عنصر جبري

في الرياضيات ، إذا كانت A جبرًا ترابطيًا على K ، فإن العنصر a من A هو عنصر جبري على K ، أو جبري على K فقط ، إذا وُجدت متعددة حدود غير صفرية${\displaystyle g(x)\in K[x]}$بمعاملات في K بحيث g ( a ) = 0. [ 1 ^{] عناصر A} التي ليست جبرية على K هي عناصر متسامية على K. حالة خاصة من الجبر الترابطي على${\displaystyle K}$هو حقل إضافي${\displaystyle L}$ل${\displaystyle K}$إذا كانت جميع عناصر${\displaystyle L}$هي جبرية على${\displaystyle K}$، ثم${\displaystyle L/K}$يُطلق عليه اسم الامتداد الجبري .

تعمم هذه المفاهيم الأعداد الجبرية والأعداد المتسامية (حيث يكون امتداد الحقل هو C / Q ، مع كون C حقل الأعداد المركبة و Q حقل الأعداد النسبية ).

• الجذر التربيعي لـ 2 هو جبري على Q ، لأنه جذر كثير الحدود g ( x ) = x ² − 2 الذي معاملاته نسبية.
• العدد باي عدد متسامٍ على حقل الأعداد الحقيقية (Q) ولكنه جبري على حقل الأعداد الحقيقية (R) : فهو جذر الدالة g ( x ) = x - π ، التي معاملاتها (1 و -π ) حقيقية، ولكنه ليس جذرًا لأي كثيرة حدود ذات معاملات نسبية فقط. ( يستخدم تعريف مصطلح العدد المتسامي النسبة C / Q ، وليس C / R ).
• يُعرَّف المتغير غير المحدد x في حقل K ( x ) من الدوال الكسرية أو K (( x )) من متسلسلات لوران الرسمية بأنه متسامي على K.
• الدوال الجبرية هي العناصر الجبرية على حقل من الدوال النسبية K ( x ₁ , ..., x _m ).

الشروط التالية متكافئة بالنسبة لعنصر ما${\displaystyle a}$حقل امتداد${\displaystyle L}$ل${\displaystyle K}$:

• ${\displaystyle a}$هو جبري على${\displaystyle K}$،
• توسيع الحقل${\displaystyle K(a)/K}$هو جبري، أي كل عنصر من${\displaystyle K(a)}$هو جبري على${\displaystyle K}$(هنا${\displaystyle K(a)}$يشير إلى أصغر حقل فرعي من${\displaystyle L}$يحتوي على${\displaystyle K}$و${\displaystyle a}$)
• توسيع الحقل${\displaystyle K(a)/K}$له درجة محدودة، أي بُعد${\displaystyle K(a)}$كـ${\displaystyle K}$- الفضاء المتجهي محدود،
• ${\displaystyle K[a]=K(a)}$، أين${\displaystyle K[a]}$هي مجموعة جميع عناصر${\displaystyle L}$يمكن كتابة ذلك بالشكل التالي${\displaystyle g(a)}$باستخدام متعدد الحدود${\displaystyle g}$التي تقع معاملاتها في${\displaystyle K}$.

ولتوضيح ذلك بشكل أكبر، انظر إلى تقييم كثير الحدود${\displaystyle \varepsilon _{a}:K[X]\rightarrow K(a),\,P\mapsto P(a)}$هذا تماثل ، ونواته هي${\displaystyle \{P\in K[X]\mid P(a)=0\}}$. لو${\displaystyle a}$إذا كان هذا المثالي جبريًا، فإنه يحتوي على كثيرات حدود غير صفرية، ولكن بما أن${\displaystyle K[X]}$هو مجال إقليدي ، ويحتوي على متعدد حدود فريد${\displaystyle p}$بدرجة دنيا ومعامل رئيسي${\displaystyle 1}$، والذي بدوره يُولّد المثالي ويجب أن يكون غير قابل للاختزال . متعددة الحدود${\displaystyle p}$يُطلق عليه اسم متعددة الحدود الدنيا لـ${\displaystyle a}$وهي تتضمن العديد من الخصائص المهمة لـ${\displaystyle a}$ومن ثمّ تماثل الحلقة${\displaystyle K[X]/(p)\rightarrow \mathrm {im} (\varepsilon _{a})}$إن النتيجة التي تم الحصول عليها من خلال نظرية التشاكل هي تماثل بين الحقول، حيث يمكننا حينها ملاحظة أن${\displaystyle \mathrm {im} (\varepsilon _{a})=K(a)}$. خلاف ذلك،${\displaystyle \varepsilon _{a}}$هي دالة أحادية، وبالتالي نحصل على تماثل حقلي${\displaystyle K(X)\rightarrow K(a)}$، أين${\displaystyle K(X)}$هو مجال كسور${\displaystyle K[X]}$أي حقل الدوال الكسرية على${\displaystyle K}$، وذلك بفضل الخاصية العامة لحقل الكسور. يمكننا أن نستنتج أنه في أي حال، نجد تماثلاً.${\displaystyle K(a)\cong K[X]/(p)}$أو${\displaystyle K(a)\cong K(X)}$يؤدي التحقيق في هذا البناء إلى النتائج المرجوة.

يمكن استخدام هذا التوصيف لإظهار أن مجموع وفرق وضرب وقسمة العناصر الجبرية على${\displaystyle K}$وهي جبرية مرة أخرى على${\displaystyle K}$. لأنه إذا${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$كلاهما جبري، إذن${\displaystyle (K(a))(b)}$هي مجموعة محدودة. لأنها تحتوي على التوليفات المذكورة سابقًا من${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$، مجاورًا أحدها لـ${\displaystyle K}$كما ينتج عنه امتداد محدود، وبالتالي فإن هذه العناصر جبرية أيضًا. وهكذا، فإن مجموعة جميع عناصر${\displaystyle L}$التي هي جبرية على${\displaystyle K}$هو مجال يقع بين${\displaystyle L}$و${\displaystyle K}$.

تُسمى الحقول التي لا تسمح بوجود أي عناصر جبرية عليها (باستثناء عناصرها الخاصة) بالحقول المغلقة جبريًا . حقل الأعداد المركبة مثال على ذلك.${\displaystyle L}$إذا كانت المجموعة مغلقة جبريًا، فإن حقل العناصر الجبرية لـ${\displaystyle L}$زيادة${\displaystyle K}$هي مجموعة مغلقة جبريًا، ويمكن إثبات ذلك مباشرةً باستخدام خصائص الامتدادات الجبرية البسيطة المذكورة أعلاه. ومن الأمثلة على ذلك حقل الأعداد الجبرية .

• الإغلاق الجبري
• الاستقلال الجبري
• عنصر متكامل

• لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الثالثة المنقحة  )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-95385-4، MR 1878556 ، Zbl 0984.00001