نموذج برتراند-إيدجوورث

في الاقتصاد الجزئي ، يستكشف نموذج برتراند-إيدجوورث لاحتكار القلة لتحديد الأسعار ما يحدث عندما تتنافس الشركات لبيع منتج متجانس (سلعة لا يشتريها المستهلكون إلا من أرخص بائع متاح) ولكنها تواجه قيودًا على كمية العرض التي يمكنها توفيرها. على عكس نموذج برتراند القياسي للمنافسة ، حيث يُفترض أن الشركات تلبي جميع الطلبات بالسعر الذي تختاره، يفترض نموذج برتراند-إيدجوورث أن لكل شركة قيدًا على طاقتها الإنتاجية: حد أقصى ثابت للإنتاج الذي يمكنها بيعه، بغض النظر عن السعر. قد يكون هذا القيد ماديًا (كما في صياغة إيدجوورث) أو قد يعتمد على السعر أو ظروف أخرى .

من أهم نتائج هذا النموذج أن توازنات الأسعار القائمة على استراتيجية خالصة قد لا تتحقق، حتى مع وجود شركتين فقط، لأن الشركات لديها حافز لخفض أسعارها عن أسعار المنافسين حتى تصل إلى حدود طاقتها الإنتاجية. ونتيجة لذلك، قد يؤدي النموذج إلى دورات سعرية أو ظهور توازنات استراتيجية مختلطة ، حيث تتداول الشركات الأسعار بشكل عشوائي.

وضع جوزيف لويس فرانسوا برتراند (1822-1900) نموذج منافسة برتراند في سوق احتكار القلة. يقوم هذا النموذج على افتراض وجود شركتين على الأقل تُنتجان منتجًا متجانسًا بتكلفة هامشية ثابتة (قد تكون هذه التكلفة ثابتة عند قيمة موجبة معينة، أو معدومة كما في نموذج كورنو). يشتري المستهلكون من البائع الأرخص سعرًا. يتحقق توازن برتراند-ناش في هذا النموذج عندما تُحدد جميع الشركات (أو شركتان على الأقل) السعر مساويًا للتكلفة الهامشية. الحجة بسيطة: إذا حددت إحدى الشركات سعرًا أعلى من التكلفة الهامشية، فبإمكان شركة أخرى خفض السعر بمقدار ضئيل (يُسمى غالبًا بخفض السعر بمقدار إبسيلون ، حيث يُمثل إبسيلون مقدارًا صغيرًا جدًا)، وبالتالي يصبح التوازن صفرًا (يُعرف هذا أحيانًا بمفارقة برتراند ).

يفترض منهج برتراند أن الشركات مستعدة وقادرة على تلبية جميع الطلبات: فلا يوجد حد لكمية ما يمكنها إنتاجه أو بيعه. وقد درس فرانسيس يسيدرو إيدجوورث حالة وجود حد لما يمكن للشركات بيعه (قيد الطاقة الإنتاجية): فقد بيّن أنه إذا كان هناك حد ثابت لما يمكن للشركات بيعه، فقد لا يوجد توازن ناش للاستراتيجية البحتة (وهذا ما يُسمى أحيانًا بمفارقة إيدجوورث ). ^{[ 1 ]}

طوّر مارتن شوبيك نموذج برتراند-إيدجوورث ليسمح للشركة بأن تكون مستعدة للتوريد فقط حتى مستوى الإنتاج الذي يحقق لها أقصى ربح عند السعر الذي تحدده (يحدث هذا في حالة تعظيم الربح عندما تتساوى التكلفة الحدية مع السعر). ^{[ 2 ]} درس شوبيك حالة التكاليف المحدبة تمامًا، حيث تزداد التكلفة الحدية مع زيادة الإنتاج. بيّن شوبيك أنه إذا وُجد توازن ناش، فلا بد أن يكون سعر المنافسة الكاملة (حيث يتساوى الطلب مع العرض، وتحدد جميع الشركات السعر مساويًا للتكلفة الحدية). مع ذلك، لا يمكن أن يحدث هذا إلا إذا كان طلب السوق مرنًا للغاية (أفقيًا) عند سعر المنافسة. بشكل عام، كما هو الحال في مفارقة إيدجوورث، لن يوجد توازن ناش للاستراتيجية البحتة. بيّن هيو ديكسون أنه بشكل عام، سيوجد توازن ناش للاستراتيجية المختلطة عند وجود تكاليف محدبة . ^{[ 3 ]} استخدم ديكسون في برهانه نظرية الوجود لبارثا داسغوبتا وإريك ماسكين . ^{[ 4 ]} بافتراض ديكسون للتكاليف المحدبة (بشكل ضعيف)، ستكون التكلفة الحدية غير متناقصة. يتوافق هذا مع دالة تكلفة تكون فيها التكلفة الحدية ثابتة لنطاق معين من الإنتاج، أو تكون فيها التكلفة الحدية متزايدة بسلاسة، أو حتى عندما يكون هناك خلل في التكلفة الإجمالية بحيث تشهد التكلفة الحدية قفزة مفاجئة لأعلى.

