ترتيب العمليات

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 15 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات وبرمجة الحاسوب ، فإن ترتيب العمليات هو مجموعة من الاتفاقيات حول العمليات الحسابية التي يجب إجراؤها أولاً من أجل تقييم تعبير رياضي معين .

تُصاغ هذه الاصطلاحات رسميًا بترتيب العمليات. يُسمى ترتيب العملية بأسبقيتها ، وتُنفذ العملية ذات الأسبقية الأعلى قبل العمليات ذات الأسبقية الأقل . تُنفذ الآلات الحاسبة عمومًا العمليات بنفس الأسبقية من اليسار إلى اليمين، [ 1 ] ولكن بعض لغات البرمجة والآلات الحاسبة تتبنى اصطلاحات مختلفة.

على سبيل المثال، تُعطى عملية الضرب أولوية أعلى من عملية الجمع، وقد كان هذا هو الحال منذ إدخال الترميز الجبري الحديث . [ 2 ] [ 3 ] وبالتالي، في التعبير 1 + 2 × 3 ، تُجرى عملية الضرب قبل عملية الجمع، ويكون للتعبير قيمة 1 + (2 × 3) = 7 ، وليس (1 + 2) × 3 = 9. عندما تم إدخال الأسس في القرنين السادس عشر والسابع عشر، أُعطيت لها الأولوية على كل من الجمع والضرب، ووُضعت كرقم مرفوع على يمين أساسها. [ 2 ] وبالتالي 3 + 5² = 28 و 3 × 5² = 75 .

توجد هذه الاصطلاحات لتجنب الغموض في الترميز مع الحفاظ على اختصاره. [ 4 ] عند الرغبة في تجاوز اصطلاحات الأسبقية، أو حتى لمجرد التأكيد عليها، يمكن استخدام الأقواس ( ). على سبيل المثال، (2 + 3) × 4 = 20 يُلزم بأن تسبق عملية الجمع عملية الضرب، بينما (3 + 5) ² = 64 يُلزم بأن تسبق عملية الجمع عملية الأسس . إذا تطلب التعبير الرياضي استخدام عدة أزواج من الأقواس (كما في حالة الأقواس المتداخلة)، فيمكن استبدال الأقواس بأنواع أخرى من المعقوفات لتجنب الالتباس، كما في [2 × (3 + 4)] − 5 = 9 .

لا تكون هذه الاصطلاحات ذات معنى إلا عند استخدام الترميز المعتاد (المسمى الترميز الوسطي ). أما عند استخدام الترميز الوظيفي أو البولندي لجميع العمليات، فإن ترتيب العمليات ينتج عن الترميز نفسه.

النظام التقليدي

ينتج ترتيب العمليات، أي الترتيب الذي تُنفذ به العمليات في التعبير عادةً، عن اصطلاح مُعتمد في الرياضيات والعلوم والتكنولوجيا والعديد من لغات برمجة الحاسوب . ويمكن تلخيصه كما يلي: [ 2 ] [ 5 ]

  1. الأقواس
  2. الأس
  3. الضرب والقسمة​
  4. الجمع والطرح​

هذا يعني أنه لتقييم تعبير ما، يُقيّم أولًا أي تعبير فرعي داخل الأقواس، بدءًا من الداخل إلى الخارج إذا كان هناك أكثر من مجموعة. سواءً أكانت داخل الأقواس أم لا، تُطبّق العملية الأعلى في القائمة أعلاه أولًا. تُقيّم العمليات ذات الأسبقية نفسها عادةً من اليسار إلى اليمين.

إذا استُبدلت كل عملية قسمة بضرب المعكوس ( الضرب العكسي)، فإن قانوني التجميع والتبديل في الضرب يسمحان بضرب عوامل كل حد معًا بأي ترتيب. أحيانًا تُعطى عمليتا الضرب والقسمة أسبقية متساوية، وأحيانًا تُعطى عملية الضرب أسبقية أعلى من عملية القسمة؛ انظر القسم § "  الضرب والقسمة المختلطان" أدناه. إذا استُبدلت كل عملية طرح بجمع المعكوس (الجمع العكسي)، فإن قانوني التجميع والتبديل في الجمع يسمحان بجمع الحدود بأي ترتيب.

الرمز الجذري ⁠√{\displaystyle \surd }يُمدد رمز الجذر التربيعي (⁠ ) تقليديًا بخط مستقيم ( الرابط ) فوق العدد تحت الجذر؛ مما يُغني عن استخدام الأقواس حوله. تستخدم دوال أخرى الأقواس حول المدخل لتجنب الالتباس. [ 6 ] [ 7 ] [ أ ] يمكن حذف الأقواس إذا كان المدخل متغيرًا عدديًا واحدًا أو ثابتًا، [ 2 ] كما في حالة sin x = sin( x ) و sin π = sin( π ) . [ أ ] يمتد هذا الاصطلاح تقليديًا إلى أحاديات الحدود ؛ وبالتالي، sin 3x = sin(3x ) وحتى sin ½ xy = sin( ½ xy ) ، ولكن sin x + y = sin ( x ) + y ، لأن x + y ليس أحادي حد . مع ذلك، لا يُفهم هذا الاصطلاح عالميًا، ويفضل بعض المؤلفين استخدام الأقواس الصريحة. [ ب ] تتطلب بعض الآلات الحاسبة ولغات البرمجة استخدام الأقواس حول مدخلات الدوال، بينما لا تتطلبها لغات أخرى.

