الارتفاع (مثلث)

لأي مثلث بأضلاع a و b و c ونصف محيطه${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$الارتفاع من الجانب أ (القاعدة) يُعطى بواسطة

${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}{a}}.}$

ينتج هذا عن دمج صيغة هيرون لحساب مساحة المثلث بدلالة أضلاعه مع صيغة المساحة.${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\text{base}}\times {\text{height}},}$حيث تعتبر القاعدة هي الضلع a والارتفاع هو الارتفاع من الرأس A (الضلع المقابل a ).

عن طريق استبدال a في المقام بـ b أو c ، يمكن استخدام هذه المعادلة أيضًا لإيجاد الارتفاعات h _b و h _c ، على التوالي.

أي ارتفاعين في المثلث يتناسبان عكسياً مع الضلعين اللذين يقعان عليهما.

لنفترض مثلثًا عشوائيًا بأضلاع a و b و c وارتفاعات مقابلة h _a و h _b و h _c . ترتبط الارتفاعات ونصف قطر الدائرة الداخلية r بالعلاقة ^{[ 3 ] : اللمة 1}

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}$

إذا رمزنا للارتفاع من أحد أضلاع المثلث بـ h _a ، والضلعين الآخرين بـ b و c ، ونصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث بـ R ، فإن الارتفاع يُعطى بواسطة ^{[ 4 ].}

${\displaystyle h_{a}={\frac {bc}{2R}}.}$

إذا كانت p ₁ و p ₂ و p ₃ هي المسافات العمودية من أي نقطة P إلى الجوانب، و h ₁ و h ₂ و h ₃ هي الارتفاعات إلى الجوانب المعنية، فإن ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.}$

إذا رمزنا لارتفاعات أي مثلث من الأضلاع أ، ب، ج على التوالي بـ h _{_a} ، h_{_b} ، h_{_c} ، ونصف مجموع مقلوبات هذه الارتفاعات بـ${\displaystyle \textstyle H={\tfrac {1}{2}}(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})}$إذن فإن مقلوب المساحة هو ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

إذا كانت E أي نقطة على الارتفاع AD لأي مثلث △ ABC ، فإن ^{[ 7 ] : 77-78}

${\displaystyle {\overline {AC}}^{2}+{\overline {EB}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {CE}}^{2}.}$

بما أن مساحة المثلث هي${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ah_{a}={\tfrac {1}{2}}bh_{b}={\tfrac {1}{2}}ch_{c}}$متباينة المثلث${\displaystyle a<b+c}$يشير ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}<{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}$.