التكامل الأبلي

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 25 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرف التكامل الأبلي ، الذي سُمي على اسم عالم الرياضيات النرويجي نيلز هنريك أبيل ، بأنه تكامل في المستوى المركب على الصورة التالية:

∫z0zR(x،w)دx،{\displaystyle \int _{z_{0}}^{z}R(x,w)\,dx,}

أينR(x،w){\displaystyle R(x,w)}هي دالة كسرية اختيارية للمتغيرينx{\displaystyle x}وw{\displaystyle w}والتي ترتبط ببعضها البعض من خلال المعادلة

F(x،w)=0،{\displaystyle F(x,w)=0,}

أينF(x،w){\displaystyle F(x,w)}هي متعددة حدود غير قابلة للاختزال فيw{\displaystyle w}،

F(x،w)≡φن(x)wن+⋯+φ1(x)w+φ0(x)،{\displaystyle F(x,w)\equiv \varphi _{n}(x)w^{n}+\cdots +\varphi _{1}(x)w+\varphi _{0}\left(x\right),}

معاملاتهاφج(x){\displaystyle \varphi _{j}(x)}،ج=0،1،...،ن{\displaystyle j=0,1,\ldots ,n}هي دوال كسرية لـx{\displaystyle x}تعتمد قيمة التكامل الأبلي ليس فقط على حدود التكامل، ولكن أيضًا على المسار الذي يُجرى عليه التكامل؛ وبالتالي فهو دالة متعددة القيم لـz{\displaystyle z}.

تُعدّ التكاملات الأبيلية تعميمات طبيعية للتكاملات الإهليلجية ، والتي تنشأ عندما

F(x،w)=w2-P(x)،{\displaystyle F(x,w)=w^{2}-P(x),\,}

أينP(x){\displaystyle P\left(x\right)}هي متعددة حدود من الدرجة 3 أو 4. حالة خاصة أخرى من التكامل الأبلي هي التكامل فوق الإهليلجي ، حيثP(x){\displaystyle P(x)}، في الصيغة أعلاه، هي متعددة حدود من الدرجة الأكبر من  4.

تاريخ

نشأت نظرية التكاملات الأبيلية من ورقة بحثية لأبيل [ 1 ] نُشرت عام 1841. كُتبت هذه الورقة خلال إقامته في باريس عام 1826، وقُدّمت إلى أوغستين لويس كوشي في أكتوبر من العام نفسه. تُعدّ هذه النظرية، التي طوّرها لاحقًا آخرون [ 2 ] ، من أبرز إنجازات الرياضيات في القرن التاسع عشر، وكان لها أثر بالغ على تطور الرياضيات الحديثة. وبعبارة أكثر تجريدًا وهندسية، تتجلى هذه النظرية في مفهوم التنوع الأبيلي ، أو بتعبير أدق، في كيفية تمثيل منحنى جبري في تنوعات أبيلية. ارتبطت التكاملات الأبيلية لاحقًا بالمسألة السادسة عشرة التي طرحها عالم الرياضيات البارز ديفيد هيلبرت ، ولا تزال تُعتبر من أهم التحديات في الرياضيات المعاصرة.

النظرة الحديثة

في نظرية أسطح ريمان ، التكامل الأبلي هو دالة مرتبطة بالتكامل غير المحدد لتفاضل من النوع الأول . لنفترض أن لدينا سطح ريمانS{\displaystyle S}وعليه شكل تفاضلي من الدرجة الأولىω{\displaystyle \omega }هذا هو شكلي في كل مكانS{\displaystyle S}وحدد نقطةP0{\displaystyle P_{0}}علىS{\displaystyle S}، والتي يمكننا من خلالها التكامل. يمكننا أن نعتبر

∫P0Pω{\displaystyle \int _{P_{0}}^{P}\omega }

كدالة متعددة القيمو(P){\displaystyle f\left(P\right)}أو (الأفضل) دالة صادقة للمسار المختارج{\displaystyle C}رسم علىS{\displaystyle S}منP0{\displaystyle P_{0}}لP{\displaystyle P}. منذS{\displaystyle S}ستكون بشكل عام متعددة الاتصال ، ويجب تحديد ذلك.ج{\displaystyle C}لكن القيمة ستعتمد في الواقع فقط على فئة التماثل لـج{\displaystyle C}.

في حالةS{\displaystyle S}سطح ريمان مضغوط من النوع 1 ، أي منحنى إهليلجي ، هذه الدوال هي التكاملات الإهليلجية .

تم تقديم هذه الدوال لأول مرة لدراسة التكاملات فوق الإهليلجية ، أي في الحالة التيS{\displaystyle S}هي منحنى زائد إهليلجي . هذه خطوة طبيعية في نظرية التكامل لحالة التكاملات التي تتضمن دوال جبرية.أ{\displaystyle {\sqrt {A}}}، أينأ{\displaystyle A}هي متعددة حدود من الدرجة>4{\displaystyle >4}قدم آبل أولى الأفكار الرئيسية للنظرية؛ ثم صِيغت لاحقًا بدلالة المتنوع اليعقوبيج(S){\displaystyle J\left(S\right)}اختيارP0{\displaystyle P_{0}}ينتج عنه دالة هولومورفية قياسية

S→ج(S){\displaystyle S\to J(S)}

من متعددات الشعب المعقدة . ولها الخاصية المميزة وهي أن الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى الهولومورفية علىS→ج(S){\displaystyle S\to J(S)}، والتي يوجد منها g مستقلة إذا كان g هو جنس S ، تعود إلى أساس للتفاضلات من النوع الأول على S. 

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع