خريطة أبيل-جاكوبي

في الرياضيات ، تُعدّ خريطة أبيل-جاكوبي بناءً في الهندسة الجبرية يربط منحنى جبريًا بمتنوعه اليعقوبي . وفي الهندسة الريمانية ، هي بناءٌ أعمّ يربط متعدد الشعب بحلقة جاكوبي الخاصة به. ويُشتقّ الاسم من نظرية أبيل وجاكوبي التي تنصّ على أن قاسمين فعّالين يكونان متكافئين خطيًا إذا وفقط إذا كانا غير قابلين للتمييز تحت خريطة أبيل-جاكوبي.

في الهندسة الجبرية المعقدة ، يتم إنشاء مصفوفة جاكوبي لمنحنى C باستخدام التكامل المساري. أي، لنفترض أن C من جنس g ، مما يعني طوبولوجيًا أن

${\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{2g}.}$

هندسيًا، تتكون هذه المجموعة المتجانسة من (فئات متجانسة من) دورات في C ، أو بعبارة أخرى، حلقات مغلقة. لذلك يمكننا اختيار 2g حلقة .${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{2g}}$توليدها. من ناحية أخرى، هناك طريقة أخرى أكثر جبرية هندسية للتعبير عن أن جنس C هو g وهي أن

${\displaystyle H^{0}(C,K)\cong \mathbb {C} ^{g},}$

حيث K هي الحزمة الأساسية على C.

بحسب التعريف، هذا هو فضاء الأشكال التفاضلية الهولومورفية المعرفة عالميًا على C ، لذا يمكننا اختيار g أشكال مستقلة خطيًا${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{g}}$بمعرفة الأشكال والحلقات المغلقة، يمكننا إجراء التكامل، ونحدد متجهين g.

${\displaystyle \Omega _{j}=\left(\int _{\gamma _{j}}\omega _{1},\ldots ,\int _{\gamma _{j}}\omega _{g}\right)\in \mathbb {C} ^{g}.}$

ويترتب على علاقات ريمان الثنائية الخطية أن${\displaystyle \Omega _{j}}$توليد شبكة غير متدهورة${\displaystyle \Lambda }$(أي أنها تشكل أساسًا حقيقيًا لـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}\cong \mathbb {R} ^{2g}}$، ويُعرَّف المصفوفة اليعقوبية بواسطة

${\displaystyle J(C)=\mathbb {C} ^{g}/\Lambda .}$

تُعرَّف خريطة أبيل-جاكوبي على النحو التالي. نختار نقطة أساسية.${\displaystyle p_{0}\in C}$وتقريباً محاكاة تعريف${\displaystyle \Lambda ,}$حدد الخريطة

${\displaystyle {\begin{cases}u:C\to J(C)\\u(p)=\left(\int _{p_{0}}^{p}\omega _{1},\dots ,\int _{p_{0}}^{p}\omega _{g}\right){\bmod {\Lambda }}\end{cases}}}$

على الرغم من أن هذا يبدو أنه يعتمد على مسار من${\displaystyle p_{0}}$ل${\displaystyle p,}$أي مسارين من هذا القبيل يحددان حلقة مغلقة في${\displaystyle C}$وبالتالي، عنصر من${\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z} ),}$لذا فإن التكامل عليه يعطي عنصرًا من${\displaystyle \Lambda .}$وبالتالي، يتم محو الفرق في الانتقال إلى ناتج القسمة بواسطة${\displaystyle \Lambda }$تغيير نقطة الأساس${\displaystyle p_{0}}$يُغير الخريطة، ولكن فقط عن طريق إزاحة الطارة.

يترك${\displaystyle M}$ليكن مشعبًا أملسًا مضغوطًا .${\displaystyle \pi =\pi _{1}(M)}$لتكن مجموعتها الأساسية.${\displaystyle f:\pi \to \pi ^{ab}}$لتكن خريطة التبديل الخاصة بها .${\displaystyle \operatorname {tor} =\operatorname {tor} (\pi ^{ab})}$كن مجموعة فرعية للالتواء من${\displaystyle \pi ^{ab}}$. يترك${\displaystyle g:\pi ^{ab}\to \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$ليكن الناتج عن قسمة الالتواء. إذا${\displaystyle M}$هو سطح،${\displaystyle \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$متماثل بشكل غير قانوني مع${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2g}}$، أين${\displaystyle g}$هو الجنس؛ وبشكل أعم،${\displaystyle \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$متماثل بشكل غير قانوني مع${\displaystyle \mathbb {Z} ^{b}}$، أين${\displaystyle b}$هو العدد الأول لبيتي . ليكن${\displaystyle \varphi =g\circ f:\pi \to \mathbb {Z} ^{b}}$ليكن التشاكل المركب.

التعريف. الغلاف${\displaystyle {\bar {M}}}$من المشعب${\displaystyle M}$المقابل للمجموعة الفرعية${\displaystyle \ker(\varphi )\subset \pi }$يُطلق عليه اسم الغطاء الأبلي الحر الشامل (أو الأقصى).

