مسابقة برتراند

نموذج بيرتراند للمنافسة هو نموذج يُستخدم في علم الاقتصاد، سُمّي نسبةً إلى جوزيف لويس فرانسوا بيرتراند (1822-1900). يصف هذا النموذج التفاعلات بين الشركات (البائعين) التي تحدد الأسعار وعملائها (المشترين) الذين يختارون الكميات بالأسعار المحددة. صاغ بيرتراند هذا النموذج عام 1883 في مراجعة لكتاب أنطوان أوغستين كورنو "أبحاث في المبادئ الرياضية لنظرية الثروة" (1838)، والذي طرح فيه كورنو نموذجه الخاص . ^{[ 1 ]} جادل نموذج كورنو بأن على كل شركة تعظيم أرباحها باختيار مستوى كمية معين، ثم تعديل مستوى السعر لبيع تلك الكمية. كانت نتيجة توازن النموذج تتمثل في تسعير الشركات أعلى من التكلفة الحدية؛ ومن هنا جاء السعر التنافسي. في مراجعته، جادل بيرتراند بأن على كل شركة، بدلاً من ذلك، تعظيم أرباحها باختيار مستوى سعر أقل من أسعار منافسيها، عندما تتجاوز أسعارهم التكلفة الحدية. ^{[ 2 ]} لم يتم وضع النموذج بشكل رسمي من قبل برتراند؛ ومع ذلك، تم تطوير الفكرة إلى نموذج رياضي بواسطة فرانسيس يسيدرو إيدجوورث في عام 1889. ^{[ 3 ]}

بالنظر إلى الإطار البسيط، فإن الافتراضات الأساسية لنموذج برتراند هي كما يلي:

• هناك${\displaystyle n}$الشركات (${\displaystyle i=1,2,...}$) يتنافسون في السوق وينتجون سلعًا متجانسة؛ أي منتجات متطابقة؛ ^{[ 4 ]}
• دالة الطلب في السوق${\displaystyle Q=D(p)}$حيث Q هو مجموع الكمية التي تنتجها الشركات${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}}$${\displaystyle Q_{i}}$، وهو مستمر ومنحدر للأسفل مع${\displaystyle D'(p)<0}$^{[ 5 ]} ؛
• التكلفة الحدية متناظرة،${\displaystyle c_{1}=c_{2}=...=c}$^{[ 6 ]} ؛
• لا تعاني الشركات من قيود على الطاقة الإنتاجية؛ أي أن كل شركة لديها القدرة على إنتاج ما يكفي من السلع لتلبية طلب السوق. ^{[ 7 ]}
• تقوم الشركات بتحديد الأسعار في وقت واحد، دون معرفة قرار الشركة الأخرى، ولا توجد تكلفة بحث للمستهلك: فالمستهلكون قادرون على ملاحظة أسعار الشركتين.

علاوة على ذلك، يمكن استنتاج ذلك بشكل بديهي عند النظر في قانون الطلب على المنافسة بين الشركات في السوق:

• ستستحوذ الشركة التي تحدد أقل سعر على السوق بأكمله؛ لأن المنتج متجانس ولا توجد تكلفة للتحول بالنسبة للعملاء؛ ^{[ 7 ]} و
• إذا كان السعر الذي تحدده الشركات هو نفسه،${\displaystyle p_{1}=p_{2}=...=p}$سيخدمون السوق بالتساوي ،${\displaystyle {\frac {p}{n}}}$[ ^{8 ]​}

