دالة لعدة متغيرات مركبة

دالة f معرفة على مجال${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$وبقيم في${\displaystyle \mathbb {C} }$يقال إنها متماثلة الشكل عند نقطة ما${\displaystyle z\in D}$إذا كانت قابلة للتفاضل المركب عند هذه النقطة، بمعنى أنه يوجد تطبيق خطي مركب${\displaystyle L:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$بحيث

${\displaystyle f(z+h)=f(z)+L(h)+o(\lVert h\rVert )}$

يقال إن الدالة f هي دالة تحليلية إذا كانت تحليلية عند جميع نقاط مجال تعريفها D.

إذا كانت f دالة تحليلية، فإن جميع التطبيقات الجزئية  :

${\displaystyle z\mapsto f(z_{1},\dots ,z_{i-1},z,z_{i+1},\dots ,z_{n})}$

تكون الدوال f تامة الشكل بالنسبة لمتغير عقدي واحد  : نقول إن f تامة الشكل بالنسبة لكل متغير على حدة. والعكس صحيح، إذا كانت f تامة الشكل بالنسبة لكل متغير على حدة، فإن f في الواقع تامة الشكل  : يُعرف هذا بنظرية هارتوغ ، أو بمبرهنة أوسغود في ظل الفرضية الإضافية بأن f متصلة .

في متغير مركب واحد، دالة${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$الدالة المعرفة على المستوى هي دالة تحليلية عند نقطة${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$إذا كان جزءًا حقيقيًا${\displaystyle u}$وجزئه الخيالي${\displaystyle v}$تحقق ما يسمى بمعادلات كوشي-ريمان عند${\displaystyle p,}$أي

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(p)={\frac {\partial v}{\partial y}}(p)\quad {\text{ و }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}(p)=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(p).}$$

في عدة متغيرات، دالة${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$تكون الدالة تامة الشكل إذا كانت تامة الشكل في كل متغير على حدة، وبالتالي إذا كان الجزء الحقيقي${\displaystyle u}$والجزء الخيالي${\displaystyle v}$ل${\displaystyle f}$تحقق معادلات كوشي ريمان

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial v}{\partial y_{j}}}\quad {\text{ و }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y_{j}}}=-{\frac {\partial v}{\partial x_{j}}},\quad j=1,\dots ,n.}$$

باستخدام صيغة مشتقات ويرتينجر ، يمكن إعادة صياغة ذلك على النحو التالي:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z_{j}}}}}=0,\quad j=1,\dots ,n}$$

أو حتى بشكل أكثر إيجازًا باستخدام صيغة الأشكال التفاضلية المعقدة ، كما${\displaystyle {\bar {\partial }}f=0.}$

أثبت كفاية الشرطين (أ) و(ب). لتكن f دالة متصلة ومتماثلة على حدة على المجال D. لكل قرص منحنى قابل للتقويم${\displaystyle \gamma }$،${\displaystyle \gamma _{\nu }}$هي نعومة متقطعة ، فئة${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$جوردان أغلق منحنى المنحنى. (${\displaystyle \nu =1,2,\ldots ,n}$) يترك${\displaystyle D_{\nu }}$ليكن المجال محاطًا بكل${\displaystyle \gamma _{\nu }}$إغلاق المنتج الديكارتي${\displaystyle {\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}}$يكون${\displaystyle {\overline {D_{1}}}\times {\overline {D_{2}}}\times \cdots \times {\overline {D_{n}}}\in D}$. خذ أيضًا القرص المتعدد المغلق${\displaystyle {\overline {\Delta }}}$بحيث يصبح${\displaystyle {\overline {\Delta }}\subset {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}$.${\displaystyle {\overline {\Delta }}(z,r)=\left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};\left|\zeta _{\nu }-z_{\nu }\right|\leq r_{\nu }{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ودع${\displaystyle \{z_{\nu }\}_{\nu =1}^{n}}$(ليكون مركز كل قرص.) باستخدام صيغة كوشي التكاملية لمتغير واحد بشكل متكرر،

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z_{1},\ldots ,z_{n})&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}{\zeta _{1}-z_{1}}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},z_{3},\ldots ,z_{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{n}}\,d\zeta _{n}\cdots \int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}.\end{aligned}}}$

لأن${\displaystyle \partial D}$بما أن f منحنى مغلق قابل للتصحيح في الأردن ^{[ ملاحظة 3 ]} و f دالة متصلة، فإنه يمكن تبديل ترتيب الضرب والجمع بحيث يمكن حساب التكامل المتكرر كتكامل متعدد . لذلك،

${\displaystyle f(z_{1},\dots ,z_{n})={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}.}$

1

صيغة كوشي للتقييم

بما أن ترتيب الضرب والجمع قابل للتبديل، فمن ( 1 ) نحصل على

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}={\frac {k_{1}!\cdots k_{n}!}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\zeta _{n}-z_{n})^{k_{n}+1}}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}.}$

2

f هي فئة${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$-وظيفة.

