تطبيق الوظيفة

في الرياضيات ، يُعرف تطبيق الدالة (أو تقييمها ) بأنه عملية أخذ دالة ومدخل من مجالها للحصول على القيمة المقابلة من مداها . وبهذا المعنى، يمكن اعتبار تطبيق الدالة نقيضًا لتجريد الدالة . ^{[ 1 ]}

يُعدّ هذا المفهوم أساسيًا في لغات البرمجة المشتقة من حساب لامدا ، مثل LISP و Scheme ، وكذلك في اللغات الوظيفية . وله دورٌ في دراسة الدلالات التفسيرية لبرامج الحاسوب، لأنه دالة متصلة على الترتيبات الجزئية الكاملة . كما أن تطبيق الدوال دالة متصلة في نظرية التماثل ، بل إنه يُشكّل أساس النظرية بأكملها: فهو يسمح برؤية تشويه التماثل كمسار متصل في فضاء الدوال. وبالمثل، يمكن اعتبار الطفرات (إعادة هيكلة) الصحيحة لبرامج الحاسوب بمثابة تلك "المتصلة" في طوبولوجيا سكوت .

يُصوَّر تطبيق الدالة عادةً بوضع المتغير الذي يُمثل الدالة بجانب وسيطها بين قوسين . على سبيل المثال، يُمثل التعبير التالي تطبيق الدالة ƒ على وسيطها x .

${\displaystyle f(x)}$

في بعض الحالات، يُستخدم ترميز مختلف حيث لا تكون الأقواس مطلوبة، ويمكن التعبير عن تطبيق الدالة بمجرد وضعها جنبًا إلى جنب . على سبيل المثال، يمكن اعتبار التعبير التالي مماثلاً للتعبير السابق:

${\displaystyle f\;x}$

تُعدّ الصيغة الأخيرة مفيدة بشكل خاص عند دمجها مع تماثل التقسيم الجزئي . بالنظر إلى دالة${\displaystyle f:(X\times Y)\to Z}$، ويتم تمثيل تطبيقها على النحو التالي${\displaystyle f(x,y)}$بالصيغة السابقة و${\displaystyle f\;(x,y)}$(أو${\displaystyle f\;\langle x,y\rangle }$مع الحجة${\displaystyle \langle x,y\rangle \in X\times Y}$مكتوبة باستخدام الأقواس الزاوية الأقل شيوعًا) بواسطة الأخير. ومع ذلك، فإن الدوال في شكلها المُقَيَّد${\displaystyle f:X\to (Y\to Z)}$يمكن تمثيل ذلك من خلال مقارنة حججهم:${\displaystyle f\;x\;y}$بدلاً من${\displaystyle f(x)(y)}$يعتمد هذا على أن يكون تطبيق الدالة ترابطيًا من اليسار .

عندما يتم تمثيل الترميز الرياضي في مستند رقمي، يمكن استخدام أحرف Unicode غير المرئية ذات العرض الصفري U+2061 FUNCTION APPLICATION و U+2062 INVISIBLE TIMES للتمييز بين معنى التسلسل الذي يعني تطبيق الدالة ومعنى التسلسل الذي يعني الضرب.

يمكن تعريف تطبيق الدالة كعامل تشغيل يسمى تطبيق أو${\displaystyle \$}$، وفقًا للتعريف التالي:

${\displaystyle f\mathop {\,\$\,} x=f(x)}$

يمكن أيضًا الإشارة إلى المعامل بعلامة اقتباس معكوسة (`).

إذا كان من المفهوم أن عامل التشغيل ذو أولوية منخفضة وتجميع من اليمين ، فيمكن استخدام عامل التطبيق لتقليل عدد الأقواس المطلوبة في التعبير. على سبيل المثال؛

${\displaystyle f(g(h(j(x))))}$

يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle f\mathop {\,\$\,} g\mathop {\,\$\,} h\mathop {\,\$\,} j\mathop {\,\$\,} x}$

ويمكن التعبير عن ذلك بشكل مكافئ باستخدام تركيب الدوال كما يلي:

${\displaystyle (f\circ g\circ h\circ j)(x)}$

أو حتى:

${\displaystyle (f\circ g\circ h\circ j\circ x)()}$

إذا أخذنا في الاعتبار${\displaystyle x}$أن تكون دالة ثابتة تُرجع${\displaystyle x}$.

في نظرية المجموعات البديهية ، وخاصة نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، الدالة${\displaystyle f:D\mapsto R}$غالباً ما يُعرَّف بأنه علاقة (${\displaystyle f\subseteq D\times R}$) التي تتمتع بالخاصية التي، لأي${\displaystyle x\in D}$هناك شيء فريد${\displaystyle y\in R}$بحيث${\displaystyle (x,y)\in f}$.

لا يكتفي المرء عادةً بكتابة "${\displaystyle (x,y)\in f}$"لتحديد ذلك"${\displaystyle y}$وعادةً ما يرغب في استخدام صيغة الدالة الأكثر شيوعًا "${\displaystyle f(x)=y}$" . تطبيق الدالة، أو بشكل أكثر تحديدًا، الترميز "${\displaystyle f(x)}$لا يوجد الرمز "" في التوقيع المعتاد لنظرية المجموعات، ولكن يمكن إضافته إلى النظرية كرمز دالة ثنائية${\displaystyle \bullet (\bullet )}$إذا رغبت في ذلك دون أي فقدان للتعبيرية عن طريق تحديد: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle X(Y)=\left\{{\begin{array}{lll}z&{\text{إذا كانت }}X{\text{ دالة، و }}(Y,z)\in X\\\varnothing &{\text{فيما عدا ذلك}}\\\end{array}}\right.}$$

أو بصورة أكثر رسمية: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

$${\displaystyle X(Y)=z\iff (\exists D,R(X\in R^{D}\land ((Y,z)\in X)))\lor (\forall D,R(X\notin R^{D}\lor (Y,z)\notin X)\land z=\varnothing ),}$$

أين${\displaystyle R^{D}}$يشير إلى مجموعة الأسية : مجموعة جميع الدوال من${\displaystyle D}$ل${\displaystyle R}$.

في النثر:${\displaystyle X(Y)=z}$إذا كان هناك مجال${\displaystyle D}$والمدى${\displaystyle R}$بحيث${\displaystyle X}$هي دالة من${\displaystyle D}$ل${\displaystyle R}$و${\displaystyle (Y,z)\in X}$أو (نفي السابق) و${\displaystyle z=\varnothing .}$اختيار استخدام المجموعة الفارغة${\displaystyle \varnothing }$متى${\displaystyle X(Y)}$إن عدم التعريف هو أمر اعتباطي لضمان أن تكون الرموز محددة لمجال الخطاب بأكمله . ^{[ 5 ]}

لو${\displaystyle \Psi (X,Y,z)}$يشير إلى الصيغة الموجودة على الجانب الأيمن من العبارة الشرطية الثنائية أعلاه، لأي مجموعتين،${\displaystyle X,Y}$الصيغة${\displaystyle \Psi }$يربط كائنًا فريدًا${\displaystyle z}$:${\displaystyle \forall X,Y\,\exists !z\,\Psi (X,Y,z)}$لذلك، يمكن للغة نظرية المجموعات أن تستخدم امتدادًا بحكم تعريفها لتشمل عملية تطبيق الدالة.${\displaystyle \bullet (\bullet )}$بشكل متحفظ .

في برمجة الحاسوب، يشير تطبيق الوظيفة غالبًا إلى استدعاء أو تنفيذ إجراء، بدلاً من وظيفة رياضية حقيقية (انظر الوظائف في برمجة الحاسوب )، مع قواعد مماثلة لسلوكها.

يتوافق تطبيق الدالة مع تقليل بيتا في حساب التفاضل والتكامل لامدا .

( تطبيق #' + ( القائمة 1 2 ))

( تطبيق + ( القائمة 1 2 ))

دالة متغيرة ( مصفوفة من الوسائط )؛

الدالة < T , R >

R تطبيق ( T فقرة )

s := [] سلسلة { "foo" , "bar" } variadicFunc ( s ... )

func.apply ( null , args ) ;​

دالة تطبيق ( f ,...) تُرجع f (...) نهاية

# استدعاءات الروتين الفرعي المكافئة: @args = ( @some_args , @more_args ); func ( @args );func ( @some_args , @more_args );

call_user_func_array ( 'func_name' , $args );

دالة ( * args )

f ( x1 , x2 ) # يمكن أيضًا تنفيذها عبر do.call ( what = f , args = list ( x1 , x2 ))

قيمة الكتلة مع الوسائط : args

تطبيق الدالة ؟ الوسيط 1 الوسيط 2 ... ؟

لنفترض دالة${\displaystyle g:(X\times Y)\to Z}$، إنه،${\displaystyle g\in [(X\times Y)\to Z]}$حيث تدوين الأقواس${\displaystyle [A\to B]}$يرمز إلى فضاء الدوال من A إلى B. وبواسطة عملية التقييم الجزئي ، توجد دالة وحيدة${\displaystyle {\mbox{curry}}(g):X\to [Y\to Z]}$ثم يوفر تطبيق التشكل الشامل

${\displaystyle {\mbox{Apply}}:([Y\to Z]\times Y)\to Z}$،

لهذا السبب.