يمكن استخدام الأقواس ورموز التجميع البديلة لتجاوز الترتيب المعتاد للعمليات أو لتوضيح الترتيب المقصود. ويمكن التعامل مع الرموز المجمعة كتعبير واحد. [ 2 ]

أمثلة

الضرب قبل الجمع:

1+2×3=1+6=7.{\displaystyle 1+2\times 3=1+6=7.}

يتم تقييم التعبيرات الفرعية بين قوسين أولاً:

(1+2)×3=3×3=9.{\displaystyle (1+2)\times 3=3\times 3=9.}

الأسس قبل الضرب، والضرب قبل الطرح:

1-2×34=1-2×81=1-162=-161.{\displaystyle 1-2\times 3^{4}=1-2\times 81=1-162=-161.}

عندما يُكتب التعبير كرمز مرتفع، يُعتبر الرمز المرتفع مُجمّعًا حسب موقعه فوق أساسه:

1+23+4=1+27=1+128=129.{\displaystyle 1+2^{3+4}=1+2^{7}=1+128=129.}

يتم تحديد معامل رمز الجذر بواسطة الخط العلوي:

1+3+5=4+5=2+5=7.{\displaystyle {\sqrt {1+3}}+5={\sqrt {4}}+5=2+5=7.}

يشكل الخط الكسري الأفقي تعبيرين فرعيين مجمعين، أحدهما في الأعلى مقسوم على الآخر في الأسفل:

1+23+4+5=37+5.{\displaystyle {\frac {1+2}{3+4}}+5={\frac {3}{7}}+5.}

يمكن تداخل الأقواس، ويجب تقييمها من الداخل إلى الخارج. ولتسهيل القراءة، يمكن جعل الأقواس الخارجية أكبر من الأقواس الداخلية. بدلاً من ذلك، تُستخدم أحيانًا رموز تجميع أخرى، مثل الأقواس المعقوفة { } أو الأقواس المربعة [ ] ، مع الأقواس ( ) . على سبيل المثال:

[(1+2)÷(3+4)]+5=(3÷7)+5{\displaystyle {\bigl [}(1+2)\div (3+4){\bigr ]}+5=(3\div 7)+5}

حالات خاصة

علامة الطرح الأحادية

توجد اصطلاحات مختلفة فيما يتعلق بالعملية الأحادية '−' (والتي تُنطق عادةً "ناقص"). في الرياضيات المكتوبة أو المطبوعة، يُفسَّر التعبير −3 2 على أنه يعني −(3 2 ) = −9 . [ 2 ] [ 8 ] 

في بعض التطبيقات ولغات البرمجة، ولا سيما مايكروسوفت إكسل (وغيرها من تطبيقات الجداول الإلكترونية)، تتمتع العمليات الأحادية بأولوية أعلى من العمليات الثنائية؛ أي أن عملية الطرح الأحادية لها أسبقية أعلى من عملية الأسس، لذا في تلك اللغات، سيتم تفسير −3 2 على أنها (−3) 2 = 9. [ 9 ] [ 10 ] لا ينطبق هذا على عملية الطرح الثنائية '−'؛ على سبيل المثال، في مايكروسوفت إكسل، تُرجع الصيغ =-2^2و =(-2)^2و و =0+-2^2القيمة 4، بينما تُرجع الصيغ =0-2^2و =-(2^2)القيمة −4.

القسمة والضرب المختلط

لا يوجد اتفاق عالمي لتفسير تعبير يحتوي على كل من القسمة (÷) والضرب (×). تشمل الاتفاقات المقترحة إعطاء العمليتين أولوية متساوية وتقييمهما من اليسار إلى اليمين، أو ما يعادل ذلك، معاملة القسمة كضرب في المقلوب ثم تقييمها بأي ترتيب؛ [ 11 ] أو تقييم جميع عمليات الضرب أولاً متبوعةً بعمليات القسمة من اليسار إلى اليمين؛ أو تجنب مثل هذه التعبيرات والاكتفاء بتوضيحها دائمًا باستخدام أقواس صريحة. [ 12 ]

بعد المرحلة الابتدائية، نادرًا ما يُستخدم رمز القسمة ÷، بل يُستعاض عنه بالكسور الجبرية . [ 13 ] تُكتب هذه الكسور بوضوح تام "عموديًا" حيث يكون البسط فوق المقام مفصولًا بخط الكسر. ولكن يمكن كتابتها أيضًا "أفقيًا" حيث يفصل بين البسط والمقام رمز الشرطة المائلة ÷. [ 14 ] أي أنه يتم تجنب تعابير مثل a ÷ b لصالح a ÷ b أو a ÷ b .

يُنشئ الضرب المُشار إليه بالتجاور (المعروف أيضًا بالضرب الضمني ) وحدةً بصريةً، وغالبًا ما يُعطى أولويةً أعلى من معظم العمليات الأخرى. في الأدبيات الأكاديمية، عند دمج الكسور المضمنة مع الضرب الضمني دون أقواس صريحة، يُفسَّر الضرب عادةً على أنه ذو أولوية أعلى من القسمة، بحيث يُفسَّر ، على سبيل المثال، 1 / 2n على أنه 1 / (2 · n ) وليس (1/2 ) · n . [ 2 ] [ 11 ] [ 15 ] [ 16 ] على سبيل المثال، تنص تعليمات تقديم المخطوطات لمجلات Physical Review صراحةً على أن الضرب له أولوية على القسمة، [ 17 ] وهذا هو أيضًا الاصطلاح المتبع في كتب الفيزياء مثل كتاب Course of Theoretical Physics للمؤلفين لاندو وليفشيتز [ c ] وكتب الرياضيات مثل كتاب Concrete Mathematics للمؤلفين غراهام وكنوث وباتاشنيك . [ 18 ] ومع ذلك، يوصي بعض المؤلفين بعدم استخدام تعابير مثل a / bc ، مفضلين الاستخدام الصريح للأقواس a / ( bc ) . [ 3 ]