من (2)، إذا كانت f دالة تحليلية، على قرص متعدد${\displaystyle \left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};|\zeta _{\nu }-z_{\nu }|\leq r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$و${\displaystyle |f|\leq {M}}$، ومن ثم يتم الحصول على معادلة التقييم التالية.

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{{\partial z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}\right|\leq {\frac {Mk_{1}!\cdots k_{n}!}{{r_{1}}^{k_{1}}\cdots {r_{n}}^{k_{n}}}}.}$

لذلك، فإن نظرية ليوفيل صحيحة.

تحقق الدوال التحليلية لعدة متغيرات عقدية نظرية الهوية ، كما هو الحال في متغير واحد. دالتان تحليليتان معرفتان على نفس مجموعة المجال${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$الدوال التي تتطابق على مجموعة جزئية مفتوحة N من D ، تكون متساوية على المجموعة D بأكملها . يمكن إثبات هذه النتيجة من حقيقة أن الدوال التحليلية لها متسلسلات قوى. ويمكن استنتاجها أيضًا من حالة المتغير الواحد. على عكس حالة المتغير الواحد، من الممكن أن تتطابق دالتان تحليليتان مختلفتان على مجموعة تحتوي على نقطة تراكم، على سبيل المثال، الدوال${\displaystyle f(z_{1},z_{2})=0}$و${\displaystyle g(z_{1},z_{2})=z_{1}}$تتطابق على كامل الخط المعقد لـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$يُعرَّف بالمعادلة${\displaystyle z_{1}=0}$.

ينطبق أيضًا مبدأ القيمة القصوى، ونظرية الدالة العكسية، ونظريات الدوال الضمنية. وتُعدّ نظرية إعداد فايرشتراس بمثابة نظرية دالة ضمنية للمتغيرات المركبة.

انطلاقاً من إثبات نظرية الدالة العكسية، يمكن تعريف التعيين التالي.

بالنسبة للمجال U و V للفضاء المركب ذي الأبعاد n${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$، الدالة الهولومورفية التقابلية${\displaystyle \phi :U\to V}$والتحويل العكسي${\displaystyle \phi ^{-1}:V\to U}$وهو أيضاً دالة شكلية. في هذا الوقت،${\displaystyle \phi }$يُطلق عليه أيضًا اسم U و V ثنائي الشكل، ونقول أن U و V متكافئان ثنائي الشكل أو أنهما ثنائيا الشكل.

متى${\displaystyle n>1}$لا تُعتبر الكرات المفتوحة والأقراص المتعددة المفتوحة متكافئة ثنائيًا شكليًا، ^{[ 11 ]} على عكس حالة المتغير الواحد، حيث توجد نظرية ريمان للتطبيقات . وقد أثبت بوانكاريه ذلك عام 1907 من خلال إظهار أن مجموعات التشاكل الذاتي لها أبعاد مختلفة عن مجموعات لي . ^{[ 4 ] [ 12 ]} ومع ذلك، حتى في حالة وجود عدة متغيرات عقدية، توجد بعض النتائج المشابهة لنتائج نظرية التوحيد في متغير عقدي واحد. ^{[ 13 ]}