ظهرت عدة ردود على عدم وجود توازن الاستراتيجية البحتة الذي حدده فرانسيس يسيدرو إيدجوورث ومارتن شوبيك . وبينما أثبت هيو ديكسون وجود توازن الاستراتيجية المختلطة ، إلا أنه لم يكن من السهل تحديد شكل هذا التوازن بدقة. مع ذلك، تمكن ألين وهيلويغ ^{[ 5 ]} من إثبات أنه في سوق كبيرة تضم العديد من الشركات، يميل متوسط ​​السعر المحدد إلى سعر المنافسة.

لقد قيل إن الاستراتيجيات غير البحتة غير ممكنة في سياق نموذج برتراند-إيدجوورث. وقد تضمنت المناهج البديلة ما يلي:

• تختار الشركات الكمية التي ترغب في بيعها عند كل سعر. هذه لعبة يتم فيها اختيار السعر والكمية: كما أوضح ألين وهيلويغ ^{[ 6 ]،} وفي حالة أكثر عمومية من قبل هيو ديكسون ^{[ 7 ]،} أن سعر المنافسة الكاملة هو توازن الاستراتيجية البحتة الوحيد.
• يتعين على الشركات تلبية جميع الطلبات بالسعر الذي تحدده، كما اقترح كريشنيندو غوش داستيدار ^{[ 8 ]} ، أو تحمل تكلفة رفض العملاء ^{[ 9 ]} . ورغم أن هذا يضمن وجود توازن ناش للاستراتيجية البحتة، إلا أنه يأتي على حساب توليد توازنات متعددة. مع ذلك، وكما أوضح هيو ديكسون ، إذا كانت تكلفة رفض العملاء ضئيلة بما يكفي، فإن أي توازنات استراتيجية بحتة موجودة ستكون قريبة من التوازن التنافسي.
• تقديم مفهوم تمايز المنتجات ، كما اقترحه جان باسكال بيناسي. ^{[ 10 ]} هذا أقرب إلى توليفة من المنافسة الاحتكارية مع نموذج برتراند-إيدجوورث، لكن بيناسي أظهر أنه إذا كانت مرونة الطلب على إنتاج الشركات عالية بما فيه الكفاية، فإن أي توازن استراتيجي بحت موجود سيكون قريبًا من النتيجة التنافسية.
• "التسعير الصحيح" كما استكشفه هيو ديكسون ^{[ 11 ]} . بدلاً من التعامل مع السعر كمتغير مستمر ، يُعامل كمتغير منفصل . هذا يعني أن الشركات لا تستطيع خفض أسعارها عن بعضها البعض بمقدار ضئيل تعسفي، وهو أحد العناصر الضرورية التي تؤدي إلى عدم وجود توازن استراتيجي بحت. قد يؤدي هذا إلى ظهور توازنات استراتيجية بحتة متعددة، قد يكون بعضها بعيدًا عن سعر التوازن التنافسي. في الآونة الأخيرة، جمع برابال روي تشودري ^{[ 12 ]} مفهوم التسعير المنفصل مع فكرة أن الشركات تختار الأسعار والكميات التي ترغب في بيعها عند ذلك السعر، كما في نموذج ألين-هيلويغ.
• توازن إبسيلون في لعبة الاستراتيجية البحتة. ^{[ 13 ]} في توازن إبسيلون، يكون سعر كل شركة ضمن نطاق إبسيلون من سعرها الأمثل. إذا كان نطاق إبسيلون صغيرًا، فقد يُنظر إلى هذا على أنه توازن معقول، ربما بسبب تكاليف قائمة الطعام أو العقلانية المحدودة . بالنسبة لقيمة معينة${\displaystyle \varepsilon >0}$إذا كان هناك عدد كافٍ من الشركات، فإن توازن إبسيلون موجود (تعتمد هذه النتيجة على كيفية نمذجة الطلب المتبقي - الطلب الذي تواجهه الشركات ذات الأسعار الأعلى بالنظر إلى مبيعات الشركات ذات الأسعار المنخفضة).
• مجموعة الاستقرار قصير النظر . ^{[ 14 ]} تُقدّم مجموعة الاستقرار قصير النظر في اللعبة حلاً في الاستراتيجيات البحتة استنادًا إلى ديناميكيات استجابة أفضل. عندما تكون مجموعة توازنات ناش للاستراتيجيات البحتة غير فارغة - كما هو الحال عندما تكون السعات كبيرة أو صغيرة بما فيه الكفاية - فإنها تتطابق مع مجموعة الاستقرار قصير النظر. بالنسبة لمستويات السعة المتوسطة، يتضمن توازن ناش استراتيجيات مختلطة. في هذه الحالات، تُدرج جميع الأسعار ضمن نطاق توازن الاستراتيجية المختلطة في مجموعة الاستقرار قصير النظر. وبالتالي، تُوفّر مجموعة الاستقرار قصير النظر أساسًا بديلاً وموحدًا لفهم التسعير في أسواق الاحتكار القليل.

• إيدجوورث واحتكار القلة الحديث، نظرية كزافييه فيفس
• النظرية البحتة للاحتكار، فرانسيس إيدجوورث