مجسم نجمي صغير ذو اثني عشر وجهًا

في الهندسة ، يُعرف المجسم النجمي الصغير ذو الاثني عشر وجهًا باسم متعدد السطوح كبلر-بوانسو ، وقد سماه آرثر كايلي بهذا الاسم ، ورمزه في شلافلي هو {5/2 , 5 } . وهو أحد أربعة متعددات سطوح منتظمة غير محدبة . ويتكون من 12 وجهًا خماسيًا ، حيث تلتقي خمسة نجوم خماسية عند كل رأس.

يشترك هذا الشكل في نفس ترتيب الرؤوس مع المجسم العشري الوجوه المنتظم المحدب . كما يشترك في نفس ترتيب الحواف مع المجسم العشري الوجوه الكبير ، الذي يشكل معه شكلاً مركباً منتظماً متدهوراً .

وهو ثاني أربعة أشكال نجمية للمجسم ذي الاثني عشر وجهاً (بما في ذلك المجسم الأصلي ذي الاثني عشر وجهاً نفسه).

يمكن بناء الشكل النجمي الصغير ذي الاثني عشر وجهًا بشكل مشابه للخماسي، وهو نظيره ثنائي الأبعاد، من خلال تمديد الحواف (الوجوه 1) للمضلع الأساسي حتى يتم الوصول إلى نقطة تتقاطع فيها.

يُبنى المجسم النجمي الصغير ذو الاثني عشر وجهًا عن طريق إلحاق اثني عشر هرمًا خماسيًا بأوجه مجسم منتظم ذي اثني عشر وجهًا. ^{[ 1 ]} لنفترض أن الأوجه الخماسية النجمية تُعتبر خمسة أوجه مثلثية. في هذه الحالة، يشترك المجسم في نفس بنية السطح مع المجسم الخماسي ذي الاثني عشر وجهًا ، ولكن بأوجه مثلثية متساوية الساقين أطول بكثير ، مع تعديل ارتفاع الأهرامات الخماسية بحيث تصبح المثلثات الخمسة في النجمة الخماسية متحدة المستوى. الزاوية الحرجة هي atan(2) فوق وجه المجسم ذي الاثني عشر وجهًا. وبالمثل، يحدث هذا عندما يكون ارتفاع الأهرامات مساويًا لـ$\displaystyle \cot(36^{\circ })={\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}}}$^{[ 2 ]} مضروبًا في طول حافة المجسم ذي الاثني عشر وجهًا.

بالنسبة للمجسم النجمي الصغير ذي الاثني عشر وجهًا، والذي يحتوي على 12 نجمة خماسية كأوجه، وتلتقي هذه النجوم الخماسية عند 30 ضلعًا و12 رأسًا، يمكن حساب جنسه باستخدام صيغة أويلر.$${\displaystyle V-E+F=2-2g}$$ ويستنتج أن المجسم النجمي الصغير ذو الاثني عشر وجهًا له جنس 4. ^{[ 3 ]} كانت هذه الملاحظة، التي قدمها لويس بوينسو ، مربكة في البداية، لكن فيليكس كلاين أظهر في عام 1877 أن المجسم النجمي الصغير ذو الاثني عشر وجهًا يمكن اعتباره غطاءً متفرعًا لكرة ريمان بواسطة سطح ريمان من الجنس 4، مع نقاط تفرع في مركز كل نجمة خماسية. يتميز سطح ريمان هذا، المسمى منحنى برينغ ، بأكبر عدد من التناظرات من بين جميع أسطح ريمان من الجنس 4: المجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{5}}$^{[ 4 ]} تعمل كتحويلات ذاتية.

المجسم الثنائي لمجسم نجمي صغير ذي اثني عشر وجهاً هو المجسم الكبير ذو الاثني عشر وجهاً الذي يشترك معه في نفس عدد الرؤوس والحواف والوجوه. ^{[ 5 ]}

مجسم نجمي صغير ذو اثني عشر وجهًا (أعلى وأسفل اليسار) في لوحة " هارمونيسيس موندي " ليوهانس كيبلر

فسيفساء أرضية من تصميم باولو أوتشيلو

يمكن رؤية أشكال اثني عشرية صغيرة منقطة في العصور القديمة، كما في لوحة " هارمونيسيس موندي" ليوهانس كيبلر ، وفي فسيفساء أرضية في كاتدرائية القديس مرقس لباولو أوتشيلو حوالي عام 1430. [ ^{6 ] ويُعدّ} الشكل نفسه محورياً في لوحتين مطبوعتين حجريتين للفنان إم سي إيشر : "التناقض (النظام والفوضى)" (1950) و "الجاذبية" (1952). ^{[ 7 ]}