ليكن U و V مجالين على${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$بحيث${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$و${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$، (${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$(هي مجموعة/حلقة الدوال التحليلية على U. ) افترض أن${\displaystyle U,\ V,\ U\cap V\neq \varnothing }$و${\displaystyle W}$هو مكون متصل بـ${\displaystyle U\cap V}$. لو${\displaystyle f|_{W}=g|_{W}}$عندئذٍ يُقال إن f متصلة بـ V ، ويُقال إن g هي امتداد تحليلي لـ f . وبحسب نظرية الهوية، إذا وُجدت g ، فإنها تكون فريدة لكل طريقة لاختيار W. عندما n > 2، تحدث الظاهرة التالية اعتمادًا على شكل الحدود.${\displaystyle \partial U}$يوجد مجال U و V بحيث تكون جميع الدوال التحليلية${\displaystyle f}$على المجال U ، يكون لها امتداد تحليلي${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$بمعنى آخر، قد لا توجد دالة${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$بحيث${\displaystyle \partial U}$باعتبارها الحدود الطبيعية. تُعرف هذه الظاهرة بظاهرة هارتوغز. ولذلك، أصبح البحث في متى تصبح حدود المجال حدودًا طبيعية أحد المحاور البحثية الرئيسية للعديد من المتغيرات المعقدة. بالإضافة إلى ذلك، إذا${\displaystyle n\geq 2}$، وبالتالي فإن V المذكورة أعلاه لها جزء تقاطع مع U غير W. وقد ساهم هذا في تطوير مفهوم تماثل الحزم.

عندما يكون مجال رينهاردت الكامل هو مجال تقارب متسلسلة القوى، يلزم شرط إضافي يسمى محدب لوغاريتميًا.

يُطلق على مجال راينهارت D اسم المجال المحدب لوغاريتميًا إذا كانت الصورة${\displaystyle \lambda (D^{*})}$من المجموعة

${\displaystyle D^{*}=\{z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in D;z_{1},\dots ,z_{n}\neq 0\}}$

في إطار التخطيط

${\displaystyle \lambda ;z\rightarrow \lambda (z)=(\ln |z_{1}|,\dots ,\ln |z_{n}|)}$

هي مجموعة محدبة في فضاء الإحداثيات الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

كل نطاق من هذا القبيل في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$يمثل الجزء الداخلي من مجموعة نقاط التقارب المطلق لمتسلسلة قوى معينة في${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$، وبالعكس؛ مجال تقارب كل متسلسلة قوى في${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$هي مجال راينهارت محدب لوغاريتميًا مركزه${\displaystyle a=0}$^{[ ملاحظة 5 ]} ولكن ، هناك مثال على مجال راينهارت كامل D ليس محدبًا لوغاريتميًا. ^{[ 16 ]}

عندما تكون الدالة f تامة الشكل على المجال${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ولا يمكنها الاتصال مباشرة بالمجال خارج D ، بما في ذلك نقطة حدود المجال.${\displaystyle \partial D}$يُطلق على المجال D اسم مجال التحليل التام للدالة f ، ويُطلق على حدوده اسم الحدود الطبيعية للدالة f . بعبارة أخرى، مجال التحليل التام D هو الحد الأعلى للمجال الذي تكون فيه الدالة التحليلية f تحليلية، ولا يمكن تمديد المجال D ، وهو مجال تحليلي، إلى أي مدى آخر. بالنسبة لعدة متغيرات عقدية، أي مجال${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}\ (n\geq 2)}$قد لا تكون الحدود حدودًا طبيعية. تُقدّم نظرية هارتوغز للتمديد مثالًا على مجال لا تكون فيه الحدود حدودًا طبيعية. ^{[ 40 ]}

بصورة رسمية، مجال D في فضاء الإحداثيات المركبة ذي الأبعاد n${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$يُطلق على المجال اسم مجال التماثل التام إذا لم يكن هناك مجال غير فارغ${\displaystyle U\subset D}$و${\displaystyle V\subset \mathbb {C} ^{n}}$،${\displaystyle V\not \subset D}$و${\displaystyle U\subset D\cap V}$بحيث أنه لكل دالة تحليلية f على D توجد دالة تحليلية g على V مع${\displaystyle f=g}$على يو .

لـ${\displaystyle n=1}$في كل حالة، كل مجال (${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$) هو مجال للتحليل التام؛ يمكننا إيجاد دالة تحليلية ليست صفرًا تمامًا، ولكن أصفارها تتراكم في كل مكان على حدود المجال، والتي يجب أن تكون بعد ذلك حدودًا طبيعية لمجال تعريف مقلوبها.

