سطح هورويتز

في نظرية أسطح ريمان والهندسة الزائدية ، يُعرف سطح هورويتز ، نسبةً إلى أدولف هورويتز ، بأنه سطح ريمان متراص يحتوي على 84( g - 1) تشاكلًا ذاتيًا، حيث g هو جنس السطح. هذا العدد أقصى ما يمكن بفضل نظرية هورويتز حول التشاكلات الذاتية ( هورويتز 1893 ) . ويُشار إليها أيضًا باسم منحنيات هورويتز ، حيث تُفسَّر على أنها منحنيات جبرية مركبة (البعد المركب 1 = البعد الحقيقي 2).

تُعدّ زمرة فوكس لسطح هورويتز زمرةً جزئيةً طبيعيةً خاليةً من الالتواء ذات فهرس منتهٍ من زمرة المثلث (2، 3، 7) (العادية) . وزمرة القسمة المنتهية هي تحديدًا زمرة التشاكل الذاتي.

التشاكلات الذاتية للمنحنيات الجبرية المعقدة هي تشاكلات ذاتية تحافظ على الاتجاه للسطح الحقيقي الأساسي؛ إذا سمح المرء بالتشاكلات العكسية للاتجاه ، فإن هذا ينتج عنه مجموعة أكبر بمرتين، من الرتبة 168 ( g - 1)، وهو أمر مثير للاهتمام في بعض الأحيان.

ملاحظة حول المصطلحات - في هذا السياق وغيره، فإن "مجموعة المثلث (2،3،7)" لا تشير في أغلب الأحيان إلى مجموعة المثلث الكاملة Δ(2،3،7) ( مجموعة كوكسيتر مع مثلث شوارتز (2،3،7) أو تحقيقها كمجموعة انعكاس زائدية )، بل إلى مجموعة المثلث العادية ( مجموعة فون دايك ) D (2،3،7) للخرائط الحافظة للاتجاه (مجموعة الدوران)، والتي يكون دليلها 2. مجموعة التشاكلات المعقدة هي خارج قسمة مجموعة المثلث العادية (الحافظة للاتجاه)، بينما مجموعة التماثلات (التي قد تعكس الاتجاه) هي خارج قسمة مجموعة المثلث الكاملة .

لا يوجد سوى عدد محدود من أسطح هورويتز لكل جنس. الدالة${\displaystyle h(g)}$إن ربط الجنس بعدد أسطح هورويتز التي تحمل هذا الجنس غير محدود، على الرغم من أن معظم قيمه تساوي صفرًا. المجموع

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {h(g)}{g^{s}}}}$

يتقارب لـ${\displaystyle s>1/3}$، مما يعني بشكل تقريبي أن جنس${\displaystyle n}$ينمو سطح هورويتز على الأقل كدالة تكعيبية لـ${\displaystyle n}$( لارسن 2001 )

سطح هورويتز ذو أصغر جنس هو سطح كلاين الرباعي من الجنس 3، مع زمرة التشاكل الذاتي الزمرة الخطية الخاصة الإسقاطية PSL(2,7) ، من الرتبة 84(3 − 1) = 168 = 2 ³ ·3·7، وهي زمرة بسيطة ؛ (أو من الرتبة 336 إذا سمحنا بالتناظرات العكسية للاتجاه). الجنس التالي الممكن هو 7، الذي يمتلكه سطح ماكبيث ، مع زمرة التشاكل الذاتي PSL(2,8)، وهي زمرة بسيطة من الرتبة 84(7 − 1) = 504 = 2 ³ ·3 ² ·7؛ إذا أخذنا في الاعتبار التناظرات العكسية للاتجاه، فإن الزمرة من الرتبة 1008.            

تظهر ظاهرة مثيرة للاهتمام في الجنس التالي الممكن، وهو الجنس 14. يوجد هنا ثلاثية من أسطح ريمان المتميزة ذات زمرة تماثل ذاتي متطابقة (من الرتبة 84(14 − 1) = 1092 = 2 ² ·3·7·13). تفسير هذه الظاهرة حسابي. ففي حلقة الأعداد الصحيحة لحقل الأعداد المناسب ، ينقسم العدد الأولي النسبي 13 إلى حاصل ضرب ثلاثة مثاليات أولية متميزة . تُنتج زمر التطابق الرئيسية، المُعرَّفة بثلاثية الأعداد الأولية، زمرًا فوكسية تُطابق ثلاثية هورويتز الأولى .      

تبدأ سلسلة القيم المسموح بها لجنس سطح هورويتز

3، 7، 14، 17، 118، 129، 146، 385، 411، 474، 687، 769، 1009، 1025، 1459، 1537، 2091، ... (التسلسل A179982 في OEIS )

• ترتيب هورويتز الرباعي