الحالات الأكثر تعقيدًا تكون أكثر غموضًا . على سبيل المثال، يمكن أن تعني الصيغة 1 / 2π ( a + b ) إما 1 / [ 2π · ( a + b )] أو [1 / (2π ) ] · ( a + b ) . [ 19 ] أحيانًا يعتمد التفسير على السياق. توصي تعليمات النشر في مجلة Physical Review بتجنب التعبيرات من الشكل a / b / c ؛ أما التعبيرات الأكثر وضوحًا ( a / b ) / c أو a / ( b / c ) فهي لا لبس فيها. [ 17 ]

يتم تفسير 6÷2(1+2) على أنه 6÷(2×(1+2)) بواسطة آلة حاسبة fx-82MS (أعلى)، و(6÷2)×(1+2) بواسطة آلة حاسبة TI-83 Plus (أسفل)، على التوالي.

كان هذا الغموض موضوعًا للعديد من الميمات على الإنترنت ، مثل " 8 ÷ 2(2 + 2) "، والتي لها تفسيران متضاربان: 8 ÷ [2 · (2 ​​+ 2)] = 1 و (8 ÷ 2) · (2 ​​+ 2) = 16. [ 16 ] [ 20 ] يشير الباحث في تعليم الرياضيات، هونغ-هسي وو، إلى أنه "لا أحد يُجري عملية حسابية من هذا النوع في الحياة الواقعية"، ويصف هذه الأمثلة المصطنعة بأنها "نوع من ألعاب الخداع المصممة للإيقاع بشخص غير متوقع من خلال صياغتها بقواعد معقدة بشكل غير منطقي". [ 13 ]

الأسس المتسلسلة

إذا تم الإشارة إلى الأسية برموز مكدسة باستخدام تدوين مرتفع، فإن القاعدة المعتادة هي العمل من الأعلى إلى الأسفل: [ 2 ] [ 7 ]

a b c = a ( b c ) ,

وهو ما لا يساوي عادةً ( أ ب ) ج . هذا الاصطلاح مفيد لأن هناك خاصية في الأسس تنص على أن ( أ ب ) ج = أ ب ج ، لذا فليس من الضروري استخدام الأسس التسلسلية في هذه الحالة.

مع ذلك، عندما يُمثَّل الأس برمز صريح مثل علامة الإقحام (^) أو السهم (↑)، لا يوجد معيار موحد. على سبيل المثال، يُقيّم برنامج مايكروسوفت إكسل ولغة برمجة MATLAB العملية على أنها ( ab ) c ، بينما يُقيّمها محرك بحث جوجل و Wolfram Alpha على أنها a ( bc ) . وبالتالي، تُحسب قيمة a لتكون 4096 في الحالة الأولى ، و262144 في الحالة الثانية.a^b^c4^3^2

تقنيات التذكر

معنى اختصارات PEMDAS و BODMAS

تُستخدم الاختصارات التذكيرية بكثرة في المدارس الابتدائية لمساعدة الطلاب على تذكر ترتيب العمليات الحسابية. [ 21 ] [ 22 ] يُعدّ اختصار PEMDAS ، الذي يرمز إلى الأقواس ، والأسس ، والضرب / القسمة ، والجمع / الطرح ، [ 23 ] شائعًا في الولايات المتحدة [ 24 ] وفرنسا. [ 25 ] أحيانًا تُوسّع الأحرف لتُشكّل كلمات جملة تذكيرية مثل "Please Excuse My Dear Aunt Sally". [ 26 ] قد تستخدم المملكة المتحدة ودول الكومنولث الأخرى اختصار BODMAS (أو أحيانًا BOMDAS )، الذي يرمز إلى الأقواس ، وقسمة ، وضرب / قسمة ، وجمع / طرح ، حيث تعني "قسمة" ضرب الكسور. [ 27 ] [ 28 ] أحيانًا يُستبدل الحرف O بـ O <sub>rorder</sub>، بمعنى الأس أو الجذر، [ 28 ] [ 29 ] أو يُستبدل بالحرف I للدلالة على الأسس في الاختصار البديل BIDMAS . [ 28 ] [ 30 ] في كندا ونيوزيلندا، يُعدّ اختصار BEDMAS شائعًا. [ 31 ]

قد تكون هذه الوسائل التذكيرية مُضللة عند كتابتها بهذه الطريقة. [ 26 ] على سبيل المثال، إن تفسير أي من القواعد المذكورة أعلاه على أنها تعني "الجمع أولاً، ثم الطرح" سيؤدي إلى تقييم خاطئ للعبارة [ 26 ].أ-ب+ج{\displaystyle a-b+c}مثلأ-(ب+ج){\displaystyle a-(b+c)}بينما التقييم الصحيح هو(أ-ب)+ج{\displaystyle (a-b)+c}تختلف هذه القيم عندماج≠0{\displaystyle c\neq 0}.

في ألمانيا، يُدرَّس هذا الأسلوب ببساطة تحت مسمى "Punktrechnung vor Strichrechnung" ، أي "عمليات النقطة قبل عمليات الخط"، في إشارة إلى الأشكال الرسومية للرموز: الضرب ( ·)، والقسمة (∶)، والجمع ( + )، والطرح ( − ). وهذا يتجنب احتمالية سوء الفهم المذكور أعلاه.    