يترك${\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}$ليكن مجالًا، أو بصيغة أخرى لتعريف أكثر عمومية، ليكن${\displaystyle G}$كن${\displaystyle n}$مشعب تحليلي معقد ذو أبعاد . لنفترض أيضًا${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$يرمز إلى مجموعة الدوال التحليلية على G. بالنسبة لمجموعة مضغوطة${\displaystyle K\subset G}$، الغلاف المحدب الهولومورفي لـ K هو

${\displaystyle {\hat {K}}_{G}=\left\{z\in G;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|{\text{ for all }}f\in {\mathcal {O}}(G)\right\}.}$

يمكن الحصول على مفهوم أضيق للغلاف المحدب متعدد الحدود عن طريق أخذ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$بدلاً من ذلك، يمكن أن تكون مجموعة الدوال متعددة الحدود ذات القيم المركبة على G. يحتوي الغلاف المحدب متعدد الحدود على الغلاف المحدب الهولومورفي.

المجال${\displaystyle G}$يُطلق عليها اسم محدبة شكليًا إذا كان لكل مجموعة جزئية مضغوطة${\displaystyle K,{\hat {K}}_{G}}$وهي أيضًا متراصة في G. أحيانًا يتم اختصارها ببساطة إلى holomorph-convex .

متى${\displaystyle n=1}$كل مجال${\displaystyle G}$يكون محدبًا شكليًا منذ ذلك الحين${\displaystyle {\hat {K}}_{G}}$هو اتحاد K مع المكونات المدمجة نسبيًا لـ${\displaystyle G\setminus K\subset G}$.

متى${\displaystyle n\geq 1}$إذا كانت الدالة f تحقق التحدب الهولومورفي المذكور أعلاه على D، فإنها تتمتع بالخصائص التالية.${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})={\text{dist}}({\hat {K}}_{D},D^{c})}$لكل مجموعة جزئية مضغوطة K في D ، حيث ${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})}$يشير إلى المسافة بين K و${\displaystyle D^{c}=\mathbb {C} ^{n}\setminus D}$كذلك، في هذه الحالة، D هي مجال ذو شكل تام. لذلك، كل مجال محدب${\displaystyle (D\subset \mathbb {C} ^{n})}$هو مجال التماثل التام. ^{[ 4 ]}

أظهر هارتوغز أن

هارتوغز: ^{[ 18 ]} ليكن D مجال هارتوغز على${\displaystyle \mathbb {C} }$ولتكن R دالة موجبة على D بحيث تكون المجموعة${\displaystyle \Omega }$في${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$محدد بواسطة${\displaystyle z_{1}\in D}$و${\displaystyle |z_{2}|<R(z_{1})}$هو مجال من مجالات التماثل التام. إذن${\displaystyle -\log {R}(z_{1})}$هي دالة فرعية توافقية ^على D. [ ^{3 ]}

إذا تحققت هذه العلاقة في مجال التماثل التام لعدة متغيرات عقدية، فإنها تبدو شرطًا أسهل من شرط التماثل التام المحدب. ^{[ ملاحظة 8 ]} تبدو الدالة شبه التوافقية كنوع من الدوال المحدبة ، لذا أطلق عليها ليفي اسم المجال شبه المحدب (التماثل شبه المحدب لهارتوغ). تُعد المجالات شبه المحدبة (حدود التماثل شبه المحدب) مهمة، إذ تسمح بتصنيف مجالات التماثل التام. مجال التماثل التام خاصية شاملة، في المقابل، التماثل شبه المحدب خاصية تحليلية محلية أو هندسية محلية لحدود المجال. ^{[ 43 ]}

لنطاق${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$الشروط التالية متكافئة: ^{[ ملاحظة 11 ]}

1. D هو نطاق من التماثل التام.
2. D محدبة شكليًا.
3. D هو اتحاد سلسلة متزايدة من متعددات السطوح التحليلية في D.
4. D محدب زائفاً.
5. D محدبة زائفة محلياً.

الآثار المترتبة${\displaystyle 1\Leftrightarrow 2\Leftrightarrow 3}$، ^{[ ملاحظة 12 ]}${\displaystyle 1\Rightarrow 4}$، ^{[ ملاحظة 13 ]} و${\displaystyle 4\Rightarrow 5}$نتائج قياسية. إثبات${\displaystyle 5\Rightarrow 1}$أي بناء دالة تحليلية شاملة لا تقبل أي امتداد من دوال غير قابلة للامتداد معرفة محليًا فقط، وتسمى مسألة ليفي (نسبةً إلى إي إي ليفي ) وقد تم حلها لمجالات ريمان غير المتفرعة على${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$بواسطة كيوشي أوكا، ^{[ ملاحظة 14 ]} ولكن بالنسبة لمجالات ريمان المتفرعة، فإن التحدب الزائف لا يميز التحدب التام الشكلي، ^{[ 63 ]} ثم بواسطة لارس هورماندر باستخدام طرق من التحليل الوظيفي والمعادلات التفاضلية الجزئية (نتيجة لـ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$-المسألة (المعادلة) باستخدام طريقتين من نوع L2 ⁾ . ^{[ 64 ] [ 40 ] [ 2 ] [ 65 ]}