${\displaystyle {\mbox{Apply}}(f,y)=f(y)}$

أو، بصورة مكافئة، يكون لدينا مخطط التنقل

${\displaystyle {\mbox{Apply}}\circ \left({\mbox{curry}}(g)\times {\mbox{id}}_{Y}\right)=g}$

وبشكل أدق، فإن curry و apply هما دالتان مترافقتان .

الترميز${\displaystyle [A\to B]}$يُعدّ مفهوم فضاء الدوال من A إلى B أكثر شيوعًا في علوم الحاسوب. أما في نظرية الفئات ،${\displaystyle [A\to B]}$يُعرف باسم الكائن الأسي ، ويُكتب على النحو التالي:${\displaystyle B^{A}}$. هناك اختلافات أخرى شائعة في التدوين أيضًا؛ على سبيل المثال، غالبًا ما يطلق على Apply اسم Eval ، ^{[ 11 ]} على الرغم من أنه في علوم الكمبيوتر، فإنهما ليسا نفس الشيء، حيث يتم تمييز eval عن Apply ، باعتباره تقييم شكل السلسلة المقتبسة لدالة مع وسائطها، بدلاً من تطبيق دالة على بعض الوسائط.

أيضًا، في نظرية الفئات، يُشار إلى الكاري عادةً بـ${\displaystyle \lambda }$، لهذا السبب${\displaystyle \lambda g}$يُكتب هذا الرمز للدلالة على الكاري ( g ). ويتعارض هذا الترميز مع استخدام${\displaystyle \lambda }$في حساب التفاضل والتكامل اللامدا ، حيث يُستخدم الرمز لامدا للدلالة على المتغيرات المقيدة. مع مراعاة جميع هذه التغييرات في الرموز، يتم التعبير عن خاصية الترافق بين الدالتين Apply و curry في مخطط التبادل.

تُقدّم المقالات المتعلقة بالكائن الأسي والفئة المغلقة الديكارتية نقاشًا أكثر دقةً للصياغة النظرية للفئات لهذه الفكرة. لذا، فإن استخدام لامدا هنا ليس من قبيل الصدفة؛ فاللغة الداخلية للفئات المغلقة الديكارتية هي ببساطة حساب لامدا المُنمذج . أكثر الأطر العامة الممكنة لتطبيق الدالة Apply هي الفئات المونيدية المغلقة ، والتي تُعدّ الفئات المغلقة الديكارتية مثالًا عليها. في الجبر الهومولوجي ، يُعرف الترافق بين دالتي curry و apply باسم اقتران الموتر الهومولوجي .

في نظرية الترتيب ، ضمن فئة الترتيبات الجزئية الكاملة المزودة بطوبولوجيا سكوت ، تُعتبر كل من دالتي curry و apply دالتين متصلتين (أي أنهما متصلتان وفقًا لنظرية سكوت ). ^{[ 12 ]} تُسهم هذه الخاصية في ترسيخ صحة الأساس العلمي لدراسة الدلالات الدلالية لبرامج الحاسوب.

في الهندسة الجبرية ونظرية التماثل ، تُعتبر كل من دالتي curry و apply دالتين متصلتين عندما يكون الفضاء${\displaystyle Y^{X}}$من الدوال المتصلة من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Y}$تُعطى بنية مفتوحة مضغوطة ، و${\displaystyle X}$هي دالة هاوسدورف متراصة محلياً . هذه النتيجة مهمة للغاية، لأنها تدعم نظرية التماثل، مما يسمح بفهم التشوهات المتماثلة على أنها مسارات متصلة في فضاء الدوال.

تربط معادلة كاري -هوارد تطبيق الدالة بالقاعدة المنطقية للقياس المنطقي .

• استراتيجية التقييم
• التنفيذ (الحوسبة)
• تركيب الدوال
• التدوين البولندي