في نموذج برتراند، يُمثل السعر التنافسي توازن ناش لقرارات التسعير الاستراتيجية. إذا حددت الشركتان سعرًا تنافسيًا عند التكلفة الحدية (تكلفة الوحدة)، فلن تحقق أي منهما أرباحًا. أما إذا قامت إحدى الشركتين بمطابقة سعرها مع التكلفة الحدية بينما رفعت الأخرى سعرها فوق تكلفة الوحدة، فلن تجني الأخيرة أي ربح، لأن المستهلكين سيختارون الخيار ذي السعر التنافسي. لا يوجد سيناريو تسعير آخر يحقق التوازن. يؤدي تحديد أسعار متطابقة أعلى من تكلفة الوحدة إلى حافز مزعزع للاستقرار يدفع كل شركة إلى خفض أسعارها عن الأخرى، بهدف الاستحواذ على السوق بالكامل وزيادة الأرباح بشكل كبير. ينشأ هذا الخلل في التوازن من تنافس الشركتين في سوق تتوافر فيه سلع بديلة، حيث يفضل المستهلكون المنتج الأرخص نظرًا لتطابق تفضيلاتهم. بالإضافة إلى ذلك، لا يتحقق التوازن عندما تحدد الشركتان أسعارًا مختلفة؛ فالشركة ذات السعر الأعلى لن تجني أي ربح، مما يدفعها إلى خفض أسعارها لمنافسة الشركة الأخرى. لذلك، يظهر التوازن الوحيد في نموذج برتراند عندما تحدد الشركتان سعرًا مساويًا لتكلفة الوحدة، وهو ما يُعرف بالسعر التنافسي. ^{[ 9 ]}

من المهم الإشارة إلى أن توازن برتراند هو توازن ناش ضعيف . لا تخسر الشركات شيئًا بانحرافها عن سعر المنافسة: فهو توازن ببساطة لأن كل شركة لا يمكنها تحقيق أرباح تتجاوز الصفر، نظرًا لأن الشركة الأخرى تحدد سعر المنافسة ومستعدة لتلبية جميع الطلبات عند هذا السعر.

يتميز نموذج برتراند للمنافسة السعرية في سوق احتكاري ثنائي ينتج سلعًا متجانسة بالخصائص التالية:

• اللاعبون: شركتان${\displaystyle i\in \{1,2\}}$مع تكلفة هامشية ثابتة ومشتركة${\displaystyle c,\ (c_{1}=c_{2})}$؛
• المتغيرات الاستراتيجية: كل شركة${\displaystyle i}$يحدد سعره الخاص${\displaystyle p_{i}}$.;
• التوقيت: لعبة تحركات متزامنة؛
• عوائد الشركة: الربح؛ و
• المعلومات: كاملة. ^{[ 5 ]}

تخيل دالة الطلب الكلي، التي تنحدر نحو الأسفل مع زيادة السعر${\displaystyle D(p)}$. حازم${\displaystyle i}$دالة الطلب الفردية لـ ' هي دالة لسعرها الخاص${\displaystyle p_{i}}$وسعر الشركة الأخرى${\displaystyle p_{j}}$[ ^{9 ]​}

${\displaystyle D_{i}(p_{i},p_{j})={\begin{cases}D(p_{i}),&{\text{إذا كان }}p_{i}<p_{j}\\{\frac {D(p_{i})}{2}},&{\text{إذا كان }}p_{i}=p_{j}\\0,&{\text{إذا كان }}p_{i}>p_{j}\end{cases}}}$

من المهم ملاحظة أن طلب السوق في هذه الحالة مستمر، بينما طلب الشركة غير مستمر، كما هو موضح في بيان الدالة أعلاه. وهذا يعني أن دالة ربح الشركة غير مستمرة أيضًا. ^{[ 5 ]} لذلك، فإن الشركة${\displaystyle i}$تهدف إلى تحقيق أقصى قدر من الربح، كما هو موضح أدناه، مع الأخذ في الاعتبار${\displaystyle p_{j}}$ كما هو معطى: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \pi _{i}(p_{i},p_{j})=(p_{i}-c)D_{i}(p_{i},p_{j})}$

من أجل الحصول على أفضل استجابة للشركة${\displaystyle i}$، يترك${\displaystyle p_{m}}$ليكن سعر الاحتكار الذي يحقق أقصى ربح إجمالي للصناعة، حيث${\displaystyle p^{m}=argmax_{p}(pc)D(p)}$هذه هي الاستراتيجية الأكثر ترشيداً. حتى في غياب المنافسة السعرية، لا يوجد لدى أي شركة حافز لرفع الأسعار فوق هذا الحد، لأن زيادة سعر الوحدة لا تبرر انخفاض الطلب بعد هذه النقطة.

