منحنى برينغ

يرتبط منحنى برينغ بالمجسم النجمي الصغير ذي الاثني عشر وجهاً والمجسم ذي الاثني عشر وجهاً . ^{[ 1 ]}

في الرياضيات ، يُعرف منحنى برينغ (ويُسمى أيضًا سطح برينغ ، وبالقياس على منحنى كلاين الرباعي ، يُسمى منحنى برينغ السداسي ) بأنه سطح ريمان شديد التناظر . ويمكن تعريفه كمنحنى جبري باستخدام خمسة أعداد مركبة كإحداثيات إسقاطية ، كمنحنى فضائي في الفضاء الإسقاطي رباعي الأبعاد .${\displaystyle \mathbb {P} _{4}(\mathbb {C} )}$تم اقتطاعها بواسطة المعادلات المتجانسة $${\displaystyle v+w+x+y+z=v^{2}+w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=v^{3}+w^{3}+x^{3}+y^{3}+z^{3}=0.}$$ أطلق عليه كلاين (2003 ، ص 157) هذا الاسم نسبةً إلى إرلاند صموئيل برينغ الذي درس بناءً مشابهًا عام 1786 في أطروحة قُدِّمت إلى جامعة لوند . لاحظ أن جذور المعادلة الخماسية برينغ هي xᵢ _.${\displaystyle x^{5}+ax+b=0}$يفي بمنحنى برينغ لأنه${\displaystyle \sum _{i=1}^{5}x_{i}^{k}=0}$ل${\displaystyle k=1,2,3.}$

مجموعة التشاكل الذاتي للمنحنى هي المجموعة المتناظرة S⁵ من الرتبة 120 _، والتي تُعطى بتباديل الإحداثيات الخمسة. هذه هي أكبر مجموعة تشاكل ذاتي ممكنة لمنحنى معقد من النوع 4.

يمكن تمثيل المنحنى كغطاء ثلاثي للكرة متفرع في 12 نقطة، وهو سطح ريمان المرتبط بالمجسم النجمي ذي الاثني عشر وجهًا الصغير . جنسه 4. مجموعة التناظرات الكاملة (بما في ذلك الانعكاسات) هي حاصل الضرب المباشر.${\displaystyle S_{5}\times \mathbb {Z} _{2}}$، والتي تحمل رقم الطلب 240.

يمكن أيضًا نمذجة المنحنى بواسطة منحنى المستوى المفرد ^{[ 2 ]} في${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle X(Y^{5}+Z^{5})+(XYZ)^{2}-X^{4}YZ-2(YZ)^{3}=0.}$

تم استخدام هذا الشكل من قبل هوليك ^{[ 3 ]} وكريج ^{[ 4 ]} لدراسة الخصائص المعيارية للمنحنى.

يمكن الحصول على منحنى برينغ كسطح ريمان عن طريق ربط أضلاع مضلع عشريني زائدي (انظر المضلع الأساسي ). يُوضح نمط التحديد في الرسم التخطيطي المجاور. المضلع العشري (مساحته${\displaystyle 12\pi }$يمكن تقسيم السطح (بحسب نظرية غاوس-بونيه ) إلى 240 مثلثًا من النوع (2، 4، 5). وتُعطي العمليات التي تنقل أحد هذه المثلثات إلى آخر المجموعة الكاملة من التشاكلات الذاتية للسطح (بما في ذلك الانعكاسات). وباستبعاد الانعكاسات، نحصل على 120 تشاكلًا ذاتيًا كما ذُكر في المقدمة. لاحظ أن 120 أقل من 252، وهو الحد الأقصى لعدد التشاكلات الذاتية التي تحافظ على الاتجاه والمسموح بها لسطح من النوع 4، وفقًا لنظرية هورويتز للتشاكل الذاتي . لذا، فإن سطح برينغ ليس سطح هورويتز . وهذا يُشير أيضًا إلى عدم وجود سطح هورويتز من النوع 4.

