مجموعة التفكير

الموسوعة الحرة

في نظرية الزمر والهندسة ، زمرة الانعكاس هي زمرة منفصلة تتولد من مجموعة انعكاسات لفضاء إقليدي محدود الأبعاد . وزمرة التناظر لمتعدد السطوح المنتظم ، أو لتبليط الفضاء الإقليدي بنسخ متطابقة من متعدد سطوح منتظم، هي بالضرورة زمرة انعكاس. وتشمل زمر الانعكاس أيضًا زمر فايل وزمر كوكسيتر البلورية . بينما تتولد الزمرة المتعامدة من الانعكاسات (بحسب نظرية كارتان-ديودونيه )، إلا أنها زمرة متصلة (بل هي زمرة لي )، وليست زمرة منفصلة، ​​وعادةً ما تُدرس بشكل منفصل.

تعريف

ليكن E فضاءً إقليديًا محدود الأبعاد . زمرة الانعكاسات المنتهية هي زمرة جزئية من الزمرة الخطية العامة لـ E ، تتولد من مجموعة من الانعكاسات المتعامدة عبر مستويات فائقة تمر بنقطة الأصل. أما زمرة الانعكاسات الأفينية فهي زمرة جزئية منفصلة من الزمرة الأفينية لـ E ، تتولد من مجموعة من الانعكاسات الأفينية لـ E (دون اشتراط مرور مستويات الانعكاس الفائقة بنقطة الأصل).

يمكن تعريف المفاهيم المقابلة على حقول أخرى ، مما يؤدي إلى مجموعات انعكاس معقدة ونظائر لمجموعات الانعكاس على حقل محدود .

أمثلة

بعدين

في بعدين، تكون مجموعات الانعكاس المحدودة هي مجموعات ثنائية السطوح ، والتي تتولد عن طريق الانعكاس في خطين يشكلان زاوية2π/ن{\displaystyle 2\pi /n}وتتوافق مع مخطط كوكسيترأنا2(ن).{\displaystyle I_{2}(n).}وعلى العكس من ذلك، فإن مجموعات النقاط الدورية في بعدين لا تتولد عن طريق الانعكاسات، ولا تحتوي على أي منها - إنها مجموعات فرعية من الدليل 2 لمجموعة ثنائية السطوح.

تتضمن مجموعات الانعكاس اللانهائية مجموعات الإفريز*∞∞{\displaystyle *\infty \infty }و*22∞{\displaystyle *22\infty }ومجموعات ورق الحائط**{\displaystyle **}،*2222{\displaystyle *2222}،*333{\displaystyle *333}،*442{\displaystyle *442}و*632{\displaystyle *632}إذا كانت الزاوية بين خطين مضاعفًا غير نسبي لـ π، فإن المجموعة الناتجة عن الانعكاسات في هذه الخطوط تكون لانهائية وغير منفصلة، ​​وبالتالي، فهي ليست مجموعة انعكاس.

ثلاثة أبعاد

مجموعات الانعكاس المنتهية هي مجموعات النقاط C <sub>nv</sub> و D <sub> nh</sub> ومجموعات التناظر للأجسام الأفلاطونية الخمسة . تُنتج المجسمات المنتظمة الثنائية (المكعب وثماني الأوجه، وكذلك اثنا عشري الأوجه وعشروني الأوجه) مجموعات تناظر متماثلة. يُعد تصنيف مجموعات الانعكاس المنتهية لـ R<sup> 3 </sup> مثالًا على تصنيف ADE .

العلاقة مع مجموعات كوكسيتر

تقبل مجموعة الانعكاس W عرضًا من نوع خاص اكتشفه ودرسه هـ. س. م. كوكسيتر . [ 1 ] الانعكاسات في أوجه "حجرة" أساسية ثابتة هي مولدات r i لمجموعة W من الرتبة 2. جميع العلاقات بينها تتبع شكليًا من العلاقات التالية:

(رأنارج)جأناج=1،{\displaystyle (r_{i}r_{j})^{c_{ij}}=1,}

معبراً عن حقيقة أن حاصل ضرب الانعكاسات r i و r j في مستويين فائقين H i و H j يلتقيان بزاويةπ/جأناج{\displaystyle \pi /c_{ij}}هو دوران بزاوية2π/جأناج{\displaystyle 2\pi /c_{ij}}تثبيت الفضاء الجزئي H i  ∩ H j ذو البعد المشترك 2. وبالتالي، عند النظر إليه كمجموعة مجردة، فإن كل مجموعة انعكاس هي مجموعة كوكسيتر . 

الحقول المنتهية

عند العمل على الحقول المنتهية، يُعرَّف "الانعكاس" بأنه دالة تُثبِّت مستوىً فائقًا. هندسيًا، يُعادل هذا تضمين القص في مستوى فائق. وقد صنّف زاليسكي وسيريزكين (1981) مجموعات الانعكاس على الحقول المنتهية ذات الخاصية غير 2 .

التعميمات

تم أيضًا دراسة مجموعات التماثل المنفصلة لمتشعبات ريمانية أكثر عمومية، والمولدة عن طريق الانعكاسات. وتنشأ أهم فئة من هذه المجموعات من الفضاءات الريمانية المتناظرة من الرتبة 1: الكرة n-ية S <sub>n</sub> ، التي تُقابل مجموعات الانعكاس المنتهية، والفضاء الإقليدي R<sub> n</sub> ، الذي يُقابل مجموعات الانعكاس الأفيني، والفضاء الزائدي H <sub>n</sub> ، حيث تُسمى المجموعات المقابلة لها مجموعات الانعكاس الزائدي . وفي بعدين، تشمل مجموعات المثلث مجموعات الانعكاس من الأنواع الثلاثة جميعها.

انظر أيضاً

مراجع

ملحوظات

  1. ↑ كوكسيتر ( 1934 ، 1935 ) 
  2. ↑ غودمان (2004) .

فهرس

الكتب الدراسية