طوبولوجيا مفتوحة مضغوطة

في الرياضيات ، تُعرَّف الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة على مجموعة الدوال المتصلة بين فضاءين طوبولوجيين . وتُعدّ هذه الطوبولوجيا من أكثر الطوبولوجيات استخدامًا في فضاءات الدوال ، وتُطبَّق في نظرية التماثل والتحليل الوظيفي . وقد قدّمها رالف فوكس عام ١٩٤٥. ^[^١^]

إذا كان المجال المقابل للدوال قيد الدراسة ذا بنية منتظمة أو بنية مترية ، فإن طوبولوجيا الفضاء المفتوح المضغوط هي "طوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات المضغوطة ". أي أن متتالية من الدوال تتقارب في طوبولوجيا الفضاء المفتوح المضغوط تحديدًا عندما تتقارب بشكل منتظم على كل مجموعة جزئية مضغوطة من المجال . ^[²^]

تعريف

ليكن $X$ و $Y$ فضاءين طوبولوجيين ، ولتكن $C (X, Y)$ مجموعة جميع التطبيقات المتصلة بين $X$ و $Y.$ بفرض وجود مجموعة جزئية مضغوطة $K$ من $X$ ومجموعة جزئية مفتوحة $U$ من $Y$ ، ولتكن $V (K, U)$ مجموعة جميع الدوال $f$ $\in$ $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ بحيث $f$ $($ $K$ $) \subseteq$ $U.$ بعبارة أخرى $،$ $V(K,U)=C(K,U)\times _{C(K,Y)}C(X,Y)$ إذن، تُشكّل مجموعة جميع هذه العناصر $V (K, U)$ قاعدةً فرعيةً للطوبولوجيا المدمجة المفتوحة على $C (X, Y)$ . (لا تُشكّل هذه المجموعة دائمًا قاعدةً لطوبولوجيا على $C (X, Y)$ ).

عند العمل في فئة الفضاءات المولدة بشكل مضغوط ، من الشائع تعديل هذا التعريف بتقييده بالقاعدة الفرعية المُشكّلة من تلك الفضاءات $K$ التي تُمثّل صورة فضاء هاوسدورف مضغوط . بالطبع، إذا كان $X$ مُولّدًا بشكل مضغوط وهاوسدورف، فإن هذا التعريف يتطابق مع التعريف السابق. مع ذلك، يُعدّ التعريف المُعدّل بالغ الأهمية إذا أردنا أن تكون فئة فضاءات هاوسدورف الضعيفة المولدة بشكل مضغوط مغلقة ديكارتيًا ، من بين خصائص أخرى مفيدة. ^[³^]^[⁴^]^[⁵^] ينشأ الالتباس بين هذا التعريف والتعريف السابق من اختلاف استخدام كلمة " مضغوط" .

إذا كانت $X$ متراصة محلياً، فإن $X\times -$ ينتمي إلى فئة الفضاءات الطوبولوجية، وله دائمًا مرافق أيمن. $Hom(X,-)$ يتطابق هذا المرافق مع الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة، ويمكن استخدامه لتعريفها تعريفًا فريدًا. ويمكن اعتبار تعديل تعريف الفضاءات المولدة بشكل مدمج بمثابة أخذ المرافق الناتج في فئة الفضاءات المولدة بشكل مدمج بدلًا من فئة الفضاءات الطوبولوجية، مما يضمن وجود المرافق الأيمن دائمًا.

