الفعل (الفيزياء)

فعل
الرموز الشائعة	س
وحدة النظام الدولي للوحدات	جول ثانية
وحدات أخرى	جول⋅هرتز -1
في وحدات النظام الدولي للوحدات الأساسية	كجم⋅م2⋅ثانية −1​​
البعد	${\displaystyle {\mathsf {M}}\cdot {\mathsf {L}}^{2}\cdot {\mathsf {T}}^{-1}}$

في الفيزياء، الفعل هو كمية قياسية تصف كيف يتغير توازن الطاقة الحركية مقابل الطاقة الكامنة لنظام فيزيائي مع المسار. الفعل مهم لأنه مدخل لمبدأ الفعل الثابت ، وهو نهج للميكانيكا الكلاسيكية أبسط للأجسام المتعددة. ^[1] يتم استخدام الفعل ومبدأ التباين في صياغة فاينمان لميكانيكا الكم ^[2] وفي النسبية العامة. ^[3] بالنسبة للأنظمة ذات قيم الفعل الصغيرة المشابهة لثابت بلانك ، تكون التأثيرات الكمومية مهمة. ^[4]

في الحالة البسيطة لجسيم واحد يتحرك بسرعة ثابتة (وبالتالي يخضع لحركة خطية منتظمة )، يكون الفعل هو زخم الجسيم مضروبًا في المسافة التي يقطعها، مضافة على طول مساره؛ وعلى نحو مكافئ، يكون الفعل هو الفرق بين الطاقة الحركية للجسيم وطاقته الكامنة ، مضروبًا في المدة التي يحتفظ فيها بهذا القدر من الطاقة.

بشكل أكثر رسمية، الفعل هو دالة رياضية تأخذ مسار النظام (يُسمى أيضًا المسار أو التاريخ) كحجة لها ولها عدد حقيقي كنتيجة لها. بشكل عام، يأخذ الفعل قيمًا مختلفة لمسارات مختلفة. ^[5] الفعل له أبعاد الطاقة  ×  الزمن أو الزخم  ×  الطول ، ووحدته في النظام الدولي للوحدات هي جول - ثانية (مثل ثابت بلانك h ). ^[6]

غالبًا ما تبدأ الفيزياء التمهيدية بقوانين نيوتن للحركة ، التي تربط بين القوة والحركة؛ والفعل هو جزء من نهج بديل مكافئ تمامًا مع مزايا عملية وتعليمية. ^[1] ومع ذلك، استغرق المفهوم عقودًا عديدة ليحل محل النهج النيوتوني ويظل تحديًا لتقديمه للطلاب. ^[7]

بالنسبة لمسار كرة البيسبول المتحركة في الهواء على الأرض، يتم تعريف الفعل بين نقطتين في الزمن، وعلى أنه الطاقة الحركية (KE) مطروحًا منها الطاقة الكامنة (PE)، متكاملة على مدار الوقت. ^[4]${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left(KE(t)-PE(t)\right)dt}$

يوازن الفعل بين الطاقة الحركية والطاقة الكامنة. ^[4] الطاقة الحركية لكرة البيسبول ذات الكتلة هي حيث هي سرعة الكرة؛ والطاقة الكامنة هي حيث هو ثابت الجاذبية. ثم يكون الفعل بين و${\displaystyle م}$${\displaystyle (1/2)mv^{2}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle mgx}$${\displaystyle g}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}(t)-mgx(t)\right)dt}$

تعتمد قيمة الفعل على المسار الذي اتخذته كرة البيسبول عبر و . وهذا يجعل الفعل مدخلاً لمبدأ الفعل الثابت القوي للميكانيكا الكلاسيكية والكمية . يمكن اشتقاق معادلات نيوتن للحركة لكرة البيسبول من الفعل باستخدام مبدأ الفعل الثابت، لكن مزايا الميكانيكا القائمة على الفعل لا تبدأ في الظهور إلا في الحالات التي يصعب فيها تطبيق قوانين نيوتن. استبدل كرة البيسبول بإلكترون: تفشل الميكانيكا الكلاسيكية لكن الفعل الثابت يستمر في العمل. ^[4] يتم تعميم فرق الطاقة في تعريف الفعل البسيط، الطاقة الحركية ناقص الطاقة الكامنة، ويسمى لاغرانج للحالات الأكثر تعقيدًا. ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle v(t)}$