انطلاقاً من هذه المعلومات، يمكننا بناء أفضل استجابة ممكنة :

• إذا اختار خصمك سعرًا أعلى من سعر الاحتكار، فعليك اختيار سعر الاحتكار.
• البيع بسعر أقل من التكلفة الحدية يؤدي إلى خسارة. إذا اختار خصمك سعرًا أقل من التكلفة الحدية، فعليك تحديد سعر أعلى منه لتخسر. لاحظ أنه لا يهم إذا اخترت أنت أيضًا سعرًا أقل من${\displaystyle c}$. سيكون الطلب وبالتالي الربح دائمًا صفرًا طالما اخترت سعرًا أعلى.
• إذا اختار خصمك${\displaystyle p_{j}=c}$أنت محايد بين مشاركة الطلب بهامش ربح صفري أو الحصول على طلب صفري بالخسارة. أي سعر${\displaystyle p_{i}\geq p_{j}=c}$هذا هو أفضل رد.
• إذا اختار خصمك سعرًا${\displaystyle p_{j}\in (c,p^{m}]}$قد يميل المرء إلى القول بأنه يجب عليه أن يقلل من قيمة خصمه بقيمة صغيرة جدًا${\displaystyle \epsilon }$(أي${\displaystyle p_{i}=p_{j}-\epsilon }$) لسرقة كل الطلب. مع أن هذا هو الحدس الصحيح، إلا أنه من الخطأ تضمينه في المراسلات. بغض النظر عن أي${\displaystyle \epsilon }$مهما كان اختيارك، يمكنك دائمًا إيجاد انحراف أصغر في الاستراتيجيات المستمرة. لذا، لا تُعدّ أيٌّ من هذه القيم الاستجابة الأمثل. وبالتالي، فإنّ الاستجابة الأمثل هي المجموعة الفارغة.${\displaystyle \emptyset }$.

يمكن تلخيص ذلك على النحو التالي: أفضل استجابة ممكنة:

${\displaystyle R_{i}(p_{j})={\begin{cases}\{p_{i}:p_{i}>p_{j}\}&{\text{ إذا كان }}p_{j}<c\\\{p_{i}:p_{i}\geq c\}&{\text{ إذا كان }}p_{j}=c\\\emptyset &{\text{ إذا كان }}p_{j}\in (c,p^{m}]\\\{p^{m}\}&{\text{ إذا كان }}p_{j}>p^{m}\\\end{cases}}}$

ينبغي أن يحقق توازن ناش ${\displaystyle \exists (p_{1},p_{2})}$بحيث${\displaystyle p_{1}\in R_{1}(p_{2})}$و${\displaystyle p_{2}\in R_{2}(p_{1})}$. بعبارة أخرى${\displaystyle p_{1}}$و${\displaystyle p_{2}}$ينبغي أن يكون هناك أفضل رد فعل متبادل بين الشركتين في الوقت نفسه. في التمثيل البياني لتطابق أفضل رد فعل للشركتين، يُعادل هذا النقاط التي يتقاطع عندها هذان الخطان. ​​ويحدث هذا فقط عند النقطة.${\displaystyle p_{1}=p_{2}=c}$هذا هو توازن ناش الفريد.

من المهم ملاحظة أن نموذج برتراند للمنافسة السعرية يؤدي إلى نتيجة تنافسية كاملة. ^{[ 7 ]} يُعرف هذا بمفارقة برتراند ؛ حيث يكفي وجود منافسين اثنين في السوق لتوليد أسعار تنافسية؛ ومع ذلك، فإن هذه النتيجة غير متسقة في العديد من الصناعات الواقعية. ^{[ 5 ]} نظريًا، يمكن أن تتأثر هذه النتيجة بتكاليف هامشية غير مشتركة أو غير ثابتة، وكذلك في حالة تكرار اللعبة إلى ما لا نهاية .

