التجريد (الرياضيات)

التجريد في الرياضيات هو عملية استخلاص البنى أو الأنماط أو الخصائص الكامنة وراء مفهوم رياضي، وإزالة أي ارتباط له بأشياء من العالم الحقيقي التي ربما كان مرتبطًا بها في الأصل، وتعميمه بحيث يكون له تطبيقات أوسع أو يُطابق أوصافًا مجردة أخرى لظواهر مكافئة . [ ^{1 ] [ 2 ] [ 3 ] بعبارة} أخرى، أن تكون مجردًا يعني إزالة السياق والتطبيق. ^{[ 4 ]} يُعدّ كل من نظرية الفئات ونظرية النماذج من أكثر مجالات الرياضيات الحديثة تجريدًا .

بدأت العديد من فروع الرياضيات بدراسة مشاكل العالم الحقيقي، قبل تحديد القواعد والمفاهيم الأساسية وتعريفها كبنى مجردة . على سبيل المثال، تعود أصول الهندسة إلى حساب المسافات والمساحات في العالم الحقيقي، وبدأ الجبر بأساليب حل مسائل الحساب .

التجريد عملية مستمرة في الرياضيات، ويُظهر التطور التاريخي للعديد من المواضيع الرياضية انتقالًا من الملموس إلى المجرد. فعلى سبيل المثال، خطا الإغريق القدماء الخطوات الأولى في تجريد الهندسة، حيث تُعدّ عناصر إقليدس أقدم وثيقة باقية لمسلمات الهندسة المستوية، مع أن بروكلس يذكر وضع مسلمات سابقة على يد أبقراط الخيوسي . ^{[ 5 ]} وفي القرن السابع عشر، قدّم ديكارت الإحداثيات الديكارتية التي سمحت بتطوير الهندسة التحليلية . ثمّ خطا لوباتشيفسكي وبولياي وريمان وغوس خطوات أخرى في التجريد ، حيث عمّموا مفاهيم الهندسة لتطوير هندسات غير إقليدية . وفي وقت لاحق من القرن التاسع عشر، عمّم علماء الرياضيات الهندسة بشكل أكبر، فطوروا مجالات مثل الهندسة في فضاءات متعددة الأبعاد ، والهندسة الإسقاطية ، والهندسة الأفينية ، والهندسة المنتهية . وأخيرًا، حدد " برنامج إرلانجن " لفيلكس كلاين الموضوع الأساسي لجميع هذه الأشكال الهندسية، مُعرّفًا كلًا منها على أنها دراسة للخصائص الثابتة تحت مجموعة معينة من التناظرات . وقد كشف هذا المستوى من التجريد عن روابط بين الهندسة والجبر المجرد . ^{[ 6 ]}

في الرياضيات، يمكن أن يكون التجريد مفيدًا بالطرق التالية:

• يكشف ذلك عن روابط عميقة بين مختلف مجالات الرياضيات.
• يمكن أن تشير النتائج المعروفة في مجال ما إلى تخمينات في مجال آخر ذي صلة.
• يمكن تطبيق التقنيات والأساليب من مجال واحد لإثبات النتائج في مجالات أخرى ذات صلة.
• يمكن تعميم الأنماط من كائن رياضي واحد إلى كائنات أخرى مماثلة في نفس الفئة.

من جهة أخرى، قد يكون التجريد عيباً أيضاً، إذ يصعب تعلم المفاهيم المجردة للغاية. ^{[ 7 ]} وقد يتطلب استيعاب المفاهيم المجردة قدراً من النضج والخبرة الرياضية .

كتب برتراند راسل في كتابه "النظرة العلمية " (1931) أن "اللغة العادية غير مناسبة تمامًا للتعبير عما تؤكده الفيزياء حقًا، لأن كلمات الحياة اليومية ليست مجردة بما فيه الكفاية. الرياضيات والمنطق الرياضي فقط هما اللذان يمكنهما قول القليل مما يريد الفيزيائي قوله." ^{[ 8 ]}

• تفاصيل الملخص
• تعميم
• التفكير المجرد
• المنطق المجرد
• المنطق الجبري المجرد
• نظرية النموذج المجرد
• هراء مجرد
• مفهوم
• النضج الرياضي

• باجنوك، بيلا (2013). دعوة إلى الرياضيات التجريدية . سبرينغر. رقم ISBN 978-1-4614-6635-2.