ملكيات

إذا كان $*$ فضاءً أحادي النقطة، فيمكن تعريف $C (*, Y)$ بأنه $Y$ ، وبناءً على هذا التعريف، تتطابق الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة مع الطوبولوجيا على $Y.$ وبشكل أعم، إذا كان $X$ فضاءً منفصلاً ، فيمكن تعريف $C (X, Y) بأنه$ حاصل الضرب الديكارتي لـ $| X |$ نسخة من $Y$ ، وتتطابق الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة مع طوبولوجيا الضرب .
إذا كانت $Y$ هي $T 0$ أو $T 1$ أو Hausdorff أو regular أو Tychonoff ، فإن الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة لها بديهية الفصل المقابلة .
إذا كانت $X$ مجموعة هاوسدورف و $S$ قاعدة فرعية لـ $Y$ ، فإن المجموعة ${V (K, U) : U \in S, K compact}$ هي قاعدة فرعية للطوبولوجيا المدمجة المفتوحة على $C (X, Y)$ . ^{[ 6 ]}
إذا كان $Y$ فضاءً متريًا (أو بشكل أعم، فضاءً منتظمًا )، فإن طوبولوجيا الفضاءات المدمجة المفتوحة تساوي طوبولوجيا التقارب المدمج . بعبارة أخرى، إذا كان $Y$ فضاءً متريًا، فإن المتتالية ${fₙ}$ تتقارب إلى $f$ في طوبولوجيا الفضاءات المدمجة المفتوحة إذا وفقط إذا كان لكل مجموعة جزئية مدمجة $K$ من $X$ ، تتقارب ${$ $fₙ$ $}$ بانتظام إلى $f$ على $K.$ إذا $كان X$ $مدمجًا$ و $Y فضاءً منتظمًا، فإن طوبولوجيا$ $الفضاءات$ المدمجة المفتوحة تساوي طوبولوجيا التقارب المنتظم .
إذا كانت $X و Y$ و $Z$ فضاءات طوبولوجية، مع كون $Y$ فضاء هاوسدورف مضغوط محليًا (أو حتى فضاء ما قبل منتظم مضغوط محليًا )، فإن خريطة التركيب $C (Y, Z) \times C (X, Y) \to C (X, Z)،$ المعطاة بواسطة $(f, g) \mapsto f \circ g ،$ تكون متصلة (هنا يتم إعطاء جميع فضاءات الدوال الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة ويتم إعطاء $C (Y, Z) \times C (X, Y)$ طوبولوجيا الضرب ).
إذا كان $X$ فضاءً هاوسدورف (أو فضاءً شبه منتظم) متراصًا محليًا، فإن دالة التقييم $e : C (X, Y) \times X \to Y$ ، المعرفة بالعلاقة $e (f, x) = f (x)$ ، تكون متصلة. ويمكن اعتبار هذا حالة خاصة من الحالة السابقة حيث يكون $X$ فضاءً أحادي النقطة.
إذا كان $X$ فضاءً متريًا، و $Y$ فضاءً متريًا بمقياس d $،$ فإنّ طوبولوجيا الفضاء المتراص المفتوح على $C (X, Y)$ قابلة للقياس ، ويُعطى مقياسها بالعلاقة $e (f, g) = sup {d (f (x), g (x)) : x \in X}،$ حيث $f$ $و$ $g$ ∈ $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ . وبشكل أعم، إذا كان $X$ فضاءً شبه متري ، و $Y$ فضاءً متريًا، فإنّ طوبولوجيا الفضاء المتراص المفتوح قابلة للقياس وفقًا للبنية المذكورة هنا .

التطبيقات

يمكن استخدام الطوبولوجيا المفتوحة المدمجة (أو تحويلها إلى k) لطوبولوجيا المجموعات التالية: ^{[ 7 ]}

$\Omega (X,x_{0})=\{f:I\to X\mid f(0)=f(1)=x_{0}\}$ ، مساحة الحلقة لـ $X$ في $x_{0}$ ،
$E(X,x_{0},x_{1})=\{f:I\to X\mid f(0)=x_{0}{\text{ and }}f(1)=x_{1}\}$ ،
$E(X,x_{0})=\{f:I\to X\mid f(0)=x_{0}\}$ .

بالإضافة إلى ذلك، يوجد تكافؤ تماثلي بين الفضاءات $C(\Sigma X,Y)\cong C(X,\Omega Y)$ حيث Σ هو التعليق المختزل . ^{[ 7 ]} الفضاءات الطوبولوجية $C(X,Y)$ تُعدّ هذه المفاهيم مفيدة في نظرية التماثل لأنها تُستخدم لتكوين فضاء طوبولوجي ونموذج لنوع التماثل لمجموعة فئات التماثل للتطبيقات. $\pi (X,Y)=\{[f]:X\to Y\mid f{\text{ هي فئة تماثلية}}\}.$ وذلك لأن $\pi (X,Y)$ هي مجموعة مكونات المسار في $C(X,Y)$ – أي أن هناك تماثلاً بين المجموعات $\pi (X,Y)\to C(I,C(X,Y))/{\sim },$ أين $\sim$ هو التكافؤ التماثلي.

