نظرية كومر

في الجبر المجرد ونظرية الأعداد ، تُقدّم نظرية كومر وصفًا لأنواع مُحدّدة من امتدادات الحقول التي تتضمن اقتران الجذور النونية لعناصر الحقل الأساسي . طُوّرت هذه النظرية في الأصل على يد إرنست إدوارد كومر في أربعينيات القرن التاسع عشر الميلادي، في عمله الرائد حول نظرية فيرما الأخيرة . لا تعتمد العبارات الرئيسية على طبيعة الحقل - باستثناء خاصيته ، التي يجب ألا تقسم العدد الصحيح n - ولذلك فهي تنتمي إلى الجبر المجرد. تُسمى نظرية الامتدادات الدورية للحقل K عندما تقسم خاصية K العدد n بنظرية آرتين-شراير .

تُعدّ نظرية كومر أساسية، على سبيل المثال، في نظرية حقول الأصناف ، وبشكل عام في فهم الامتدادات الأبيلية ؛ إذ تنصّ على أنه في حال وجود عدد كافٍ من جذور الوحدة، يُمكن فهم الامتدادات الدورية من خلال استخراج الجذور. ويتمثل التحدي الرئيسي في نظرية حقول الأصناف في الاستغناء عن جذور الوحدة الزائدة (النزول إلى حقول أصغر)؛ وهو أمرٌ أكثر تعقيدًا.

امتداد كومر هو امتداد حقل L / K ، حيث يكون لدينا عدد صحيح معطى n > 1

• تحتوي K على n جذرًا مميزًا من الرتبة n للوحدة (أي جذور X ⁿ − 1)
• L / K لها زمرة غالوا أبيلية ذات أس n .

على سبيل المثال، عندما يكون n = 2، يكون الشرط الأول صحيحًا دائمًا إذا كانت خاصية K لا تساوي 2. وتشمل امتدادات كومر في هذه الحالة الامتدادات التربيعية.${\displaystyle L=K({\sqrt {a}})}$حيث a في K عنصر غير مربع. وبحسب الحل المعتاد للمعادلات التربيعية ، فإن أي امتداد من الدرجة الثانية لـ K يأخذ هذا الشكل. تشمل امتدادات كومر في هذه الحالة أيضًا الامتدادات ثنائية التربيع والامتدادات متعددة التربيع الأكثر عمومية . عندما تكون خاصية K هي 2، فلا توجد مثل هذه الامتدادات لكامر.

باعتبار n = 3، لا توجد امتدادات كومر من الدرجة 3 ^لحقل الأعداد النسبية Q ، إذ يتطلب ذلك وجود ثلاثة جذور تكعيبية للعدد 1 أعدادًا مركبة . إذا اعتبرنا L حقل التفكيك لـ X³ - a على Q ، حيث a ليس عددًا تكعيبيًا في الأعداد النسبية، فإن L يحتوي على حقل جزئي K يحتوي على ثلاثة جذور تكعيبية للعدد 1؛ وذلك لأنه إذا كان α و β جذرين لكثير الحدود التكعيبي، فسيكون لدينا ( α / β ) ^³ = 1، ويكون التكعيبي كثير حدود قابلًا للفصل . عندئذٍ، يكون L / K امتدادًا كومر.

بشكلٍ أعم، صحيحٌ أنه عندما يحتوي K على n جذرًا مختلفًا من الرتبة n للوحدة، مما يعني أن خاصية K لا تقسم n ، فإن إضافة الجذر النوني لأي عنصر a من K إلى K يُنشئ امتدادًا كومر ( من الدرجة m ، حيث m يقسم n ). وباعتباره حقل التقسيم لكثير الحدود X ⁿ − a ، فإن امتداد كومر هو بالضرورة غالوا ، مع زمرة غالوا دورية من الرتبة m . من السهل تتبع فعل غالوا عبر جذر الوحدة أمامه.${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}.}$

تُقدّم نظرية كومر عبارات معاكسة. فعندما تحتوي المجموعة K على n جذرًا مختلفًا من الرتبة n للوحدة، تنصّ على أن أي امتداد أبيلي للمجموعة K ذي أسّ يقسم n يتكوّن من استخراج جذور عناصر K. علاوة على ذلك، إذا كانت K ^× تُشير إلى المجموعة الضربية للعناصر غير الصفرية في K ، فإن الامتدادات الأبيلية للمجموعة K ذات الأسّ n تُقابل تقابلًا ثنائيًا مع مجموعات جزئية من

${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

أي عناصر K ^× modulo n من القوى. يمكن وصف التناظر صراحةً كما يلي. بالنظر إلى مجموعة جزئية

${\displaystyle \Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

يُعطى الامتداد المقابل بواسطة

${\displaystyle K\left(\Delta ^{\frac {1}{n}}\right),}$

أين

${\displaystyle \Delta ^{\frac {1}{n}}=\left\{{\sqrt[{n}]{a}}:a\in K^{\times },a\cdot \left(K^{\times }\right)^{n}\in \Delta \right\}.}$

في الواقع، يكفي ضم الجذر النوني لممثل واحد لكل عنصر من أي مجموعة مولدات للمجموعة Δ . وعلى العكس، إذا كانت L امتدادًا كومريًا للمجموعة K ، فإنه يمكن استعادة Δ بالقاعدة.

