الاستقلال الجبري

في الجبر المجرد ، مجموعة جزئية${\displaystyle S}$حقل​${\displaystyle L}$مستقل جبريًا على حقل فرعي${\displaystyle K}$إذا كانت عناصر${\displaystyle S}$لا تحقق أي معادلة متعددة الحدود غير تافهة ذات معاملات في${\displaystyle K}$.

على وجه الخصوص، مجموعة مكونة من عنصر واحد${\displaystyle \{\alpha \}}$مستقل جبريًا على${\displaystyle K}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \alpha }$هو متعالٍ على${\displaystyle K}$بشكل عام، أي عنصر من مجموعة مستقلة جبريًا${\displaystyle S}$زيادة${\displaystyle K}$هو بالضرورة متعالٍ على${\displaystyle K}$وعلى امتداد جميع الحقول التابعة لـ${\displaystyle K}$تم توليدها بواسطة العناصر المتبقية من${\displaystyle S}$.

الأرقام الحقيقية${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$و${\displaystyle 2\pi +1}$هي أعداد متسامية : فهي ليست جذور أي متعددة حدود غير تافهة معاملاتها أعداد نسبية . وبالتالي، فإن المجموعات${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }}\}}$و${\displaystyle \{2\pi +1\}}$كلاهما مستقلان جبريًا على الأعداد النسبية.

ومع ذلك، فإن المجموعة${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}$لا يكون مستقلاً جبرياً على الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$لأن متعددة الحدود غير التافهة

${\displaystyle P(x,y)=2x^{2}-y+1}$

يساوي صفرًا عندما${\displaystyle x={\sqrt {\pi }}}$و${\displaystyle y=2\pi +1}$.

على الرغم من أن π و e عددان متساميان، فإنه من غير المعروف ما إذا كان${\displaystyle \{\pi ,e\}}$مستقل جبريًا على${\displaystyle \mathbb {Q} }$[ ^{1 ]} في الواقع، ليس من المعروف حتى ما إذا ^كان${\displaystyle \pi +e}$غير منطقي. ^{[ 2 ]} أثبت نيستيرينكو في عام 1996 أن:

• الأرقام${\displaystyle \pi }$،${\displaystyle e^{\pi }}$، و${\displaystyle \Gamma (1/4)}$، أين${\displaystyle \Gamma }$دالة غاما ، مستقلة جبريًا على${\displaystyle \mathbb {Q} }$[ ^{3 ]​}
• الأرقام${\displaystyle \pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}}}$، و${\displaystyle \Gamma (1/3)}$مستقلة جبريًا على${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• لكل عدد صحيح موجب n ، الأعداد${\displaystyle \pi }$و${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$مستقلة جبريًا على${\displaystyle \mathbb {Q} .}$^{[ 4 ]}

يمكن استخدام نظرية ليندمان -فايرشتراس غالبًا لإثبات أن بعض المجموعات مستقلة جبريًا على${\displaystyle \mathbb {Q} }$ينص على أنه كلما${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$هي أعداد جبرية مستقلة خطيًا على${\displaystyle \mathbb {Q} }$، ثم${\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}}$كما أنها مستقلة جبريًا على${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

من شأن حدسية شانويل أن تثبت الاستقلال الجبري للعديد من الأعداد، بما في ذلك π و e ، لكنها لا تزال غير مثبتة:

يترك${\displaystyle \{z_{1},...,z_{n}\}}$أي مجموعة من${\displaystyle n}$الأعداد المركبة المستقلة خطيًا على${\displaystyle \mathbb {Q} }$امتداد الحقل${\displaystyle \mathbb {Q} (z_{1},...,z_{n},e^{z_{1}},...,e^{z_{n}})}$يتمتع بدرجة التسامي على الأقل${\displaystyle n}$زيادة${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

بافتراض امتداد الحقل${\displaystyle L/K}$إذا لم يكن ذلك جبريًا، فيمكن استخدام ليمّة زورن لإثبات أنه يوجد دائمًا مجموعة جزئية مستقلة جبريًا قصوى من${\displaystyle L}$زيادة${\displaystyle K}$علاوة على ذلك، فإن جميع المجموعات الفرعية المستقلة جبريًا القصوى لها نفس العددية ، والمعروفة باسم درجة التجاوز للامتداد.

لكل مجموعة منتهية${\displaystyle S}$من عناصر${\displaystyle L}$، المجموعات الفرعية المستقلة جبريًا من${\displaystyle S}$تحقق البديهيات التي تُعرّف المجموعات المستقلة في الماترويد . في هذا الماترويد، رتبة مجموعة من العناصر هي درجة تجاوزها، والمسطح الناتج عن مجموعة${\displaystyle T}$تقاطع العناصر${\displaystyle L}$مع المجال${\displaystyle K[T]}$يُطلق على الماترويد الذي يمكن توليده بهذه الطريقة اسم الماترويد الجبري . لا توجد خصائص محددة للماترويدات الجبرية، ولكن من المعروف أن بعض الماترويدات غير جبرية؛ وأصغرها ماترويد فاموس . ^{[ 5 ]}

يمكن تمثيل العديد من المصفوفات المحدودة بواسطة مصفوفة على حقل${\displaystyle K}$حيث تتوافق عناصر الماترويد مع أعمدة المصفوفة، وتكون مجموعة من العناصر مستقلة إذا كانت مجموعة الأعمدة المقابلة مستقلة خطيًا . يمكن أيضًا تمثيل كل ماترويد ذي تمثيل خطي من هذا النوع على أنه ماترويد جبري، وذلك باختيار متغير غير محدد لكل صف من صفوف المصفوفة، وباستخدام معاملات المصفوفة داخل كل عمود لتعيين توليفة خطية من هذه المتغيرات المتسامية لكل عنصر من عناصر الماترويد. والعكس صحيح: ليس لكل ماترويد جبري تمثيل خطي. ^{[ 6 ]}

• الاستقلال الخطي
• العدد المتسامي
• نظرية ليندمان – فايرستراس
• تخمين شانويل

• تشين، جوني. "مستقل جبريًا" . عالم الرياضيات .