وظائف فريشيه القابلة للتمييز

ليكن $X$ و $Y$ فضاءين من فضاءات باناخ معرفين على نفس الحقل ، ولتكن $C <sub>m</sub> (U, Y)$ مجموعة جميع الدوال القابلة للتفاضل من نوع فريشيه بشكل مستمر $من$ المجموعة المفتوحة $U$ $\subseteq$ $X$ إلى $Y.$ تُعرف الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة بالطوبولوجيا الأولية المستحثة بواسطة المعايير شبهية.

{\displaystyle p_{K}(f)=\sup \left\{\left\|D^{j}f(x)\right\|\

حيث $D 0 f (x) = f (x)$ ، لكل مجموعة فرعية مضغوطة $K \subseteq U$ .

انظر أيضاً

طوبولوجيا التقارب المنتظم
التقارب المنتظم – نمط تقارب متتالية الدوال

مراجع

↑ فوكس، رالف هـ. (1945). "حول الطوبولوجيا لفضاءات الدوال" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 51 (6): 429-433 . doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08370-0 .
↑ كيلي، جون ل. (1975). الطوبولوجيا العامة . سبرينغر-فيرلاغ. ص 230.
↑ ماكورد، إم سي (1969). "تصنيف الفضاءات والمنتجات المتناظرة اللانهائية" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 146 : 273-298 . doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251719-4 . JSTOR 1995173 .
↑ "دورة موجزة في الطوبولوجيا الجبرية" (PDF) .
↑ "المساحات المُولَّدة بشكل مضغوط" (ملف PDF) . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 2016-03-03 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2012-01-14 .
↑ جاكسون، جيمس ر. (1952). "فضاءات التطبيقات على المنتجات الطوبولوجية مع تطبيقات في نظرية التماثل" (ملف PDF) . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 3 (2): 327-333 . doi : 10.1090/S0002-9939-1952-0047322-4 . JSTOR 2032279 .
1 2 فومينكو، أناتولي؛ فوكس، ديمتري. الطوبولوجيا المتماثلة ( الطبعة الثانية). ص 20-23 .

دوجوندجي، ج. (1966). الطوبولوجيا . ألين وبيكون. ASIN B000KWE22K .
يا. فيرو، أو إيه إيفانوف، في إم خارلاموف وإن.يو. Netsvetaev (2007) كتاب مدرسي في مشاكل الطوبولوجيا الأولية .
"الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة" . PlanetMath .
الطوبولوجيا والمجموعات الجزئية، القسم 5.9، رونالد براون، 2006

[1] فوكس، رالف هـ. (1945). "حول الطوبولوجيا لفضاءات الدوال" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 51 (6): 429-433 . doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08370-0 .

[2] كيلي، جون ل. (1975). الطوبولوجيا العامة . سبرينغر-فيرلاغ. ص 230.

[3] ماكورد، إم سي (1969). "تصنيف الفضاءات والمنتجات المتناظرة اللانهائية" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 146 : 273-298 . doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251719-4 . JSTOR 1995173 .

[4] "دورة موجزة في الطوبولوجيا الجبرية" (PDF) .

[5] "المساحات المُولَّدة بشكل مضغوط" (ملف PDF) . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 2016-03-03 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2012-01-14 .

[6] جاكسون، جيمس ر. (1952). "فضاءات التطبيقات على المنتجات الطوبولوجية مع تطبيقات في نظرية التماثل" (ملف PDF) . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 3 (2): 327-333 . doi : 10.1090/S0002-9939-1952-0047322-4 . JSTOR 2032279 .

[:0-7] 1 2 فومينكو، أناتولي؛ فوكس، ديمتري. الطوبولوجيا المتماثلة ( الطبعة الثانية). ص 20-23 .

[

[

[

[

[

[ 6 ]