إذا كانت إحدى الشركات تتمتع بتكلفة متوسطة أقل (بفضل تقنية إنتاج متفوقة )، فإنها ستفرض أعلى سعر أقل من متوسط ​​تكلفة الشركة الأخرى (أي سعر أقل بقليل من أدنى سعر يمكن للشركة الأخرى تقديمه) وتستحوذ على كامل الصفقة. يُعرف هذا بـ "التسعير المحدود" .

يعتمد نموذج برتراند على بعض الافتراضات المتطرفة. على سبيل المثال، يفترض أن المستهلكين يرغبون في الشراء من الشركة الأقل سعرًا. وهناك أسباب عديدة تجعل هذا الافتراض غير صحيح في كثير من الأسواق، منها: المنافسة غير السعرية، وتمايز المنتجات ، وتكاليف النقل والبحث . على سبيل المثال، هل سيسافر شخص ما ضعف المسافة لتوفير 1% من سعر خضراواته؟ يمكن توسيع نموذج برتراند ليشمل تمايز المنتجات أو المواقع، ولكن حينها لن تتحقق النتيجة الرئيسية، وهي أن السعر ينخفض ​​إلى التكلفة الحدية. مع وجود تكاليف البحث، قد توجد توازنات أخرى غير سعر المنافسة، فقد يكون سعر الاحتكار أو حتى تباين الأسعار توازنات كما في نموذج "الصفقات والاستغلال" الكلاسيكي. ^{[ 11 ]}

يتجاهل النموذج أيضًا قيود الطاقة الإنتاجية. فإذا لم تكن لدى شركة واحدة القدرة على تزويد السوق بأكمله، فقد لا تصحّ معادلة "السعر يساوي التكلفة الحدية". بدأ فرانسيس يسيدرو إيدجوورث تحليل هذه الحالة ، وأصبح يُعرف بنموذج برتراند-إيدجوورث . في ظل قيود الطاقة الإنتاجية، قد لا يوجد توازن ناش للاستراتيجية البحتة، وهو ما يُعرف بمفارقة إيدجوورث . مع ذلك، يوجد عمومًا توازن ناش للاستراتيجية المختلطة، كما أوضح هيو ديكسون . ^{[ 12 ]}

علاوة على ذلك، انتقد بعض الاقتصاديين هذا النموذج لأنه يؤدي إلى نتائج غير عملية في الحالات التي يكون فيها للشركات تكاليف ثابتة${\displaystyle F}$وكما ذكرنا سابقاً، التكلفة الحدية الثابتة،${\displaystyle c}$وبالتالي، فإن التكلفة الإجمالية،${\displaystyle TC}$، من إنتاج${\displaystyle Q}$الوحدات هي،${\displaystyle TC=F+cQ}$كما هو موضح في النموذج الكلاسيكي، تنخفض الأسعار في نهاية المطاف إلى مستوى التكلفة الحدية، حيث تحقق الشركات ربحًا اقتصاديًا صفريًا ولا تجني أي هوامش ربح على الوحدات دون الحدية . وبالتالي، لا تستطيع الشركات استرداد أي تكاليف ثابتة. مع ذلك، إذا كان منحنى التكلفة الحدية للشركات متصاعدًا، فبإمكانها تحقيق ربح حدي على المبيعات دون الحدية، مما يساهم في استرداد التكاليف الثابتة. ^{[ 7 ]}