قدّم أوكا مفهومًا أطلق عليه اسم "مثالي المجالات غير المحددة" أو "مثالي المجالات غير المحددة". ^{[ 31 ] [ 32 ]} وهو تحديدًا مجموعة${\displaystyle (I)}$أزواج${\displaystyle (f,\delta )}$،${\displaystyle f}$هولومورفي على مجموعة مفتوحة غير فارغة${\displaystyle \delta }$بحيث

1. لو${\displaystyle (f,\delta )\in (I)}$و${\displaystyle (a,\delta ')}$إذا كان الأمر اعتباطيًا،${\displaystyle (af,\delta \cap \delta ')\in (I)}$.
2. لكل${\displaystyle (f,\delta ),(f',\delta ')\in (I)}$، ثم${\displaystyle (f+f',\delta \cap \delta ')\in (I).}$

ينشأ مفهوم المجالات غير المحددة من حقيقة أن المجالات تتغير تبعًا للزوج${\displaystyle (f,\delta )}$ترجم كارتان ^{[ 33 ] [ 34 ]} هذا المفهوم إلى مفهوم الحزمة المتماسكة (وخاصةً الحزمة التحليلية المتماسكة) في علم تماثل الحزم. [ ^{65 ] [ 66 ] هذا} الاسم مشتق من اسم هـ. كارتان. ^{[ 67 ]} كما أدخل سير (1955) مفهوم الحزمة المتماسكة في الهندسة الجبرية، أي مفهوم الحزمة الجبرية المتماسكة. ^{[ 68 ]} ساعد مفهوم التماسك ( علم تماثل الحزم المتماسكة ) في حل المشكلات المتعلقة بالعديد من المتغيرات المركبة. ^{[ 36 ]}

في حالة الدوال المركبة ذات المتغير الواحد، استطاعت نظرية ميتاغ-ليفلر إنشاء دالة ميرومورفية شاملة من أجزاء رئيسية معطاة (مسألة كوزين الأولى)، كما استطاعت نظرية تحليل فايرشتراس إنشاء دالة ميرومورفية شاملة من أصفار أو موضع أصفار معطاة (مسألة كوزين الثانية). مع ذلك، لا تنطبق هاتان النظريتان على الدوال المركبة ذات المتغيرات المتعددة، لأن نقاط التفرد في الدالة التحليلية في هذه الحالة ليست نقاطًا معزولة؛ تُعرف هذه المسائل بمسائل كوزين، وتُصاغ بدلالة تماثل الحزم. وقد طُرحت هذه المسائل لأول مرة في حالات خاصة من قِبل بيير كوزين عام ١٨٩٥. ^{[ ٧٧ ]} وقد بيّن أوكا شروط حل مسألة كوزين الأولى لمجال التماثل ^{[ ملاحظة ١٥ ]} على فضاء الإحداثيات المركبة، ^{[ ٨٠ ] [ ٨١ ] [ ٧٨ ] [ ملاحظة ١٦ ]} كما حلّ مسألة كوزين الثانية بافتراضات طوبولوجية إضافية. مسألة ابن العم هي مسألة تتعلق بالخصائص التحليلية للمشعبات المعقدة، لكن العوائق الوحيدة أمام حل مسائل الخصائص التحليلية المعقدة هي عوائق طوبولوجية بحتة؛ ^{[ 78 ] [ 36 ] [ 28 ]} أطلق سير على هذا مبدأ أوكا . ^{[ 82 ]} تُطرح هذه المسائل وتُحل الآن لأي مشعب معقد M ، بدلالة شروط على M. يُعد M ، الذي يحقق هذه الشروط ، إحدى طرق تعريف مشعب شتاين. لقد جعلتنا دراسة مسألة ابن العم ندرك أنه في دراسة عدة متغيرات معقدة، من الممكن دراسة الخصائص العامة من خلال تجميع البيانات المحلية، ^{[ 33 ]} أي أنها طورت نظرية تماثل الحزم. (على سبيل المثال، ندوة كارتان. ^{[ 39 ]} ) ^{[ 36 ]}