناظر اللانهائية لتبليط معين للمستوى الإقليدي بمثلثات مجموع زواياها يساوي π (أو 180 درجة). وبإمكانية إجراء التبديلات، أن تكون الثلاثية ( l , m , n ) إحدى الثلاثيات (2,3,6)، (2,4,4)، (3,3,3). وتُعدّ مجموعات المثلثات المقابلة أمثلة على مجموعات ورق الجدران .  

(2،3،6)	(2,4,4)	(3,3,3)
تبليط سداسي مقسم إلى نصفين	بلاط مربع رباعي	تبليط مثلثي
رسومات تخطيطية أكثر تفصيلاً، مع تسمية الرؤوس وتوضيح كيفية عمل الانعكاس:

الحالة الكروية

${\displaystyle {\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}>1.}$

مجموعة المثلثات هي مجموعة التناظر المحدودة لتبليط كرة الوحدة بمثلثات كروية، أو مثلثات موبيوس ، التي يكون مجموع زواياها عددًا أكبر من π. وبإمكان الثلاثية ( l , m , n )، مع إمكانية إجراء التبديلات، أن تأخذ الشكل (2,3,3)، أو (2,3,4)، أو (2,3,5)، أو (2,2, n )، حيث n  >  1. ويمكن تعريف مجموعات المثلثات الكروية بمجموعات التناظر للمجسمات المنتظمة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد: Δ(2,3,3) يقابل رباعي الأوجه ، وΔ(2,3,4) يقابل كلًا من المكعب وثماني الأوجه (اللذان لهما نفس مجموعة التناظر)، وΔ(2,3,5) يقابل كلًا من اثني عشري الأوجه وعشروني الأوجه . يمكن تفسير مجموعات التناظر ثنائي السطوح Δ(2,2, n )، n  >  1، على أنها مجموعات التناظر لعائلة ثنائيات السطوح ، وهي عبارة عن مواد صلبة متدهورة تتكون من اثنين من المضلعات المنتظمة المتطابقة ذات n ضلعًا متصلة ببعضها البعض، أو ثنائيات السطوح المزدوجة ، والتي تتكون من خلال ربط n من المضلعات ثنائية السطوح معًا عند رأسين.

يُحصل على التبليط الكروي الموافق لمجسم منتظم بتقسيم المجسم إلى نصفين متساويي الأضلاع، ثم إسقاط النقاط والخطوط الناتجة على الكرة المحيطة به. في حالة رباعي الأوجه، توجد أربعة أوجه، كل وجه منها عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع مُقسّم إلى ستة أجزاء أصغر بواسطة المتوسطات المتقاطعة في المركز. يتكون التبليط الناتج من 24 مثلثًا كرويًا (وهو مكعب ثنائي الأبعاد كروي ).

هذه المجموعات محدودة، وهو ما يتوافق مع تماسك الكرة - تنمو مساحات الأقراص في الكرة في البداية من حيث نصف القطر، ولكنها في النهاية تغطي الكرة بأكملها.

تظهر الأشكال المثلثية للبلاط أدناه:

(2,2,2)	(2,2,3)	(2,2,4)	(2,2,5)	(2,2,6)	(2,2,n)
(2،3،3)		(2،3،4)		(2،3،5)

التبليطات الكروية الموافقة للمجسم الثماني الأوجه والمجسم العشرين الأوجه، والتبليطات الكروية ثنائية الأوجه ذات العدد الزوجي n ، متناظرة مركزياً . لذا، يُحدد كل منها تبليطاً للمستوى الإسقاطي الحقيقي، وهو تبليط إهليلجي . زمرة التناظر الخاصة به هي خارج قسمة زمرة المثلث الكروي على الانعكاس المار بنقطة الأصل (−I ) ، وهو عنصر مركزي من الرتبة 2. وبما أن المستوى الإسقاطي نموذج للهندسة الإهليلجية ، تُسمى هذه الزمر بزمر المثلث الإهليلجي . ^{[ 1 ]}

الحالة الزائدية

${\displaystyle {\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}<1.}$

مجموعة المثلثات هي مجموعة التناظر اللانهائية لتبليط المستوى الزائدي بمثلثات زائدية مجموع زواياها أقل من π. جميع الثلاثيات غير المذكورة سابقًا تمثل تبليطًا للمستوى الزائدي. على سبيل المثال، الثلاثية (2، 3، 7) تُنتج مجموعة المثلثات (2، 3، 7) . يوجد عدد لا نهائي من هذه المجموعات؛ التبليطات المرتبطة ببعض القيم الصغيرة:

المستوى الزائدي

نموذج قرص بوانكاريه للمثلثات الأساسية للمجال

مثال على المثلثات القائمة الزاوية (2 pq)
(2 3 7)	(2 3 8)	(2 3 9)	(2 3 ∞ )
(2 4 5)	(2 4 6)	(2 4 7)	(2 4 8)	(2 4 ∞ )
(2 5 5)	(2 5 6)	(2 5 7)	(2 6 6)	(2 ∞ ∞ )
مثال على المثلثات العامة (pqr)
(3 3 4)	(3 3 5)	(3 3 6)	(3 3 7)	(3 3 ∞ )
(3 4 4)	(3 6 6)	(3 ∞ ∞ )	(6 6 6)	( ∞ ∞ ∞ )

تعتبر مجموعات المثلث الزائدي أمثلة على المجموعات البلورية غير الإقليدية وقد تم تعميمها في نظرية مجموعات جروموف الزائدية .