تعرضت الاختصارات التذكيرية لانتقادات لعدم قدرتها على تنمية فهم مفاهيمي لترتيب العمليات، وعدم إجابتها على تساؤلات الطلاب حول غايتها أو مرونتها. [ 32 ] [ 33 ] يرتكب الطلاب الذين يتعلمون ترتيب العمليات باستخدام الاختصارات التذكيرية أخطاءً بشكل روتيني، [ 34 ] كما هو الحال مع بعض المعلمين المتدربين. [ 35 ] حتى عندما يتعلم الطلاب الاختصار بشكل صحيح، فإن التركيز المفرط على حفظ التفاصيل الصغيرة يطغى على المحتوى الرياضي الجوهري. [ 13 ] لا يتوافق التطبيق الإجرائي للاختصار مع الفهم البديهي للخبراء للرموز الرياضية: فالرموز الرياضية تشير إلى التجميعات بطرق أخرى غير الأقواس، والتعبير الرياضي عبارة عن تسلسل هرمي يشبه الشجرة وليس بنية "مرتبة" خطيًا. علاوة على ذلك، لا يوجد ترتيب واحد يجب اتباعه لتبسيط أو تقييم التعبيرات الرياضية، ولا يوجد تبسيط معياري عالمي لأي تعبير معين، ويطبق الخبراء التحويلات والاستبدالات الصحيحة بطلاقة بأي ترتيب مناسب، لذا فإن تعلم إجراء جامد قد يؤدي بالطلاب إلى فهم مضلل ومحدود للرموز الرياضية. [ 36 ]

الآلات الحاسبة

تتبع الآلات الحاسبة المختلفة ترتيبات عمليات مختلفة. [ 2 ] العديد من الآلات الحاسبة البسيطة التي لا تستخدم مكدسًا تُدخل البيانات بشكل متسلسل ، حيث تعمل بترتيب ضغط الأزرار دون إعطاء أي أولوية للعمليات المختلفة، مما يُعطي نتيجة مختلفة عن تلك التي تُعطيها الآلات الحاسبة الأكثر تطورًا. على سبيل المثال، في آلة حاسبة بسيطة، يُعطي إدخال قيمة 9، بينما تستخدم آلة حاسبة أكثر تطورًا أولوية أكثر شيوعًا، لذا يُعطي إدخال قيمة 7.1 + 2 × 3 =1 + 2 × 3 =

قد تربط الآلات الحاسبة الأسس باليسار أو باليمين. على سبيل المثال، يُفسَّر التعبير على أنه a(bc) في TI - 92 و TI - 30XS MultiView في "وضع Mathprint"، بينما يُفسَّر على أنه ( ab ) c في TI-30XII وTI-30XS MultiView في "الوضع الكلاسيكي" .a^b^c

يُفسَّر تعبيرٌ كهذا على أنه 1/( 2x ) بواسطة آلة TI-82 ، [ 3 ] وكذلك العديد من آلات حاسبة كاسيو الحديثة [ 37 ] (قابلة للتكوين في بعضها مثل fx-9750GIII )، بينما يُفسَّر على أنه (1/2) x بواسطة آلة TI-83 وجميع آلات حاسبة TI الأخرى التي صدرت منذ عام 1996، [ 38 ] [ 3 ] وكذلك بواسطة جميع آلات حاسبة هيوليت-باكارد التي تستخدم الترميز الجبري. في حين أن التفسير الأول قد يتوقعه بعض المستخدمين نظرًا لطبيعة الضرب الضمني ، [ 39 ] فإن التفسير الثاني يتماشى أكثر مع قاعدة أن الضرب والقسمة لهما نفس الأولوية. [ 3 ]1/2x

عندما يكون المستخدم غير متأكد من كيفية تفسير الآلة الحاسبة لتعبير معين، يمكن استخدام الأقواس لإزالة الغموض. [ 3 ]

نشأ ترتيب العمليات نتيجةً لاعتماد الترميز الوسطي في الترميز الرياضي القياسي ، والذي قد يكون غامضًا من الناحية الترميزية بدون هذه الاتفاقيات، على عكس الترميز اللاحق أو الترميز السابق ، اللذين لا يحتاجان إلى ترتيب العمليات. [ 40 ] [ 41 ] وبالتالي، فإن الآلات الحاسبة التي تستخدم الترميز البولندي العكسي (RPN) باستخدام مكدس لإدخال التعبيرات بالترتيب الصحيح للأسبقية لا تحتاج إلى أقواس أو أي ترتيب تنفيذ خاص بنموذج معين. [ 26 ] [ 23 ]

لغات البرمجة

تستخدم معظم لغات البرمجة مستويات الأسبقية التي تتوافق مع الترتيب المستخدم بشكل شائع في الرياضيات، [ 42 ] على الرغم من أن لغات أخرى، مثل APL و Smalltalk ، ليس لديها قواعد أسبقية للمشغلات (في APL، يكون التقييم من اليمين إلى اليسار بشكل صارم؛ في Smalltalk، يكون من اليسار إلى اليمين بشكل صارم).

علاوة على ذلك، ولأن العديد من المعاملات ليست تجميعية، فإن الترتيب داخل أي مستوى واحد يُحدد عادةً بالتجميع من اليسار إلى اليمين، بحيث 16/4/4يُفسر (16/4)/4 على أنه 1 بدلاً من 16/(4/4) = 16 ؛ وتُسمى هذه المعاملات "تجميعية من اليسار". توجد استثناءات؛ على سبيل المثال، اللغات التي تحتوي على معاملات تُقابل عملية cons على القوائم عادةً ما تجعلها تُجمع من اليمين إلى اليسار ("تجميعية من اليمين")، كما هو الحال في لغة هاسكل .1:2:3:4:[] == 1:(2:(3:(4:[]))) == [1,2,3,4]