والآن افترض${\displaystyle M}$له مقياس ريماني . ليكن${\displaystyle E}$ليكن فضاء الأشكال التوافقية من الدرجة الأولى على${\displaystyle M}$، مع مزدوج${\displaystyle E^{*}}$يُعرف بشكل أساسي بـ${\displaystyle H_{1}(M,\mathbb {R} )}$عن طريق تكامل شكل توافقي تكاملي من الدرجة الأولى على طول مسارات من نقطة أساسية${\displaystyle x_{0}\in M}$، فنحصل على خريطة للدائرة${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$.

وبالمثل، من أجل تحديد خريطة${\displaystyle M\to H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }}$دون اختيار أساس لعلم التماثل، نناقش الأمر على النحو التالي.${\displaystyle x}$كن نقطة في الغطاء العالمي${\displaystyle {\tilde {M}}}$ل${\displaystyle M}$. هكذا${\displaystyle x}$يتم تمثيلها بنقطة${\displaystyle M}$بالإضافة إلى مسار${\displaystyle c}$من${\displaystyle x_{0}}$إلى ذلك. من خلال التكامل على طول المسار${\displaystyle c}$، فنحصل على شكل خطي على${\displaystyle E}$:

${\displaystyle h\to \int _{c}h.}$

وهذا يؤدي إلى ظهور خريطة

${\displaystyle {\tilde {M}}\to E^{*}=H_{1}(M,\mathbb {R} ),}$

والتي، علاوة على ذلك، تنحدر إلى خريطة

${\displaystyle {\begin{cases}{\overline {A}}_{M}:{\overline {M}}\to E^{*}\\c\mapsto \left(h\mapsto \int _{c}h\right)\end{cases}}}$

أين${\displaystyle {\overline {M}}}$هو الغلاف الأبلي المجاني العالمي.

التعريف. نوع جاكوبي (Jacobi torus) من${\displaystyle M}$هو الطارة

${\displaystyle J_{1}(M)=H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }.}$

التعريف. خريطة أبيل-جاكوبي

${\displaystyle A_{M}:M\to J_{1}(M),}$

يتم الحصول عليها من الخريطة أعلاه عن طريق تمريرها إلى عمليات القسمة.

تُعدّ خريطة أبيل-جاكوبي فريدة من نوعها حتى عمليات إزاحة طارة جاكوبي. ولها تطبيقات في الهندسة الانقباضية . وتظهر خريطة أبيل-جاكوبي لمتشعب ريماني في السلوك التقاربي الزمني الكبير لنواة الحرارة على متشعب دوري ( كوتاني وسونادا (2000) وسونادا (2012) ).

وبنفس الطريقة تقريبًا، يمكن للمرء أن يُعرّف نظيرًا لنظرية الرسم البياني لخريطة أبيل-جاكوبي على أنه خريطة خطية جزئية من رسم بياني محدود إلى طارة مسطحة (أو رسم بياني كايلي مرتبط بمجموعة أبيلية محدودة)، وهو ما يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالسلوكيات التقاربية للمشي العشوائي على الشبكات البلورية، ويمكن استخدامه لتصميم الهياكل البلورية.

نقدم بناءً تحليليًا لخريطة أبيل-جاكوبي على أسطح ريمان المدمجة.

يترك${\displaystyle M}$يرمز إلى سطح ريمان مضغوط من النوع${\displaystyle g>0}$. يترك${\displaystyle \{a_{1},...,a_{g},b_{1},...,b_{g}\}}$أن يكون أساسًا للتجانس المتعارف عليه${\displaystyle M}$، و${\displaystyle \{\zeta _{1},...,\zeta _{g}\}}$الأساس المزدوج لـ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(M)}$، وهو${\displaystyle g}$فضاء متجهي معقد ذو بُعد n يتكون من أشكال تفاضلية هولومورفية . ونعني بالأساس الثنائي${\displaystyle \int _{a_{k}}\zeta _{j}=\delta _{jk}}$، ل${\displaystyle j,k=1,...,g}$يمكننا تكوين مصفوفة متناظرة تكون عناصرها${\displaystyle \int _{b_{k}}\zeta _{j}}$، ل${\displaystyle j,k=1,...,g}$. يترك${\displaystyle L}$لتكن الشبكة المتولدة بواسطة${\displaystyle 2g}$-أعمدة من${\displaystyle g\times 2g}$مصفوفة تتكون عناصرها من${\displaystyle \int _{c_{k}}\zeta _{j}}$ل${\displaystyle j,k=1,...,g}$أين${\displaystyle c_{k}\in \{a_{k},b_{k}\}}$نسمي${\displaystyle J(M)={\mathbb {C}}^{g}/L(M)}$النوع اليعقوبي من${\displaystyle M}$وهو نظام مضغوط وتبديلي${\displaystyle g}$زمرة لي المعقدة ذات الأبعاد n.

