نظرية كرونكر-ويبر

في نظرية الأعداد الجبرية ، يمكن إثبات أن كل حقل دائري هو امتداد أبيلي لحقل الأعداد النسبية Q ، وله زمرة غالوا من الشكل${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$تنص نظرية كرونكر-ويبر على عكس جزئي لها: كل امتداد أبيلي محدود لـ Q يقع ضمن حقل دائري ما. بعبارة أخرى، يمكن التعبير عن كل عدد صحيح جبري تكون زمرته الغالواية أبيلية كمجموع جذور الوحدة بمعاملات نسبية. على سبيل المثال ،

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5},}$${\displaystyle {\sqrt {-3}}=e^{2\pi i/3}-e^{4\pi i/3},}$و${\displaystyle {\sqrt {3}}=e^{\pi i/6}-e^{5\pi i/6}.}$

سُميت النظرية نسبة إلى ليوبولد كرونكر وهينريش مارتن ويبر .

يمكن صياغة نظرية كرونكر-ويبر بدلالة الحقول وامتداداتها . وبالتحديد ، تنص نظرية كرونكر-ويبر على أن كل امتداد أبيلي محدود للأعداد النسبية Q هو حقل جزئي من حقل دائري. أي أنه كلما كان لحقل عدد جبري زمرة غالوا فوق Q تكون زمرة أبيلية ، فإن هذا الحقل يكون حقلاً جزئياً من حقل ناتج عن ضم جذر الوحدة إلى الأعداد النسبية.

لكل امتداد أبيلي K معطى من Q، يوجد حقل دائري أدنى يحتويه. تسمح النظرية بتعريف موصل K بأنه أصغر عدد صحيح n بحيث يقع K داخل الحقل الناتج عن الجذور النونية للوحدة. على سبيل المثال، الحقول التربيعية موصلها هو القيمة المطلقة لمميزها ، وهي حقيقة معممة في نظرية حقول الأصناف .

صاغ كرونكر ( 1853 ) النظرية لأول مرة ، إلا أن حجته لم تكن كاملة بالنسبة للامتدادات من الدرجة أ قوة العدد 2. ونشر ويبر ( 1886 ) برهانًا، لكنه احتوى على بعض الثغرات والأخطاء التي أشار إليها نيومان (1981) وصححها . أما أول برهان كامل فقد قدمه هيلبرت ( 1896 ) .   

أثبت لوبين وتيت ( 1965 ، 1966 ) نظرية كرونكر-ويبر المحلية التي تنص على أنه يمكن بناء أي امتداد أبيلي لحقل محلي باستخدام الامتدادات الدائرية وامتدادات لوبين -تيت . وقدّم كلٌّ من هازوينكل ( 1975 ) وروزن ( 1981 ) ولوبين ( 1981 ) براهين أخرى.    

تطرح المسألة الثانية عشرة لهيلبرت تعميمات لنظرية كرونكر-ويبر لوصف الامتدادات الأبيلية لحقول الأعداد العشوائية، وتطرح نظائر جذور الوحدة لتلك الحقول. حاليًا، تم إثبات هذا التعميم فقط لحقول CM .

تقدم نظرية حقل الفئات نهجاً مختلفاً للامتدادات الأبيلية .