قال دينيس ريتشي ، مبتكر لغة C ، عن أسبقية العمليات في C (التي تشترك فيها لغات البرمجة التي تستعير هذه القواعد من C، مثل C++ و Perl و PHP ) إنه كان من الأفضل وضع عوامل التشغيل الثنائية فوق عوامل المقارنة . [ 43 ] اعتاد العديد من المبرمجين على هذا الترتيب، لكن لغات البرمجة الشائعة الأحدث مثل Python [ 44 ] و Ruby [ 45 ] تعكس هذا الترتيب. فيما يلي مستويات الأسبقية النسبية للعوامل الموجودة في العديد من لغات البرمجة المشابهة للغة C:

1() [] -> . ::استدعاء الدالة، النطاق، الوصول إلى المصفوفة/العضو
2! ~ - + * & sizeof نوع الصب ++ -- (معظم) المعاملات الأحادية، و sizeof ، وتحويلات النوع (من اليمين إلى اليسار)
3* / %MODالضرب، القسمة، باقي القسمة
4+ -الجمع والطرح
5<< >>إزاحة البتات إلى اليسار واليمين
6< <= > >=المقارنات: أقل من وأكبر من
7== !=المقارنات: المتساوي وغير المتساوي
8&عملية AND الثنائية
9^عملية XOR (أو الحصرية الثنائية)
10|عملية أو الثنائية الشاملة (العادية)
11&&منطقي و
12||أو المنطقي
13?:التعبير الشرطي (الثلاثي)
14= += -= *= /= %= &= |= ^= <<= >>=عوامل التخصيص (من اليمين إلى اليسار)
15,عامل الفاصلة
قواعد نحوية رسمية مبسطة للتعبيرات الحسابية في لغة برمجة (يسار) ، [ 46 ] واشتقاق التعبير الموضح في المثال (a+b)^2/2(يمين) . يتوافق هذا الأخير مع بنية هرمية (" شجرة بناء الجملة ") فريدة للتعبير المعطى. يُولّد المُصرّف شيفرة الآلة من الشجرة بحيث تُنفّذ العمليات الناشئة من أدنى مستوى هرمي أولًا.

أمثلة:

  • !A + !Bيُفسر على النحو التالي(!A) + (!B)
  • ++A + !Bيُفسر على النحو التالي(++A) + (!B)
  • A + B * Cيُفسر على النحو التاليA + (B * C)
  • A || B && Cيُفسر على النحو التاليA || (B && C)
  • A && B == Cيُفسر على النحو التاليA && (B == C)
  • A & B == Cيُفسر على النحو التاليA & (B == C)

(في بايثون وروبي A & B == Cيتم تفسيرها على النحو التالي (A & B) == C.)

تحتاج المترجمات المصدرية التي تُترجم إلى لغات متعددة إلى معالجة مسألة اختلاف ترتيب العمليات بين اللغات بشكل صريح. على سبيل المثال، تُوحّد لغة Haxe الترتيب وتفرضه بإضافة أقواس عند الحاجة.

وقد تبين أن دقة معرفة مطوري البرامج بأسبقية المعاملات الثنائية تتبع بشكل وثيق تكرار ظهورها في شفرة المصدر. [ 47 ]

تاريخ

تطوّر ترتيب العمليات الحسابية تدريجيًا على مرّ القرون. أُدرجت قاعدة أسبقية الضرب على الجمع في تطوير الرموز الجبرية في القرن السابع عشر، نظرًا لأن خاصية التوزيع تُشير إلى ذلك كترتيب طبيعي. وفي عشرينيات القرن العشرين، أشار مؤرخ الرياضيات فلوريان كاجوري إلى وجود خلاف حول ما إذا كان الضرب له الأسبقية على القسمة، أو ما إذا كان ينبغي معاملتهما على قدم المساواة. لم يُصاغ مصطلح "ترتيب العمليات" ورموز "PEMDAS/BEDMAS" بشكل رسمي إلا في أواخر القرن التاسع عشر أو أوائل القرن العشرين، مع ازدياد الطلب على الكتب الدراسية الموحدة. ويُشير الغموض حول مسائل مثل ما إذا كان الضرب الضمني له الأسبقية على الضرب والقسمة الصريحين في تعابير مثل a /2b ، والتي يُمكن تفسيرها على أنها a /(2b ) أو ( a /2)  × b ، إلى أن هذه الاصطلاحات لم تستقر تمامًا بعد. [ 48 ] [ 49 ] 

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 يتجنب بعض المؤلفين عمداً أي حذف للأقواس مع الدوال حتى في حالة وجود متغير عددي واحد أو وسيط ثابت (مثل أولدهام في أطلس )، بينما يقوم مؤلفون آخرون (مثل NIST ) بتطبيق هذا التبسيط التدويني بشكل مشروط فقط بالاقتران مع أسماء دوال محددة متعددة الأحرف (مثلsin)، لكنهم لا يستخدمونه مع أسماء الدوال العامة (مثلf).
  2. ↑ لتجنب أي غموض، يتم تجنب هذا التبسيط التدويني للوحدات بشكل متعمد في أعمال مثل أطلس أولدهام للدوال أو دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية .
  3. على سبيل المثال ، يحتوي الإصدار الثالث من كتاب "الميكانيكا" للاندو وليفشيتز على تعابير مثل hP z /2 π (صفحة 22)، ويحتوي المجلد الأول من محاضرات فاينمان على تعابير مثل 1/2 √ N (صفحتا 6-7) . في كلا الكتابين، كُتبت هذه التعابير وفقًا للاتفاقية التيتُحسب فيها قيمة المنحنى الصلب أخيرًا.