يمكننا تعريف خريطة${\displaystyle \varphi :M\to J(M)}$باختيار نقطة${\displaystyle P_{0}\in M}$والضبط ${\displaystyle \varphi (P)=\left(\int _{P_{0}}^{P}\zeta _{1},...,\int _{P_{0}}^{P}\zeta _{g}\right).}$ وهو عبارة عن تطبيق هولومورفي محدد جيدًا برتبة 1 (الرتبة القصوى). ثم يمكننا بشكل طبيعي توسيع هذا إلى تطبيق لفئات القواسم؛

إذا رمزنا${\displaystyle \mathrm {Div} (M)}$مجموعة فئات القاسم لـ${\displaystyle M}$ثم قم بتعريف خريطة${\displaystyle \varphi$ :\mathrm {Div} (M)\to J(M)} عن طريق وضع ${\displaystyle \varphi (D)=\sum _{j=1}^{r}\varphi (P_{j})-\sum _{j=1}^{s}\varphi (Q_{j}),\quad D=P_{1}\cdots P_{r}/Q_{1}\cdots Q_{s}.}$

لاحظ أنه إذا${\displaystyle r=s}$إذن، هذه الخريطة مستقلة عن اختيار نقطة الأساس، لذا يمكننا تعريف الخريطة المستقلة عن نقطة الأساس. ${\displaystyle \varphi _{0}:\mathrm {Div} ^{(0)}(M)\to J(M)}$أين${\displaystyle \mathrm {Div} ^{(0)}(M)}$يشير إلى قواسم الدرجة الصفرية لـ${\displaystyle M}$.

تُظهر نظرية أبيل أدناه أن نواة التطبيق${\displaystyle \varphi _{0}}$هي تحديدًا المجموعة الفرعية للقواسم الرئيسية. وبالاقتران مع مسألة جاكوبي العكسية، يمكننا القول إن${\displaystyle J(M)}$متماثل كمجموعة مع مجموعة القواسم من الدرجة الصفرية modulo مجموعتها الفرعية من القواسم الرئيسية.

أثبت آبل النظرية التالية (المعروفة بنظرية آبل): لنفترض أن

${\displaystyle D=\sum \nolimits _{i}n_{i}p_{i}}$

هو قاسم (بمعنى تركيبة خطية صحيحة رسمية لنقاط من C ). يمكننا تعريف

${\displaystyle u(D)=\sum \nolimits _{i}n_{i}u(p_{i})}$

وبالتالي نتحدث عن قيمة تطبيق أبيل-جاكوبي على القواسم. تنص النظرية إذن على أنه إذا كان D و E قواسم فعالة ، فهذا يعني أن${\displaystyle n_{i}}$إذا كانت جميعها أعدادًا صحيحة موجبة، فإن

${\displaystyle u(D)=u(E)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle D}$يكافئ خطيًا ما يلي:${\displaystyle E.}$وهذا يعني أن خريطة أبيل-جاكوبي تولد خريطة حقنية (للمجموعات الأبيلية) من فضاء فئات القواسم من الدرجة الصفرية إلى جاكوبي.

أثبت جاكوبي أن هذه الخريطة شاملة أيضًا (المعروفة باسم مشكلة جاكوبي العكسية)، لذا فإن المجموعتين متماثلتان بشكل طبيعي.

تنص نظرية أبيل-جاكوبي على أن منوع ألبانيز لمنحنى عقدي مضغوط (ثنائي الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى بتردد الدورات) متماثل مع منوع جاكوبي الخاص به (قواسم الدرجة صفر بتردد التكافؤ). بالنسبة للمناوعات الإسقاطية المضغوطة ذات الأبعاد الأعلى، يكون منوع ألبانيز ومنوع بيكارد ثنائيين، لكنهما ليسا بالضرورة متماثلين.

• إي. أرباريلو ؛ م. كورنالبا ؛ بي غريفيث ؛ جي هاريس (1985). “1.3، نظرية هابيل ”. هندسة المنحنيات الجبرية، المجلد. 1 . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-0-387-90997-4.
• كوتاني، موتوكو ؛ سونادا، توشيكازو (2000)، "خرائط ألبانيز وسلوك تقاربي طويل الأمد غير قطري لنواة الحرارة"، مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية ، 209 (3): 633-670 ، رمز Bibcode : 2000CMaPh.209..633K ، doi : 10.1007/s002200050033
• سونادا، توشيكازو (2012)، "محاضرة في علم البلورات الطوبولوجي"، المجلة اليابانية للرياضيات ، 7 : 1-39 ، doi : 10.1007/s11537-012-1144-4
• فاركاس، هيرشل م؛ كرا، إيروين (23 ديسمبر 1991)، أسطح ريمان ، نيويورك: سبرينغر، ISBN 978-0387977034