بالنسبة لمجسم نجمي صغير ذي اثني عشر وجهًا بطول حافة E ،

إنراديوس :	${\displaystyle \quad E\times {\frac {\sqrt {250+110{\sqrt {5}}}}{2}}}$
منتصف القطر :	${\displaystyle \quad E\times {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}}}$
نصف القطر المحيطي :	${\displaystyle \quad E\times {\frac {\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}{4}}}$
مساحة السطح :	${\displaystyle \quad E^{2}\times 15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$
مقدار :	${\displaystyle \quad E^{3}\times {\frac {35+15{\sqrt {5}}}{4}}}$

غلافه المحدب هو المجسم العشري الوجوه المحدب المنتظم . كما أنه يشترك في حوافه مع المجسم العشري الوجوه الكبير ؛ والمركب الذي يضم كليهما هو المجسم العشري الوجوه المعقد الكبير .

توجد أربعة أشكال متعددة السطوح منتظمة مترابطة، تُبنى كدرجات من القطع. الشكل الثنائي هو مجسم ذو اثني عشر وجهًا كبيرًا . أما المجسم ذو الاثني عشر وجهًا فهو شكل مُقَصَّر، حيث تُقطع الحواف إلى نقاط.

يمكن اعتبار المجسم النجمي الصغير المبتور متعدد السطوح المنتظم المتدهور ، نظرًا لتطابق حوافه ورؤوسه، ولكنه مُدرج هنا من باب الإكمال. يبدو ظاهريًا كمجسم نجمي منتظم ، ولكنه يحتوي على 24 وجهًا في أزواج متداخلة. تُقطع الرؤوس المدببة حتى تصل إلى مستوى النجمة الخماسية أسفلها. تتكون الأوجه الـ 24 من 12 خماسيًا ناتجًا عن الرؤوس المبتورة ، و12 عشاريًا تأخذ شكل خماسيات ملتفة مرتين تتداخل مع الخماسيات الـ 12 الأولى. تتشكل الأوجه الأخيرة باقتطاع النجوم الخماسية الأصلية. عند اقتطاع مضلع { n / d } ، يصبح مضلعًا { 2n / d } . على سبيل المثال، يصبح الشكل الخماسي المقطوع { 5 ⁄ 1 } شكلاً عشرياً { 10 ⁄ 1 } ، لذا فإن قطع النجمة الخماسية { 5 ⁄ 2 } يصبح شكلاً خماسياً مزدوج اللف { 10 ⁄ 2 } (العامل المشترك بين 10 و 2 يعني أننا نزور كل رأس مرتين لإكمال المضلع).

v ت هـ تشكيلات نجمية من المجسم ذي الاثني عشر وجهًا
المجسم الأفلاطوني	مواد كيبلر-بوينسو الصلبة
مجسم ذو اثني عشر وجهًا	مجسم نجمي صغير ذو اثني عشر وجهًا	مجسم ذو اثني عشر وجهًا كبيرًا	مجسم نجمي كبير ذو اثني عشر وجهًا

اسم	مجسم نجمي صغير ذو اثني عشر وجهًا	مجسم صغير مقطوع ذو اثني عشر وجهًا نجميًا	مجسم ذو اثني عشر وجهًا	مجسم دوديكاهرول كبير مبتور	مجسم ذو اثني عشر وجهًا كبيرًا
مخطط كوكسيتر-دينكين
صورة

• مركب من مجسم نجمي صغير ذي اثني عشر وجهاً ومجسم نجمي كبير ذي اثني عشر وجهاً

• وينينجر، ماغنوس (1974). نماذج متعددة السطوح . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-09859-9.
• ويبر، ماتياس (2005)، "مجسم كبلر النجمي الصغير ذو الاثني عشر وجهًا كسطح ريمان" ، مجلة باسيفيك للرياضيات ، 220 : 167-182 ، doi : 10.2140/pjm.2005.220.167

• وايسشتاين، إريك دبليو ، " مجسم نجمي صغير ذو اثني عشر وجهًا " (" مجسم متعدد الأوجه منتظم ") في عالم الرياضيات .