امتداد غالوا

في الرياضيات ، يُعرف امتداد غالوا بأنه امتداد حقل جبري E / F يكون طبيعيًا وقابلًا للفصل ؛ ^{[ 1 ]} أو بصورة مكافئة، يكون E / F جبريًا، والحقل المحدد بواسطة زمرة التشاكل الذاتي Aut( E / F ) هو تحديدًا الحقل الأساسي F. تكمن أهمية كونه امتداد غالوا في أن هذا الامتداد يمتلك زمرة غالوا ويخضع للنظرية الأساسية لنظرية غالوا . ^{[ أ ]}

تسمح نتيجة إميل أرتين بإنشاء امتدادات غالوا على النحو التالي: إذا كان E حقلاً معطى، و G مجموعة منتهية من التشاكلات الذاتية لـ E مع حقل ثابت F ، فإن E / F هو امتداد غالوا. ^{[ 2 ]}

تتصرف خاصية التمديد من نوع غالوا بشكل جيد فيما يتعلق بتركيب الحقول والتقاطع . ^{[ 3 ]}

تنص إحدى النظريات المهمة لإميل أرتين على أنه بالنسبة لامتداد محدود${\displaystyle E/F}$كل عبارة من العبارات التالية تعادل العبارة التي${\displaystyle E/F}$هو غالوا:

• ${\displaystyle E/F}$هو امتداد عادي وامتداد قابل للفصل .
• ${\displaystyle E}$هو حقل تجزئة لمجموعة من كثيرات الحدود القابلة للفصل ذات المعاملات في${\displaystyle F}$.
• ${\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/F)|=[E:F]}$أي أن عدد التشاكلات الذاتية يساوي درجة الامتداد.

ومن العبارات المكافئة الأخرى ما يلي:

• كل متعددة حدود غير قابلة للاختزال في${\displaystyle F[x]}$مع وجود جذر واحد على الأقل في${\displaystyle E}$ينقسم على${\displaystyle E}$وهو قابل للفصل.
• ${\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/F)|\geq [E:F]}$أي أن عدد التشاكلات الذاتية يساوي على الأقل درجة الامتداد.
• ${\displaystyle F}$هو الحقل الثابت لمجموعة فرعية من${\displaystyle \operatorname {Aut} (E)}$.
• ${\displaystyle F}$هو الحقل الثابت لـ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}$.
• توجد علاقة تناظرية بين المجالات الفرعية لـ${\displaystyle E/F}$ومجموعات فرعية من${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}$.

امتداد مجال لانهائي${\displaystyle E/F}$تكون غالوا إذا وفقط إذا${\displaystyle E}$هو اتحاد امتدادات غالوا الجزئية المحدودة${\displaystyle E_{i}/F}$مفهرسة بواسطة مجموعة فهارس (لا نهائية)${\displaystyle I}$، أي${\displaystyle E=\bigcup _{i\in I}E_{i}}$ومجموعة غالوا هي حد عكسي${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)=\varprojlim _{i\in I}{\operatorname {Aut} (E_{i}/F)}}$حيث يتم ترتيب النظام العكسي حسب تضمين الحقل ${\displaystyle E_{i}\subset E_{j}}$[ ^{4 ]​}

هناك طريقتان أساسيتان لإنشاء أمثلة على امتدادات غالوا.

• اختر أي مجال${\displaystyle E}$أي مجموعة جزئية منتهية من${\displaystyle \operatorname {Aut} (E)}$ودع${\displaystyle F}$ليكن الحقل الثابت.
• اختر أي مجال${\displaystyle F}$أي متعددة حدود قابلة للفصل في${\displaystyle F[x]}$ودع${\displaystyle E}$ليكن حقل تقسيمه .

بإلحاق الجذر التربيعي للعدد 2 بحقل الأعداد النسبية ، نحصل على امتداد غالوا، بينما بإلحاق الجذر التكعيبي للعدد 2، نحصل على امتداد غير غالوا. كلا الامتدادين قابلان للفصل، لأن لهما خاصية صفر . أولهما هو حقل التفكيك لـ${\displaystyle x^{2}-2}$أما الثاني، فله إغلاق طبيعي يشمل الجذور التكعيبية المركبة للوحدة ، وبالتالي فهو ليس حقلاً تفكيكياً. في الواقع، ليس له أي تشاكل ذاتي سوى التماثل المحايد، لأنه مُحتوى في الأعداد الحقيقية و${\displaystyle x^{3}-2}$لها جذر حقيقي واحد فقط. لمزيد من الأمثلة التفصيلية، انظر الصفحة الخاصة بالنظرية الأساسية لنظرية غالوا .

إغلاق جبري${\displaystyle {\bar {K}}}$حقل عشوائي${\displaystyle K}$هل انتهى غالوا${\displaystyle K}$إذا وفقط إذا${\displaystyle K}$إنه مجال مثالي .