طقم بير

عرّف كونيهيكو كودايرا ^{[ 1 ]} ما نسميه مجموعات باير (مع أنه يسميها، بشكل مُربك، "مجموعات بوريل") لبعض الفضاءات الطوبولوجية بأنها المجموعات التي تكون دالتها المميزة دالة باير (أصغر فئة من الدوال التي تحتوي على جميع الدوال الحقيقية المتصلة والمغلقة تحت حدود نقطية للمتتاليات). قدّم دادلي (1989 ، القسم 7.1) تعريفًا مكافئًا، حيث عرّف مجموعات باير لفضاء طوبولوجي بأنها عناصر أصغر جبر سيجما بحيث تكون جميع الدوال الحقيقية المتصلة قابلة للقياس. بالنسبة لفضاءات هاوسدورف المدمجة محليًا والمدمجة سيجما، فإن هذا التعريف مكافئ للتعريفات التالية، ولكن بشكل عام، لا تكون التعريفات متكافئة.

وعلى النقيض من ذلك، فإن دوال باير هي تحديداً الدوال الحقيقية القابلة للقياس وفقاً لباير. بالنسبة للفضاءات المترية، تتطابق مجموعات باير مع مجموعات بوريل. ^{[ 2 ]}

عرّف هالموس (1950 ، صفحة 220) مجموعات باير في فضاء هاوسدورف محلي التراص بأنها عناصر الحلقة سيجما المولدة بواسطة مجموعات G _δ المتراصة . لم يعد هذا التعريف شائع الاستخدام، إذ لم تعد الحلقات سيجما رائجة. عندما يكون الفضاء سيجما-متراصًا، يكون هذا التعريف مكافئًا للتعريف التالي.

أحد أسباب العمل مع مجموعات G _δ المدمجة بدلاً من مجموعات G _δ المغلقة هو أن مقاييس باير تكون منتظمة تلقائيًا ( Halmos 1950 ، النظرية G صفحة 228) .

التعريف الثالث والأكثر استخدامًا يشبه تعريف هالموس، مع تعديله بحيث تشكل مجموعات باير جبر سيجما بدلاً من مجرد حلقة سيجما.

تُسمى مجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي هاوسدورف محلي التراص مجموعة باير إذا كانت عنصرًا في أصغر جبر سيجما يحتوي على جميع مجموعات Gδ المتراصة . بعبارة أخرى، جبر سيجما لمجموعات باير هو جبر سيجما الناتج عن جميع تقاطعات _عدد قابل للعد من المجموعات المفتوحة التي تُنتج مجموعة متراصة. أو بدلاً من ذلك، تُشكل مجموعات باير أصغر جبر سيجما بحيث تكون جميع الدوال المتصلة ذات الدعم المتراص قابلة للقياس (على الأقل في فضاءات هاوسدورف محلية التراص؛ أما في الفضاءات الطوبولوجية العامة، فلا يشترط أن يكون هذان الشرطان متكافئين).

بالنسبة للفضاءات المدمجة من نوع سيجما، يُكافئ هذا تعريف هالموس. أما بالنسبة للفضاءات غير المدمجة من نوع سيجما، فإن مجموعات باير، وفقًا لهذا التعريف، هي تلك الموجودة في تعريف هالموس بالإضافة إلى مكملاتها. مع ذلك، في هذه الحالة، لم يعد صحيحًا أن مقياس باير المحدود منتظم بالضرورة؛ فعلى سبيل المثال، مقياس احتمالية باير الذي يُسند القيمة 0 لكل مجموعة جزئية قابلة للعد من فضاء منفصل غير قابل للعد، والقيمة 1 لكل مجموعة جزئية قابلة للعد معه، هو مقياس احتمالية باير غير منتظم.

بالنسبة للفضاءات الطوبولوجية هاوسدورف المدمجة محليًا والتي ليست مدمجة من النوع σ، فإن التعريفات الثلاثة المذكورة أعلاه ليست بالضرورة متكافئة.

الفضاء الطوبولوجي المنفصل متراص محليًا وهاوسدورف. أي دالة معرفة على فضاء منفصل تكون متصلة، وبالتالي، وفقًا للتعريف الأول، فإن جميع المجموعات الجزئية من الفضاء المنفصل هي مجموعات باير. مع ذلك، بما أن الفضاءات الجزئية المتراصة من الفضاء المنفصل هي تحديدًا الفضاءات الجزئية المنتهية، فإن مجموعات باير، وفقًا للتعريف الثاني، هي تحديدًا المجموعات القابلة للعد على الأكثر ، بينما وفقًا للتعريف الثالث، فإن مجموعات باير هي المجموعات القابلة للعد على الأكثر ومكملاتها. لذا، فإن التعريفات الثلاثة غير متكافئة على الفضاء المنفصل غير القابل للعد.

بالنسبة للفضاءات غير الهاوسدورفية، لا يشترط أن تكون تعريفات مجموعات باير بدلالة الدوال المتصلة مكافئة للتعريفات التي تتضمن مجموعات Gδ _{المدمجة . على سبيل المثال، إذا كانت} X مجموعة قابلة للعد غير منتهية، ومجموعاتها المغلقة هي المجموعات المنتهية والفضاء بأكمله، فإن الدوال الحقيقية المتصلة الوحيدة على X هي الدوال الثابتة، ولكن جميع المجموعات الجزئية من X تنتمي إلى الجبر σ المولد بواسطة مجموعات Gδ _{المدمجة} المغلقة .

في حاصل الضرب الديكارتي لعدد لا يُحصى من فضاءات هاوسدورف المدمجة التي تحتوي على أكثر من نقطة واحدة، لا تُعتبر النقطة أبدًا مجموعة باير، على الرغم من كونها مغلقة، وبالتالي فهي مجموعة بوريل. ^{[ 3 ]}