لنرمز بـ D ( l , m , n ) إلى المجموعة الجزئية ذات الدليل 2 في Δ(l,m,n) المولدة بواسطة الكلمات ذات الطول الزوجي في المولدات. تُعرف هذه المجموعات الجزئية أحيانًا باسم مجموعات المثلثات "العادية" ^{[ 2 ]} أو مجموعات فون دايك ، نسبةً إلى والتر فون دايك . بالنسبة للمثلثات الكروية والإقليدية والزائدية، تُقابل هذه المجموعات عناصر المجموعة التي تحافظ على اتجاه المثلث - مجموعة الدورانات. أما بالنسبة للمثلثات الإسقاطية (الإهليلجية)، فلا يمكن تفسيرها على هذا النحو، لأن المستوى الإسقاطي غير قابل للتوجيه، وبالتالي لا يوجد مفهوم "الحفاظ على الاتجاه". مع ذلك، فإن الانعكاسات تعكس الاتجاه محليًا (وكل مشعب قابل للتوجيه محليًا، لأنه إقليدي محليًا): فهي تُثبت خطًا، وعند كل نقطة على هذا الخط يوجد انعكاس حوله. ^{[ 3 ]}

تُعرَّف المجموعة D ( l , m , n ) بالعرض التقديمي التالي:

${\displaystyle D(l,m,n)=\langle x,y\mid x^{l},y^{m},(xy)^{n}\rangle .}$

بالنسبة للمولدات المذكورة أعلاه، فإن هذه هي x = ab، y = ca، yx = cb . هندسياً، تتوافق العناصر الثلاثة x و y و xy مع دورانات بمقدار 2π/ l و 2π/ m و 2π/ n حول رؤوس المثلث الثلاثة.

لاحظ أن D ( l , m , n ) ≅ D ( m , l , n ) ≅ D ( n , m , l ), ​​لذا فإن D ( l , m , n ) مستقل عن ترتيب l , m , n .

مجموعة فون ديك الزائدية هي مجموعة فوكسية ، وهي مجموعة منفصلة تتكون من تماثلات تحافظ على الاتجاه للمستوى الزائدي.

تحافظ مجموعات المثلثات على تبليط بالمثلثات، أي مجال أساسي للفعل (المثلث المحدد بخطوط الانعكاس)، يُسمى مثلث موبيوس ، ويُعطى بثلاثية من الأعداد الصحيحة ( l , m , n )، حيث تُقابل الأعداد الصحيحة مثلثات (2l , 2m , 2n ) تلتقي عند رأس واحد. وهناك أيضًا تبليطات بالمثلثات المتداخلة، والتي تُقابل مثلثات شوارتز ذات الأعداد النسبية ( l / a , m / b , n / c )، حيث تكون المقامات أولية فيما بينها مع البسط. وهذا يُقابل حوافًا تلتقي بزوايا مقدارها π / l (على التوالي)، وهو ما يُقابل دورانًا مقداره 2π / l ( على التوالي)، والذي له رتبة l ، وبالتالي فهو مُطابق كعنصر مجموعة مجرد، ولكنه مُختلف عند تمثيله بالانعكاس.

على سبيل المثال، يُنتج مثلث شوارتز (2 3 3) تبليطًا للكرة بكثافة 1، بينما يُنتج المثلث (2 3/2 3) تبليطًا للكرة بكثافة 3، ولكن مع نفس المجموعة المجردة. لا تُعتبر هذه التناظرات للتبليطات المتداخلة مجموعات مثلثية.

يعود تاريخ مجموعات المثلثات على الأقل إلى عرض مجموعة العشرين وجهاً على أنها مجموعة المثلثات (الدورانية) (2،3،5) بواسطة ويليام روان هاميلتون في عام 1856، في ورقته البحثية حول حساب العشرين وجهاً . ^{[ 4 ]}

تنشأ مجموعات المثلثات في الهندسة الحسابية . تُولَّد المجموعة النمطية من عنصرين، S و T ، تخضع للعلاقتين S² = ( ST )³ = 1 (لا توجد علاقة على T )، وهي مجموعة المثلثات الدورانية (2,3,∞)، وتُسقط على جميع مجموعات المثلثات (2,3, n ) بإضافة العلاقة Tn = ^1. وبشكل أعم، تُولَّد مجموعة هيك _Hq من عنصرين، S و T ، تخضع للعلاقتين S² ⁼ ( ST ) ^q = 1 (لا توجد علاقة على T )، وهي مجموعة المثلثات الدورانية (2, q ,∞)، وتُسقط على جميع مجموعات المثلثات (2, q , n ) بإضافة العلاقة Tn ⁼ 1. المجموعة النمطية هي مجموعة هيك H3 _. في نظرية غروتينديك لرسومات الأطفال ، تُنتج دالة بيلي تجزئة لسطح ريمان بواسطة مجالات انعكاس مجموعة مثلثات.

جميع المجموعات المتفرقة الـ 26 هي نواتج قسمة لمجموعات المثلث، ^{[ 6 ]} منها 12 مجموعة هورويتز (نواتج قسمة المجموعة (2،3،7)).

• نظرية المجموعة الهندسية
• مثلث شوارتز
• خريطة مثلثات شوارتز هي خريطة للمثلثات إلى النصف العلوي من المستوى .

• صور خلفية سطح المكتب لمجموعات المثلثات لإليزابيث آر تشين (2010)

تتضمن هذه المقالة مواد من مجموعات المثلث على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .