من شبه المؤكد

الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات ، يُقال إن حدثًا ما يقع شبه مؤكد (يُختصر أحيانًا بـ μ ) إذا وقع باحتمال 1 (بالنسبة لمقياس الاحتمال). [ 1 ] بعبارة أخرى، فإن مجموعة النتائج التي لا يقع فيها الحدث لها احتمال 0، حتى وإن لم تكن المجموعة فارغة. يُشابه هذا المفهوم مفهوم " شبه مؤكد " في نظرية القياس . في التجارب الاحتمالية على فضاء عينة محدود باحتمال غير صفري لكل نتيجة، لا يوجد فرق بين شبه مؤكد ومؤكد ( لأن احتمال 1 يستلزم تضمين جميع نقاط العينة )؛ ومع ذلك، يصبح هذا التمييز مهمًا عندما يكون فضاء العينة مجموعة غير منتهية ، [ 2 ] لأن المجموعة غير المنتهية يمكن أن تحتوي على مجموعات جزئية غير فارغة باحتمال 0.

من أمثلة استخدام هذا المفهوم: الصيغتان القوية والموحدة لقانون الأعداد الكبيرة ، واستمرارية مسارات الحركة البراونية ، ونظرية القرد اللانهائي . كما يُستخدم مصطلحا "شبه مؤكد" (ac) و "شبه دائم" (aa). أما "شبه مستحيل" فيصف عكس " شبه مؤكد" : فالحدث الذي يقع باحتمالية صفرية يكاد يكون مستحيلاً . [ 3 ]

التعريف الرسمي

يترك(Ω،F،P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}ليكن فضاء احتمالي . حدثهـ∈F{\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}يحدث ذلك بشكل شبه مؤكد إذاP(هـ)=1{\displaystyle P(E)=1}أو بعبارة أخرى،هـ{\displaystyle E}يحدث ذلك بشكل شبه مؤكد إذا كان احتمالهـ{\displaystyle E}عدم حدوثه يساوي صفرًا :P(هـج)=0{\displaystyle P(E^{C})=0}وبشكل أعم، أي مجموعةهـ⊆Ω{\displaystyle E\subseteq \Omega }(ليس بالضرورة فيF{\displaystyle {\mathcal {F}}}يحدث هذا على الأرجح إذاهـج{\displaystyle E^{C}}يحتوي على مجموعة فارغة : مجموعة جزئيةشمال{\displaystyle N}فيF{\displaystyle {\mathcal {F}}}بحيثP(شمال)=0{\displaystyle P(N)=0}[ 4 ] يعتمد مفهوم شبه اليقين على مقياس الاحتماليةP{\displaystyle P}إذا كان من الضروري التأكيد على هذا الترابط، فمن المعتاد القول إن الحدثهـ{\displaystyle E}يحدث P - بشكل شبه مؤكد، أو بشكل شبه مؤكد(P){\displaystyle \left(\!P\right)}.

أمثلة توضيحية

بشكل عام، يمكن أن يحدث حدث ما "بشكل شبه مؤكد"، حتى لو كانت مساحة الاحتمالات المعنية تتضمن نتائج لا تنتمي إلى الحدث - كما توضح الأمثلة التالية.

رمي السهام

مثال على ذلك هو رمي سهم على مربع مساحته وحدة واحدة (مربع مساحته 1 ) بحيث يصيب السهم نقطة محددة داخل المربع، مع تساوي احتمالية إصابة أي نقطة فيه. بما أن مساحة المربع تساوي 1، فإن احتمال إصابة السهم لأي جزء منه يساوي مساحة ذلك الجزء. على سبيل المثال، احتمال إصابة السهم للنصف الأيمن من المربع هو 0.5، لأن مساحة النصف الأيمن تساوي 0.5.

إن احتمال إصابة السهم لنقطة معينة في أقطار المربع ذي الوحدة يساوي صفرًا، لأن مساحة أقطار المربع تساوي صفرًا. أي أن السهم لن يهبط على قطر تقريبًا (وبالتالي، من شبه المؤكد أنه لن يهبط على قطر)، على الرغم من أن مجموعة النقاط على الأقطار ليست فارغة، وأن احتمال وقوع نقطة على قطر لا يقل عن احتمال وقوع أي نقطة أخرى.

رمي قطعة نقدية بشكل متكرر

مثال آخر هو رمي عملة معدنية (قد تكون متحيزة)، وهو ما يتوافق مع فضاء الاحتمالات.({ح،تي}،2{ح،تي}،P){\displaystyle (\{H,T\},2^{\{H,T\}},P)}، حيث الحدث{ح}{\displaystyle \{H\}}يحدث ذلك إذا انقلبت الصورة، و{تي}{\displaystyle \{T\}}إذا ظهرت الكتابة. بالنسبة لهذه العملة تحديدًا، يُفترض أن احتمال ظهور الصورة هوP(ح)=ص∈(0،1){\displaystyle P(H)=p\in (0,1)}ومن ثمّ يتبين أن الحدث المكمل، وهو ظهور صورة الوجه، له احتمالP(تي)=1-ص{\displaystyle P(T)=1-p}.

أُجريت تجربة حيث تم رمي العملة المعدنية بشكل متكرر، وكانت النتائجX1،X2،...{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }والافتراض بأن نتيجة كل رمية مستقلة عن جميع النتائج الأخرى (أي أنها مستقلة وموزعة بشكل متطابق ؛ iid ).

في هذه الحالة، أي سلسلة لانهائية من الصور والكتابة هي نتيجة محتملة للتجربة. مع ذلك، فإن أي سلسلة لانهائية محددة من الصور والكتابة لديها احتمال صفري أن تكون النتيجة الدقيقة للتجربة (اللانهائية). هذا لأن فرضية الاستقلال والتوزيع المتطابق تعني أن احتمال ظهور جميع الصور عند قلب العملة يساوي صفرًا.ن{\displaystyle n}التقلبات هي ببساطةP(Xأنا=ح، أنا=1،2،...،ن)=(P(X1=ح))ن=صن{\displaystyle P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}}تأجيرن→∞{\displaystyle n\rightarrow \infty }ينتج عنه 0، لأنص∈(0،1){\displaystyle p\in (0,1)}بافتراض ذلك، ستكون النتيجة هي نفسها بغض النظر عن مدى انحياز العملة نحو الصورة، طالما أنص{\displaystyle p}تقع القيمة بدقة بين 0 و1. في الواقع، تنطبق النتيجة نفسها حتى في التحليل غير القياسي - حيث يُسمح بالاحتمالات المتناهية الصغر. [ 5 ]

علاوة على ذلك، فإن الحدث "يحتوي تسلسل الرميات على رمية واحدة على الأقلتي{\displaystyle T}سيحدث ذلك أيضًا بشكل شبه مؤكد (أي باحتمالية 1). إذا توقف تقليب الورق بعد فترة زمنية محددة، ولتكن مليون تقليبة، بدلًا من عدد لا نهائي من التقليبات، فإن احتمال الحصول على سلسلة من جميع الصور،ص1،٠٠٠،٠٠٠{\displaystyle p^{1,000,000}}لن تكون القيمة صفرًا بعد الآن، بينما تزداد احتمالية الحصول على ذيل واحد على الأقل.1-ص1،٠٠٠،٠٠٠{\displaystyle 1-p^{1,000,000}}، لن يكون 1 بعد الآن (أي أن الحدث لم يعد شبه مؤكد).

شبه مؤكد تقريبًا

في التحليل التقاربي ، يُقال إن خاصية ما تتحقق تقاربياً شبه مؤكد (aas) إذا كان احتمالها يتقارب إلى 1 على سلسلة من المجموعات. وهذا يُكافئ التقارب في الاحتمال . على سبيل المثال، في نظرية الأعداد، يكون العدد الكبير مركباً تقاربياً شبه مؤكد ، وفقاً لنظرية الأعداد الأولية ؛ وفي نظرية الرسوم البيانية العشوائية ، فإن العبارة "جي(ن،صن){\displaystyle G(n,p_{n})}متصل " ( حيثجي(ن،ص){\displaystyle G(n,p)}يشير إلى الرسوم البيانية علىن{\displaystyle n}الرؤوس ذات احتمالية الحافةص{\displaystyle p}) يكون صحيحًا عندما، بالنسبة لبعضε>0{\displaystyle \varepsilon >0}

صن>(1+ε)ln⁡نن.{\displaystyle p_{n}>{\frac {(1+\varepsilon )\ln n}{n}}.}   [ 6 ]

في نظرية الأعداد ، يُشار إلى هذا بمصطلح " جميع الأعداد تقريبًا "، كما في "جميع الأعداد تقريبًا مركبة". وبالمثل، في نظرية الرسوم البيانية، يُشار إلى هذا أحيانًا بمصطلح "مؤكد تقريبًا". [ 7 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ وايسشتاين، إريك و. "على الأرجح" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16-11-2019 .
  2. ↑ "تقريبًا بالتأكيد - مركز الرياضيات" . mathcentral.uregina.ca . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16-11-2019 .
  3. ↑ غرادل، إريك؛ كولايتيس، فوكيون ج.؛ ليبكين، ليونيد ؛ ماركس، مارتن؛ سبنسر، جويل؛ فاردي، موشيه ي.؛ فينيما، يدي؛ وينشتاين، سكوت (2007). نظرية النموذج المحدود وتطبيقاتها . سبرينغر. ص 232. ISBN  978-3-540-00428-8.
  4. ^ جاكود، جان؛ بروتر (2004). أساسيات الاحتمال . سبرينغر. ص. 37 . رقم ISBN  978-3-540-438717.
  5. ↑ ويليامسون، تيموثي (2007-07-01). "ما مدى احتمالية ظهور سلسلة لانهائية من الصور؟" . التحليل . 67 (3): 173-180 . doi : 10.1093/analys/67.3.173 . ISSN 0003-2638 . 
  6. ↑ فريدغوت، إيهود؛ رودل، فويتش؛ روسينسكي، أندريه؛ تيتالي، براساد (يناير 2006). "عتبة حادة للرسوم البيانية العشوائية ذات المثلث أحادي اللون في كل تلوين للحواف". مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية . 179 (845). مكتبة الجمعية الرياضية الأمريكية: 3-4 . doi : 10.1090/memo/0845 . ISSN 0065-9266 . S2CID 9143933 .  
  7. ↑ سبنسر، جويل هـ. (2001). "0. مثالان تمهيديان" . المنطق الغريب للرسوم البيانية العشوائية . الخوارزميات والتوافقية. المجلد 22. سبرينغر. ص 4. ISBN   978-3540416548.

مراجع

  • روغرز، إل سي جي؛ ويليامز، ديفيد (2000). الانتشار، وعمليات ماركوف، والمارتينجالات . المجلد  1: الأسس. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521775946.
  • ويليامز، ديفيد (1991). الاحتمالات مع المارتينجالات . كتب كامبريدج الرياضية. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521406055.