• غات، إكناث (2000)، “نظرية كرونيكر-ويبر” (PDF) ، في أديكاري، SD؛ كاتري، سا. Thakur، Dinesh (eds.)، المجالات السيكلوتومية والموضوعات ذات الصلة (بيون، 1999) ، Bhaskaracharya Pratishthana، Pune، pp. 135– 146، MR 1802379  
• غرينبيرغ، إم جيه (1974). "برهان أولي لنظرية كرونكر-ويبر". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 81 (6): 601-607 . doi : 10.2307/2319208 . JSTOR 2319208 . 
• غرينبيرغ، إم جيه (1975). "تصحيح لـ "برهان ابتدائي لنظرية كرونكر-ويبر"". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 82 (8): 601– 607. doi : 10.2307/2319794 . JSTOR 2319794 . 
• هازوينكل، ميشيل (1975)، "نظرية حقل الفئة المحلية سهلة" (ملف PDF) ، التقدم في الرياضيات ، 18 (2): 148-181 ، doi : 10.1016/0001-8708(75)90156-5 ، ISSN 0001-8708 ، MR 0389858 ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 19-07-2018 ، تم استرجاعه بتاريخ 20-09-2019  
• هيلبرت ، ديفيد (1896)، “Ein neuer Beweis des Kronecker'schen Fundamentalsatzes über Abel'sche Zahlkörper.” , Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (بالألمانية): 29– 39
• كرونيكر، ليوبولد (1968) [1853]، “Über die algebraisch auflösbaren Gleichungen” ، Berlin K. Akad. ويس. (بالألمانية)، الصفحات من 365 إلى 374، ISBN  9780821849828المجلد الرابع من الأعمال الكاملة
• كرونيكر، ليوبولد (1968) [1877]، "Über Abelsche Gleichungen" ، Berlin K. Akad. ويس. (بالألمانية)، الصفحات من 845 إلى 851، ISBN  9780821849828المجلد الرابع من الأعمال الكاملة
• Lemmermeyer، Franz (2005)، “Kronecker-Weber via Stickelberger”، Journal de théorie des nombres de Bordeaux ، 17 (2): 555–558 ، أرخايف : 1108.5671 ، دوى : 10.5802/jtnb.507 ، ISSN 1246-7405 ، MR 2211307  
• لوبين، جوناثان (1981)، "نظرية كرونكر-ويبر المحلية"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 267 (1): 133-138 ، doi : 10.2307/1998574 ، ISSN 0002-9947 ، JSTOR 1998574 ، MR 0621978   
• لوبين، جوناثان؛ تيت، جون (1965)، "الضرب المركب الرسمي في الحقول المحلية"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 81 (2): 380-387 ، doi : 10.2307/1970622 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 1970622 ، MR 0172878   
• لوبين، جوناثان؛ تيت ، جون (1966)، “المعايير الرسمية لمجموعات الكذب الرسمية ذات المعلمة الواحدة” ، Bulletin de la Société Mathématique de France ، 94 : 49–59 ، doi : 10.24033/bsmf.1633 ، ISSN 0037-9484 ، MR 0238854  
• نيومان، أولاف (1981)، "برهانان لنظرية كرونكر-ويبر "وفقًا لكرونكر، وويبر"" ، مجلة für die reine und angewandte Mathematik ، 323 (323): 105–126 ، دوى : 10.1515/crll.1981.323.105 ، ISSN 0075-4102 ، MR 0611446  
• روزن، مايكل (1981)، "برهان أولي لنظرية كرونكر-ويبر المحلية"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 265 (2): 599-605 ، doi : 10.2307/1999753 ، ISSN 0002-9947 ، JSTOR 1999753 ، MR 0610968   
• شافاريفيتش، آي آر (1951)، برهان جديد لنظرية كرونكر-ويبر ، أعمال معهد ستيكلوف للرياضيات (باللغة الروسية)، المجلد  38، موسكو: دار نشر أكاديمية العلوم في الاتحاد السوفيتي، الصفحات 382-387 ، MR 0049233  
• نوربرت شاباخر (1998)، “في تاريخ مشكلة هيلبرت الثانية عشرة: كوميديا ​​الأخطاء” ، Matériaux pour l’histoire des mathématiques au XX ^e siècle (نيس، 1996) ، سيمين. المؤتمر.، المجلد.  3، باريس: Société Mathématique de France ، الصفحات من 243 إلى 273، ISBN  978-2-85629-065-1MR 1640262​ 
• Weber، H. (1886)، “Theorie der Abel'schen Zahlkörper”، Acta Mathematica (بالألمانية)، 8 : 193–263 ، دوى : 10.1007 / BF02417089 ، ISSN 0001-5962