${\displaystyle \Delta =\left(K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}\right)/(K^{\times })^{n}.}$

في هذه الحالة يوجد تماثل

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$

مقدم من

${\displaystyle a\mapsto \left(\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}\right),}$

حيث α هو أي جذر نوني للعدد a في L. هنا${\displaystyle \mu _{n}}$يرمز إلى المجموعة الضربية للجذور النونية للوحدة (التي تنتمي إلى K ) و${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$هي مجموعة التشاكلات المستمرة من${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$مجهزة بطوبولوجيا كرول لـ${\displaystyle \mu _{n}}$ذات طوبولوجيا منفصلة (مع عملية المجموعة المعطاة بالضرب النقطي). يمكن أيضًا اعتبار هذه المجموعة (ذات الطوبولوجيا المنفصلة) بمثابة المجموعة الثنائية لبونترياجين لـ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$، بافتراض أننا نعتبر${\displaystyle \mu _{n}}$كمجموعة فرعية من مجموعة الدائرة . إذا كان الامتداد L / K منتهيًا، فإن${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$هي مجموعة منفصلة منتهية ولدينا

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})\cong \operatorname {Gal} (L/K),}$

لكن التماثل الأخير ليس طبيعياً .

تُعد خريطة كومر إحدى الأدوات الرئيسية في نظرية كومر.${\displaystyle m}$ليكن عددًا صحيحًا موجبًا ولتكن${\displaystyle K}$أن يكون حقلاً، لا يحتوي بالضرورة على${\displaystyle m}$جذور الوحدة. السماح${\displaystyle {\overline {K}}}$يرمز إلى الإغلاق الجبري لـ${\displaystyle K}$، هناك تسلسل دقيق قصير

${\displaystyle 0\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }[m]\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {z\mapsto z^{m}} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {} 0}$

اختيار رقم داخلي${\displaystyle L/K}$وأخذ${\displaystyle \mathrm {Gal} ({\overline {K}}/L)}$- علم التماثل - نحصل على المتتالية

${\displaystyle 0\xrightarrow {} L^{\times }/(L^{\times })^{m}\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)[m]\xrightarrow {} 0}$

بحسب نظرية هيلبرت 90${\displaystyle H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)=0}$وبالتالي نحصل على تماثل${\displaystyle \delta :L^{\times }/\left(L^{\times }\right)^{m}\xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)}$هذه خريطة كومر. توجد نسخة أخرى من هذه الخريطة عندما يكون كل${\displaystyle m}$يتم النظر فيهما في آن واحد. أي، لأن${\displaystyle L^{\times }/(L^{\times })^{m}=L^{\times }\otimes m^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$، مع أخذ الحد المباشر على${\displaystyle m}$ينتج عنه تماثل

${\displaystyle \delta :L^{\times }\otimes \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}_{tors}\right)}$،

حيث تشير tors إلى مجموعة الالتواء الفرعية لجذور الوحدة.

تُستخدم نظرية كومر غالبًا في سياق المنحنيات الإهليلجية. لنفترض${\displaystyle E/K}$ليكن منحنى إهليلجيًا . توجد متتالية تامة قصيرة

${\displaystyle 0\xrightarrow {} E[m]\xrightarrow {} E\xrightarrow {P\mapsto m\cdot P} E\xrightarrow {} 0}$،

حيث الضرب في${\displaystyle m}$الخريطة شاملة لأن${\displaystyle E}$قابل للقسمة. اختيار امتداد جبري${\displaystyle L/K}$وبأخذ علم التماثل، نحصل على متتالية كومر لـ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle 0\xrightarrow {} E(L)/mE(L)\xrightarrow {} H^{1}(L,E[m])\xrightarrow {} H^{1}(L,E)[m]\xrightarrow {} 0}$.

حساب مجموعة مورديل-ويل الضعيفة${\displaystyle E(L)/mE(L)}$يُعد جزءًا أساسيًا من برهان نظرية مورديل-ويل . فشل${\displaystyle H^{1}(L,E)}$إن الاختفاء يضيف تعقيداً أساسياً إلى النظرية.

لنفترض أن G زمرة منتهية تؤثر على وحدة نمطية A، ولها تشاكل شامل π من الوحدة النمطية A إلى نفسها. ولنفترض أيضًا أن G تؤثر تأثيرًا تافهًا على نواة C للتشاكل π ^، وأن زمرة التماثل الأولى H₁ ⁽ G , A ) تافهة. عندئذٍ، يُظهر التسلسل التام لتماثل الزمر وجود تماثل بين AG / ^π ( AG ) و Hom( G , C ).

تُعدّ نظرية كومر حالةً خاصةً من هذه النظرية عندما تكون A هي المجموعة الضربية للإغلاق القابل للفصل لحقل k ، وG هي مجموعة غالوا، وπ هي دالة القوة n ، و C هي مجموعة الجذور n للوحدة. أما نظرية آرتين-شراير فهي حالةٌ خاصةٌ عندما تكون A هي المجموعة الجمعية للإغلاق القابل للفصل لحقل k ذي خاصية موجبة p ، وG هي مجموعة غالوا، وπ هي دالة فروبينيوس مطروحًا منها دالة المحايد، و C هو الحقل المنتهي من الرتبة p . وباعتبار A المجموعة الجمعية لحلقة من متجهات ويت المقتطعة، نحصل على تعميم ويت لنظرية آرتين-شراير إلى امتدادات الأس الذي يقسم p ⁿ .

• حقل تربيعي

• "امتداد كومر" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• برايان بيرش ، "الحقول الدائرية وامتدادات كومر"، في جي دبليو إس كاسيلز وإيه فروهليش (محرران)، نظرية الأعداد الجبرية ، أكاديميك برس ، 1973. الفصل الثالث، الصفحات  85-93.