امتداد أبيلي

في الجبر المجرد ، يُعرَّف الامتداد الأبلي بأنه امتداد غالوا تكون زمرته الغالوا أبيلية . وعندما تكون زمرة غالوا دورية أيضًا ، يُسمى الامتداد امتدادًا دوريًا . وبالعكس، يُسمى امتداد غالوا قابلًا للحل إذا كانت زمرته الغالوا قابلة للحل ، أي إذا أمكن تحليل الزمرة إلى سلسلة من الامتدادات العادية لزمرة أبيلية. كل امتداد منتهٍ لحقل منتهٍ هو امتداد دوري.

توفر نظرية حقل الأصناف معلومات مفصلة حول الامتدادات الأبيلية لحقول الأعداد ، وحقول الدوال للمنحنيات الجبرية فوق الحقول المنتهية، والحقول المحلية .

يوجد تعريفان مختلفان قليلاً لمصطلح الامتداد الدائري. قد يعني إما امتدادًا يتكون من جذور الوحدة المجاورة لحقل، أو امتدادًا فرعيًا لهذا الامتداد. تُعد الحقول الدائرية أمثلة على ذلك. الامتداد الدائري، وفقًا لأي من التعريفين، يكون دائمًا امتدادًا تبديليًا.

إذا احتوى حقل K على جذر أولي من الرتبة n للوحدة، وتم إلحاق جذر من الرتبة n لعنصر من K به، فإن امتداد كومر الناتج يكون امتدادًا تبديليًا (إذا كان K ذا خاصية p، فيجب القول إن p لا يقسم n ، وإلا فقد لا يكون هذا الامتداد قابلًا للفصل ). عمومًا، تعمل زمر غالوا للجذور من الرتبة n للعناصر على كل من الجذور من الرتبة n وجذور الوحدة، مما ينتج عنه زمرة غالوا غير تبديلية كحاصل ضرب شبه مباشر . تقدم نظرية كومر وصفًا كاملًا لحالة الامتداد التبديلي، وتنص مبرهنة كرونكر-ويبر على أنه إذا كان K حقل الأعداد النسبية ، فإن الامتداد يكون تبديليًا إذا وفقط إذا كان حقلًا جزئيًا من حقل ناتج عن إلحاق جذر للوحدة به.

هناك تشابه مهم مع المجموعة الأساسية في علم الطوبولوجيا ، والتي تصنف جميع الفضاءات التي تغطي فضاءً ما: يتم تصنيف الأغطية الأبيلية من خلال عملية التبديل التي ترتبط مباشرة بمجموعة التماثل الأولى .

• كوزمين، إل في (2001) [1994]، "الامتداد الدائري" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• وايسشتاين، إريك دبليو. "الامتداد الأبلي" . عالم الرياضيات .