مراجع

  1. ↑ "عوامل الحساب والأسبقية: إكسل" . دعم مايكروسوفت . مايكروسوفت . 2023. تم الاسترجاع في 17-09-2023 .
  2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 برونشتاين، إيليا نيكولايفيتش ; سيمندجاجيو، كونستانتين أدولفوفيتش (1987) [1945]. "2.4.1.1. تعريف الحساب Ausdrücke" [ تعريف التعبيرات الحسابية ] . في غروشه، غونتر؛ زيغلر، فيكتور؛ زيغلر، دوروثيا (محرران). Taschenbuch der Mathematik [ كتاب الجيب للرياضيات ] (باللغة الألمانية). المجلد. 1. ترجمة زيغلر، فيكتور ( الطبعة الثالثة والعشرون). ثون، سويسرا: هاري دويتش . ص 115 – 120، 802. ISBN    3-87144-492-8. القاعدة 7: Ist F ( A ) Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks oder einer seiner Abkürzungen und F eine Funktionenkonstante und A eine Zahlenvariable oder Zahlenkonstante، so darf F A dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung F n ( A ) für ( F ( A )) n üblich. Dabei kann F sowohl Funktionenconstant as auch Funktionenvariable sein.]
  3. ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ بيترسون، ديف (سبتمبر - أكتوبر ٢٠١٩). مدونة أطباء الرياضيات . ترتيب العمليات: "لماذا؟" ؛ "لماذا هذه القواعد؟" ؛ "فروق دقيقة" ؛ "الكسور، التقييم، والتبسيط" ؛ "الضرب الضمني؟" ؛ "تحذيرات تاريخية" . تم الاسترجاع في ١١ فبراير ٢٠٢٤. بيترسون، ديف (أغسطس - سبتمبر ٢٠٢٣).مدونة أطباء الرياضيات . الضرب الضمني: "ليس بالسوء الذي تظنه" ؛ "هل يوجد معيار؟" ؛ "لا يمكنك إثبات ذلك" . تم الاسترجاع في ١١ فبراير ٢٠٢٤.
  4. ↑ سوكوفسكي، إيرل ويليام (1978). أساسيات الجبر وعلم المثلثات ( الطبعة الرابعة). بوسطن: بريندل، ويبر وشميدت. ISBN  0-87150-252-6. ص  1: يمكن استخدام لغة الجبر [...] كاختصار، لاختصار وتبسيط العبارات الطويلة أو المعقدة.
  5. ↑ وايسشتاين، إريك وولفغانغ . "الأسبقية" . ماث وورلد . تم الاسترجاع في 22 أغسطس 2020 .
  6. ↑ أولدهام، كيث ب.؛ مايلاند، جان س.؛ سبانير، جيروم (2009) [1987]. أطلس الدوال: مع إكواتور، حاسبة دوال الأطلس (الطبعة الثانية ). سبرينغر. doi : 10.1007/978-0-387-48807-3 . ISBN  978-0-387-48806-6.
  7. 1 2 أولفر، فرانك دبليو جيه؛ لوزير، دانيال دبليو؛ بويسفيرت، رونالد إف؛ كلارك، تشارلز دبليو، محرران. (2010). دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية . المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا . ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248 .​ 
  8. ^ ملاك ، ألين ر. روند، دينيس C .؛ جيليجان، لورانس؛ سملر، ريتشارد (2010). الجبر الابتدائي لطلاب الكلية ( الطبعة الثامنة). برنتيس هول . الفصل. 1، §9، الهدف 3. ISBN  978-0-321-62093-4.
  9. ↑ "صيغة تُرجع قيمة موجبة غير متوقعة" . مايكروسوفت . ١٥ أغسطس ٢٠٠٥. مؤرشف من الأصل في ١٩ أبريل ٢٠١٥. تم الاطلاع عليه في ٥ مارس ٢٠١٢ .
  10. ↑ بيرغر، روجر ل. (2007). "أسبقية المعاملات غير القياسية في إكسل". الإحصاءات الحاسوبية وتحليل البيانات . 51 (6): 2788-2791 . doi : 10.1016/j.csda.2006.09.040 .
  11. 1 2 كريستال، جورج (1904) [1886]. الجبر . المجلد 1 ( الطبعة الخامسة). "القسمة"، الفصل 1، الفقرات 19-26 ، الصفحات 14-20.   
    كان كتاب كريستال المرجع الأساسي باللغة الإنجليزية في تدريس الجبر للمرحلة الثانوية في مطلع القرن العشرين، وربما كان مصدرًا للعديد من الأوصاف اللاحقة لترتيب العمليات الحسابية. مع ذلك، فبينما يضع كتاب كريستال في البداية قاعدة صارمة لتقييم التعبيرات التي تتضمن الرمزين ÷ و×، فإنه يُعطي لاحقًا، وبشكلٍ مُستمر، أولويةً ضمنيةً للضرب على القسمة عند كتابة الكسور المضمنة، دون أن يُناقش صراحةً التناقض بين القاعدة الرسمية والممارسة الشائعة.
  12. ↑ كاجوري، فلوريان (1928). تاريخ الرموز الرياضية . المجلد 1. لاسال، إلينوي: أوبن كورت. §242. "ترتيب العمليات في الحدود التي تحتوي على كل من ÷ و ×" ، ص 274.  
  13. 1 2 3 وو، هونغ هسي (2007) [2004]. ""ترتيب العمليات الحسابية" وغيرها من الغرائب ​​في الرياضيات المدرسية" (ملف PDF) . قسم الرياضيات، جامعة كاليفورنيا . تاريخ الاسترجاع: 3 يوليو 2007 .
  14. ↑ في معيار ISO 80000 ، يُحظر استخدام رمز القسمة '÷' تمامًا لصالح رمز الشرطة المائلة:
    ISO 80000-2:2019، "الكميات والوحدات - الجزء 2: الرياضيات" . المنظمة الدولية للمعايير .