يوجد حافز كبير للتعاون في نموذج برتراند؛ التواطؤ لفرض سعر احتكاري ،${\displaystyle p_{m}}$وتقاسم السوق بالتساوي،${\displaystyle {\frac {p_{m}}{n}}}$، أين${\displaystyle n}$يمثل عدد الشركات في السوق. ^{[ 13 ]} ومع ذلك، فإن عدم التواطؤ وفرض التكلفة الحدية هو النتيجة غير التعاونية وتوازن ناش الوحيد في هذا النموذج. ^{[ 7 ]} لذلك، عند الانتقال من لعبة تحركات متزامنة إلى لعبة متكررة ذات أفق زمني لانهائي، يصبح التواطؤ ممكنًا بسبب نظرية فولك . ^{[ 14 ]}

يركز نموذجا برتراند وكورنو على جوانب مختلفة من العملية التنافسية، مما أدى إلى تحديد النموذج لمجموعات مختلفة من الآليات التي تُغير خصائص طلب السوق الذي تُظهره الشركات. يفترض نموذج كورنو أن السوق يُخصص المبيعات بما يُعادل كمية الإنتاج التي تُنتجها أي شركة، ولكن عند مستوى السعر الذي يُحدده السوق. بينما يفترض نموذج برتراند أن الشركة ذات السعر الأقل تستحوذ على جميع المبيعات في السوق. ^{[ 2 ]}

عند مقارنة النموذجين، تشير نظرية احتكار القلة إلى أن الصناعات في نموذج برتراند أكثر تنافسية من الصناعات في نموذج كورنو. ويعود ذلك إلى أن الكميات في نموذج كورنو تُعتبر بدائل استراتيجية ؛ أي أن أي زيادة في مستوى الإنتاج لدى شركة ما يُقابلها انخفاض في إنتاج المنافس. بينما تُعتبر الأسعار في نموذج برتراند مكملات استراتيجية ؛ إذ تُقاوم الشركة بشدة أي زيادة في مستوى الأسعار بخفض سعرها إلى ما دون أسعار المنافسين. ^{[ 15 ]}

علاوة على ذلك، يُنتقد كلا النموذجين بناءً على الافتراضات التي يستندان إليها مقارنةً بالواقع. مع ذلك، يمكن التوفيق بين نتائج النماذج الكلاسيكية من خلال طريقة تفكير مُوضحة أدناه. وبالنظر إلى التطبيق المُناسب لهذه النماذج في السوق:

• يُعد نموذج كورنو قابلاً للتطبيق في الأسواق التي يتعين على الشركة فيها اتخاذ قرار الإنتاج مسبقًا والالتزام ببيع مستوى الكمية المحدد؛ وبالتالي، من غير المرجح أن تتفاعل مع تقلبات كمية الإنتاج لدى المنافسين.
• يُعد نموذج برتراند قابلاً للتطبيق في الأسواق التي تتمتع فيها القدرة الإنتاجية بمرونة كافية، وتكون الشركات قادرة على تلبية أي طلب سوقي ينشأ عند مستوى السعر الذي تحدده. ^{[ 16 ]}

لا يُعدّ أيٌّ من النموذجين بالضرورة "أفضل" من الآخر. وتختلف دقة تنبؤات كل نموذج من قطاع إلى آخر، تبعًا لمدى قرب كل نموذج من واقع القطاع. فإذا كان من السهل تغيير الطاقة الإنتاجية والإنتاج، يُعدّ نموذج برتراند عمومًا أفضل نموذج لمنافسة الاحتكار الثنائي. أما إذا كان من الصعب تعديل الإنتاج والطاقة الإنتاجية، فإن نموذج كورنو يُعدّ عمومًا أفضل نموذج.

في ظل بعض الظروف، يمكن إعادة صياغة نموذج كورنو كنموذج من مرحلتين، حيث تختار الشركات في المرحلة الأولى القدرات، وفي المرحلة الثانية تتنافس على طريقة برتراند.

• نظرية القلة ببساطة ، الفصل السادس من كتاب "اقتصاديات ركوب الأمواج" لهيو ديكسون .
• النظرية البحتة للاحتكار، فرانسيس إيدجوورث
• مراجعة برتراند لكتابي والراس وكورنو