تتميز المجموعة الكاملة من التناظرات بالعرض التالي:

${\displaystyle \langle r,\,s,\,t\,|\,r^{5}=s^{2}=t^{2}=rtrt=stst=(rs)^{4}=(sr^{3}sr^{2})^{2}=e\rangle }$،

أين${\displaystyle e}$هو فعل الهوية،${\displaystyle r}$هي دوران من الرتبة 5 حول مركز المضلع الأساسي،${\displaystyle s}$هي دوران من الرتبة الثانية عند الرأس الذي تلتقي فيه 4 مثلثات (2، 4، 5) في التبليط، و${\displaystyle t}$هو انعكاس في خط الأعداد الحقيقية. من خلال هذا العرض، يمكن حساب معلومات حول نظرية التمثيل الخطي لمجموعة التناظر لسطح برينغ باستخدام GAP . على وجه الخصوص، تحتوي المجموعة على أربعة تمثيلات غير قابلة للاختزال أحادية البعد، وأربعة رباعية الأبعاد، وأربعة خماسية الأبعاد، واثنين سداسية الأبعاد، ولدينا

${\displaystyle 4(1^{2})+4(4^{2})+4(5^{2})+2(6^{2})=4+64+100+72=240}$

كما هو متوقع.

يبلغ طول الانقباض السطحي

${\displaystyle 12\sinh ^{-1}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)}}\right)\approx 4.60318}$

وبتعددية 20، حلقة جيوديسية بهذا الطول تتكون من الارتفاعات المتسلسلة لاثني عشر مثلثًا من أصل 240 مثلثًا (2، 4، 5). على غرار سطح كلاين الرباعي ، لا يُعظّم سطح برينغ طول الانقباض بين أسطح ريمان المدمجة في فئته الطوبولوجية (أي الأسطح التي لها نفس الجنس) على الرغم من تعظيم حجم مجموعة التشاكل الذاتي. من المفترض أن يكون الانقباض مُعظّمًا بواسطة السطح المشار إليه باسم M4 في ( شموتز 1993 ) . طول الانقباض لـ M4 هو

${\displaystyle 2\cosh ^{-1}\left({\tfrac {1}{2}}(5+3{\sqrt {3}})\right)\approx 4.6245,}$

وله تعددية 36.

لا يُعرف الكثير عن النظرية الطيفية لسطح برينغ، إلا أنها قد تكون ذات أهمية في هذا المجال. يمتلك سطح بولزا وسطح كلاين الرباعي أكبر مجموعات تناظر بين أسطح ريمان المدمجة ذات الانحناء السالب الثابت في الجنسين 2 و3 على التوالي، ولذا يُفترض أنهما يُعظمان القيمة الذاتية الموجبة الأولى في طيف لابلاس. توجد أدلة عددية قوية تدعم هذه الفرضية، لا سيما في حالة سطح بولزا، مع أن تقديم برهان دقيق لا يزال يُمثل تحديًا. وبناءً على هذا النمط، يُمكن افتراض أن سطح برينغ يُعظم القيمة الذاتية الموجبة الأولى لمؤثر لابلاس (بين الأسطح في فئته الطوبولوجية).

• سطح بولزا
• الرباعي كلاين
• سطح ماكبيث
• أول توأم هورويتز

• إحضار إرلاند صموئيل؛ سوميليوس، سفين غوستاف (1786)، Meletemata quædam mathematica circa Transformem æquationem algebraicarum ، Promotionsschrift، جامعة لوند
• إيدج، دبليو إل (1978)، "منحنى برينغ"، مجلة جمعية لندن الرياضية ، 18 (3): 539-545 ، doi : 10.1112/jlms/s2-18.3.539 ، ISSN 0024-6107 ، MR 0518240  
• كلاين، فيليكس (2003) [1884]، محاضرات حول المجسم العشري الوجوه وحل معادلات الدرجة الخامسة ، منشورات دوفر فينيكس، نيويورك: منشورات دوفر ، رقم ISBN 978-0-486-49528-6، MR 0080930 
• رييرا، جي.؛ رودريغيز، ر. (1992)، "مصفوفات دورة منحنى برينغ" (ملف PDF) ، مجلة باسيفيك للرياضيات ، 154 (1): 179-200 ، doi : 10.2140/pjm.1992.154.179 ، MR 1154738 
• شموتز، ب. (1993)، "أسطح ريمان ذات أقصر مسار جيوديسي ذي طول أقصى"، GAFA ، 3 (6): 564-631 ، doi : 10.1007/BF01896258
• ويبر، ماتياس (2005)، "مجسم كبلر النجمي الصغير ذو الاثني عشر وجهًا كسطح ريمان" ، مجلة باسيفيك للرياضيات ، 220 : 167-182 ، doi : 10.2140/pjm.2005.220.167