  15. ↑ لينس، ن. ج. (1917). "مناقشات: تتعلق بترتيب العمليات في الجبر" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 24 (2): 93-95 . doi : 10.2307/2972726 . JSTOR 2972726 . 
  16. 1 2 ستروغاتز، ستيفن (2 أغسطس 2019). "المعادلة الرياضية التي حاولت إحباط مستخدمي الإنترنت" . صحيفة نيويورك تايمز . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 فبراير 2024 .يصف ستروغاتز في هذه المقالة ترتيب العمليات الحسابية كما يُدرّس في المرحلة المتوسطة. ومع ذلك، يشير في تعليق له إلى ما يلي:
    يبدو أن العديد من المعلقين يستخدمون اصطلاحًا مختلفًا (وأكثر تعقيدًا) عن اصطلاح PEMDAS الأساسي الذي شرحته في المقال. في هذا الاصطلاح الأكثر تعقيدًا، والذي يُستخدم غالبًا في الجبر، تُعطى الأولوية للضرب الضمني (المعروف أيضًا بالضرب بالتجاور) على الضرب الصريح أو القسمة الصريحة (حيث تُكتب العمليات صراحةً مثل × * / أو ÷). بموجب هذا الاصطلاح الأكثر تعقيدًا، يُعطى الضرب الضمني في 2(2 + 2) أولوية أعلى من القسمة الصريحة التي يُشير إليها استخدام ÷. هذا اصطلاح منطقي جدًا، وأوافق على أن الإجابة هي 1 إذا كنا نستخدم هذا الاصطلاح المعقد.
    لكن هذا الاصطلاح ليس عالميًا. على سبيل المثال، تستخدم الآلات الحاسبة المدمجة في جوجل وولفرام ألفا الاصطلاح الأقل تعقيدًا الذي وصفته في المقال؛ فهي لا تفرق بين الضرب الضمني والصريح عندما يُطلب منها تقييم تعابير حسابية بسيطة. [...]"
  17. 1 2 "دليل أسلوب ورموز المراجعة الفيزيائية" (ملف PDF) . الجمعية الفيزيائية الأمريكية . 2012. § IV.E.2.e. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2012-08-05 .
  18. ↑ غراهام، رونالد ل .؛ كنوت، دونالد إي .؛ باتاشنيك، أورين (1994). الرياضيات الملموسة ( الطبعة الثانية). ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. "ملاحظة حول الترميز"، ص. 11. ISBN   0-201-55802-5MR 1397498. التعبير من الشكل a / bc يعني نفس معنى a /( bc ) . علاوة على ذلك، log x /log y = (log x )/(log y ) و 2 n ! = 2( n ! ) . 
  19. ↑ فاتيمان، آر جيه؛ كاسبي، إي. (1999). تحليل TEX إلى رياضيات (PDF) . الندوة الدولية حول الحساب الرمزي والجبري، فانكوفر، 28-31 يوليو 1999.
  20. ↑ هايل، تارا (12 مارس 2013). "ما هو حل مسألة الرياضيات السخيفة تلك على فيسبوك؟ ولماذا يثير هذا الأمر كل هذه الضجة؟" . سلات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 سبتمبر 2023 .
  21. ↑ "قواعد الحساب" (ملف PDF) . Mathcentre.ac.uk . 2009. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2019-08-02 .
  22. ↑ جينسبيرغ، ديفيد (1 يناير 2011). "أرجو المعذرة يا عمتي سالي العزيزة (PEMDAS) - إلى الأبد!" . أسبوع التعليم - نصائح المدرب جي التعليمية . تم الاسترجاع في 17 سبتمبر 2023 .
  23. 1 2 فاندربيك، جريج (2007). ترتيب العمليات وRPN (ورقة شرحية). أوراق شرحية لامتحان ماجستير الآداب في التدريس (MAT). لينكولن: جامعة نبراسكا. الورقة 46. تم الاسترجاع في 14 يونيو 2020 .
  24. ↑ علي رحمن، إرنا سوكينة؛ شهرل، ماسيتة؛ عباس، نور عارفهواتي؛ تان، آبي (2017). "تطوير المهارات الرياضية للطلاب فيما يتعلق بترتيب العمليات الحسابية" (ملف PDF) . المجلة الدولية للبحوث في التربية والعلوم . 3 (2): 373-382 . doi : 10.21890/ijres.327896 (غير نشط في 12 يوليو 2025). ص 373: PEMDAS هو اختصار أو أداة تذكير لترتيب العمليات الحسابية، ويرمز إلى الأقواس، والأسس، والضرب، والقسمة، والجمع، والطرح. يُستخدم هذا الاختصار على نطاق واسع في الولايات المتحدة الأمريكية. في الوقت نفسه، في دول أخرى مثل المملكة المتحدة وكندا، تُستخدم الاختصارات BODMAS (الأقواس، الترتيب، القسمة، الضرب، الجمع والطرح) وBIDMAS (الأقواس، الأسس، القسمة، الضرب، الجمع والطرح). {{cite journal}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من يوليو 2025 ( رابط )
  25. ^ "الحساب الذي يقسم : 6÷2(1+2)" . ميكماثس (فيديو) (بالفرنسية). 17 نوفمبر 2020. 
  26. 1 2 3 4 بول، جون أ. (1978). خوارزميات لحاسبات RPN ( الطبعة الأولى). كامبريدج، ماساتشوستس: وايلي. ص 31. ISBN   0-471-03070-8.
  27. ↑ ديفيز، بيتر (1979). "كشف زيف ترتيب العمليات الحسابية". الرياضيات في المدرسة . 8 (4): 27-28 . JSTOR 30213488 . 
