Algebraic element

In mathematics, if A is an associative algebra over K, then an element a of A is an algebraic element over K, or just algebraic overK, if there exists some non-zero polynomial${\displaystyle g(x)\in K[x]}$ with coefficients in K such that g(a) = 0.^[1] Elements of A that are not algebraic over K are transcendental overK. A special case of an associative algebra over ${\displaystyle K}$ is an extension field${\displaystyle L}$ of ${\displaystyle K}$. If all elements of ${\displaystyle L}$ are algebraic over ${\displaystyle K}$, then ${\displaystyle L/K}$ is called an algebraic extension.

These notions generalize the algebraic numbers and the transcendental numbers (where the field extension is C/Q, with C being the field of complex numbers and Q being the field of rational numbers).

• The square root of 2 is algebraic over Q, since it is the root of the polynomial g(x) = x² − 2 whose coefficients are rational.
• Pi is transcendental over Q but algebraic over the field of real numbersR: it is the root of g(x) = x − π, whose coefficients (1 and −π) are both real, but not of any polynomial with only rational coefficients. (The definition of the term transcendental number uses C/Q, not C/R.)
• An indeterminatex in a field K(x) of rational functions or K((x)) of formal Laurent series is defined to be transcendental over K.
• Algebraic functions are the algebraic elements over a field of rational functions K(x₁, ..., x_m).

The following conditions are equivalent for an element ${\displaystyle a}$ of an extension field ${\displaystyle L}$ of ${\displaystyle K}$:

• ${\displaystyle a}$ is algebraic over ${\displaystyle K}$,
• the field extension ${\displaystyle K(a)/K}$هو جبري، أي كل عنصر من${\displaystyle K(a)}$هو جبري على${\displaystyle K}$(هنا${\displaystyle K(a)}$يشير إلى أصغر حقل فرعي من${\displaystyle L}$يحتوي على${\displaystyle K}$و${\displaystyle a}$)
• توسيع الحقل${\displaystyle K(a)/K}$له درجة محدودة، أي بُعد${\displaystyle K(a)}$كـ${\displaystyle K}$- الفضاء المتجهي محدود،
• ${\displaystyle K[a]=K(a)}$، أين${\displaystyle K[a]}$هي مجموعة جميع عناصر${\displaystyle L}$يمكن كتابة ذلك بالشكل التالي${\displaystyle g(a)}$باستخدام متعدد الحدود${\displaystyle g}$التي تقع معاملاتها في${\displaystyle K}$.

ولتوضيح ذلك بشكل أكبر، انظر إلى تقييم كثير الحدود${\displaystyle \varepsilon _{a}:K[X]\rightarrow K(a),\,P\mapsto P(a)}$هذا تماثل ، ونواته هي${\displaystyle \{P\in K[X]\mid P(a)=0\}}$. لو${\displaystyle a}$إذا كان هذا المثالي جبريًا، فإنه يحتوي على كثيرات حدود غير صفرية، ولكن بما أن${\displaystyle K[X]}$هو مجال إقليدي ، ويحتوي على متعدد حدود فريد${\displaystyle p}$بدرجة دنيا ومعامل رئيسي${\displaystyle 1}$، والذي بدوره يُولّد المثالي ويجب أن يكون غير قابل للاختزال . متعددة الحدود${\displaystyle p}$يُطلق عليه اسم متعددة الحدود الدنيا لـ${\displaystyle a}$وهي تتضمن العديد من الخصائص المهمة لـ${\displaystyle a}$ومن ثمّ تماثل الحلقة${\displaystyle K[X]/(p)\rightarrow \mathrm {im} (\varepsilon _{a})}$إن النتيجة التي تم الحصول عليها من خلال نظرية التشاكل هي تماثل بين الحقول، حيث يمكننا حينها ملاحظة أن${\displaystyle \mathrm {im} (\varepsilon _{a})=K(a)}$. خلاف ذلك،${\displaystyle \varepsilon _{a}}$هي دالة أحادية، وبالتالي نحصل على تماثل حقلي${\displaystyle K(X)\rightarrow K(a)}$، أين${\displaystyle K(X)}$هو مجال كسور${\displaystyle K[X]}$أي حقل الدوال الكسرية على${\displaystyle K}$، وذلك بفضل الخاصية العامة لحقل الكسور. يمكننا أن نستنتج أنه في أي حال، نجد تماثلاً.${\displaystyle K(a)\cong K[X]/(p)}$أو${\displaystyle K(a)\cong K(X)}$يؤدي التحقيق في هذا البناء إلى النتائج المرجوة.

يمكن استخدام هذا التوصيف لإظهار أن مجموع وفرق وضرب وقسمة العناصر الجبرية على${\displaystyle K}$وهي جبرية مرة أخرى على${\displaystyle K}$. لأنه إذا${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$كلاهما جبري، إذن${\displaystyle (K(a))(b)}$هي محدودة. لأنها تحتوي على التوليفات المذكورة سابقًا من${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$، مجاورًا أحدها لـ${\displaystyle K}$كما ينتج عنه امتداد محدود، وبالتالي فإن هذه العناصر جبرية أيضًا. وهكذا، فإن مجموعة جميع عناصر${\displaystyle L}$التي هي جبرية على${\displaystyle K}$هو مجال يقع بين${\displaystyle L}$و${\displaystyle K}$.

تُسمى الحقول التي لا تسمح بوجود أي عناصر جبرية عليها (باستثناء عناصرها الخاصة) بالحقول المغلقة جبريًا . حقل الأعداد المركبة مثال على ذلك.${\displaystyle L}$إذا كانت المجموعة مغلقة جبريًا، فإن حقل العناصر الجبرية لـ${\displaystyle L}$زيادة${\displaystyle K}$هي مجموعة مغلقة جبريًا، ويمكن إثبات ذلك مباشرةً باستخدام خصائص الامتدادات الجبرية البسيطة المذكورة أعلاه. ومن الأمثلة على ذلك حقل الأعداد الجبرية .

• الإغلاق الجبري
• الاستقلال الجبري
• عنصر متكامل

• لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الثالثة المنقحة  )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-95385-4، MR 1878556 ، Zbl 0984.00001