  28. 1 2 3 نايت، آي إس (1997). "لماذا ترتيب العمليات الحسابية BODMAS؟". المجلة الرياضية . 81 (492): 426-427 . doi : 10.2307/3619621 . JSTOR 3619621 . 
  29. ↑ "ترتيب العمليات" . Syllabus.bos.nsw.edu.au . مؤرشف من الأصل (DOC) بتاريخ 24-02-2021 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 02-08-2019 .
  30. ↑ فوستر، كولين (2008). "أولويات أعلى" . الرياضيات في المدرسة . 37 (3): 17. JSTOR 30216129 . 
  31. ↑ نادور، جوش (2020). ترتيب العمليات: أرجو المعذرة يا عمتي العزيزة سالي لأن قاعدتها مضللة (رسالة ماجستير). جامعة جورجيا.
  32. ↑ أميس، جيري أ. (2011). "حقيقة ترتيب العمليات الحسابية". تدريس الرياضيات في المرحلة المتوسطة . 16 (7): 414-420 . doi : 10.5951/MTMS.16.7.0414 . JSTOR 41183631 . 
  33. ↑ تشنغ، يوجينيا (2023). هل الرياضيات حقيقية؟ كيف تقودنا الأسئلة البسيطة إلى أعمق حقائق الرياضيات . دار بيسيك بوكس. الصفحات 235-238 . ISBN  978-1-541-60182-6.
  34. ↑ لي، جاي كي؛ ليكوينكو، سوزان؛ تايلور-باكنر، نيكول (2013). "استكشاف الاستدلال الرياضي لترتيب العمليات: إعادة ترتيب المكون الإجرائي PEMDAS" . مجلة تعليم الرياضيات في كلية المعلمين . 4 (2): 73-78 . doi : 10.7916/jmetc.v4i2.633 . ص 73: [...] كثيرًا ما يرتكب الطلاب أخطاءً حسابية في التعبيرات التي تحتوي على عمليات ضرب وقسمة أو جمع وطرح متجاورة. [...] 
  35. ↑ دوبيري، كامي م. (2016). "التشكيك في ترتيب العمليات". تدريس الرياضيات في المرحلة المتوسطة . 22 (3): 152-159 . doi : 10.5951/mathteacmiddscho.22.3.0152 .
  36. ↑ تاف، جيسون (2017). "إعادة النظر في ترتيب العمليات (أو ما المشكلة مع العمة سالي العزيزة؟)". معلم الرياضيات . 111 (2): 126-132 . doi : 10.5951/mathteacher.111.2.0126 .
  37. ↑ "تسلسل أولوية الحساب" . support.casio.com . كاسيو . تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 أغسطس 2019 .
  38. ↑ "الضرب الضمني مقابل الضرب الصريح في الآلات الحاسبة البيانية من شركة تكساس إنسترومنتس " . 2011. تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 يوليو 2025 .
  39. ↑ الإعلان عن جهاز TI Programmable 88! (ملف PDF) . شركة تكساس إنسترومنتس . 1982. تم الاطلاع عليه بتاريخ 3 أغسطس 2017. الآن، يتعرف نظام التشغيل AOS على عملية الضرب الضمني، ويمكن تتبع الدوال الجذرية واللوغاريتمية والمثلثية بمعاملاتها كما هو الحال عند استخدام القلم والورقة.(ملاحظة: لم يكن جهاز TI-88 موجودًا إلا كنموذج أولي ولم يتم إصداره للجمهور أبدًا.)
  40. ↑ سيمونز، بيتر موراي (2021). "تدوين لوكاسيفيتش الخالي من الأقواس أو التدوين البولندي" . موسوعة ستانفورد للفلسفة . قسم الفلسفة، جامعة ستانفورد . تاريخ الاسترجاع: 26 مارس 2022 .
  41. ^ كرتوليكا، بريدراج ف. ستانيميروفيتش، بريدراج س. (1999). “في بعض خصائص التدوين البولندي العكسي”. فيلمات . 13 : 157 – 172. جستور 43998756 . 
  42. ↑ هندرسون، هاري (2009) [2003]. "أسبقية المعاملات" . موسوعة هندرسون لعلوم وتكنولوجيا الحاسوب (طبعة منقحة ). نيويورك: فاكتس أون فايل . ص 355. ISBN   978-0-8160-6382-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 17-09-2023 .
  43. ↑ ريتشي، دينيس م. (1996). "تطور لغة سي". تاريخ لغات البرمجة ( الطبعة الثانية). مطبعة ACM . 
  44. ↑ "6. التعبيرات" . وثائق بايثون . تم الاطلاع عليه بتاريخ 31-12-2023 .
  45. ↑ "الأسبقية - توثيق RDoc" .
  46. ↑ باكوس، جون وارنر ؛ وآخرون (1963). "الفقرة 3.3.1: التعبيرات الحسابية". في نور، بيتر (محرر). التقرير المنقح عن لغة الخوارزميات Algol 60 (تقرير) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17-09-2023 . (CACM المجلد 6 الصفحات 1-17؛ مجلة الكمبيوتر، المجلد 9، الصفحة 349؛ Numerische Mathematik، المجلد 4، الصفحة 420.)
  47. ↑ جونز، ديريك م. (2008) [2006]. "معتقدات المطورين حول أسبقية المعاملات الثنائية" . CVu . 18 (4): 14-21 . تاريخ الاسترجاع : 17-09-2023 .
  48. ↑ جينسن، باتريشيا. "التاريخ والخلفية" . 5010.mathed.usu.edu . جامعة ولاية يوتا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 أكتوبر 2024 .
  49. ↑ بيترسون، ديف (22 نوفمبر 2000). "تاريخ ترتيب العمليات الحسابية" . منتدى الرياضيات: اسأل دكتور الرياضيات . مؤرشف من الأصل في 19 يونيو 2002.

للمزيد من القراءة