يُطلق على ثابت بلانك ، الذي يُكتب على هيئة أو عندما يتضمن عاملًا ، اسم كم الفعل . ^[8] ومثل الفعل، فإن هذا الثابت له وحدة طاقة مضروبة في الزمن. وهو يظهر في جميع معادلات الكم المهمة، مثل مبدأ عدم اليقين وطول موجة دي برولي . كلما اقتربت قيمة الفعل من ثابت بلانك، تكون التأثيرات الكمية مهمة. ^[4]${\displaystyle h}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle 1/2\pi }$

عمل بيير لويس موبيرتويس وليونارد أويلر في أربعينيات القرن الثامن عشر على تطوير نسخ مبكرة من مبدأ الفعل. أوضح جوزيف لويس لاجرانج الرياضيات عندما اخترع حساب المتغيرات . حقق ويليام روان هاملتون الاختراق الكبير التالي، حيث صاغ مبدأ هاملتون في عام 1853. ^{[9] : 740} أصبح مبدأ هاملتون حجر الزاوية للعمل الكلاسيكي بأشكال مختلفة من الفعل حتى طور ريتشارد فاينمان وجوليان شفينجر مبادئ الفعل الكمومي. ^{[10] : 127}

عند التعبير عنها بلغة رياضية، باستخدام حساب التغيرات ، فإن تطور النظام الفيزيائي (أي كيف يتقدم النظام فعليًا من حالة إلى أخرى) يتوافق مع نقطة ثابتة (عادةً، حد أدنى) للفعل. للفعل أبعاد [ طاقة ]  ×  [زمن] ، ووحدته في النظام الدولي للوحدات هي جول -ثانية، وهي مطابقة لوحدة الزخم الزاوي .

هناك عدة تعريفات مختلفة لـ "الفعل" شائعة الاستخدام في الفيزياء. ^{[11] [12]} الفعل هو عادة تكامل مع الزمن. ومع ذلك، عندما يتعلق الفعل بالحقول ، فقد يتم تكامله مع المتغيرات المكانية أيضًا. في بعض الحالات، يتم تكامل الفعل على طول المسار الذي يتبعه النظام الفيزيائي.

يتم تمثيل الفعل عادةً على أنه تكامل على مدار الوقت، يتم اتخاذه على طول مسار النظام بين الوقت الأولي والوقت النهائي لتطور النظام: ^[11] حيث يسمى المتكامل L باسم لاغرانجيان . لكي يكون تكامل الفعل محددًا جيدًا، يجب أن يكون المسار محددًا بالزمان والمكان. $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt,}$$

في أغلب الأحيان، يُستخدم المصطلح للدالة التي تأخذ دالة الزمن و( للحقول ) الفضاء كمدخل وتعيد قياسيًا . ^{[13] [14]} في الميكانيكا الكلاسيكية ، تكون دالة الإدخال هي التطور q ( t ) للنظام بين زمنين t ₁ و t ₂ ، حيث يمثل q الإحداثيات المعممة . يُعرَّف الفعل بأنه تكامل لاغرانجيان L لتطور إدخال بين الزمنين: حيث تكون نقاط النهاية للتطور ثابتة ومحددة على أنها و . وفقًا لمبدأ هاملتون ، فإن التطور الحقيقي q _true ( t ) هو تطور يكون فيه الفعل ثابتًا (حد أدنى أو أقصى أو نقطة سرج ). ينتج عن هذا المبدأ معادلات الحركة في ميكانيكا لاغرانج . ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt,}$$${\displaystyle \mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (t_{1})}$${\displaystyle \mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} (t_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]}$

بالإضافة إلى وظيفة الفعل، هناك وظيفة أخرى تسمى الفعل المختصر . في الفعل المختصر، تكون دالة الإدخال هي المسار الذي يتبعه النظام الفيزيائي بغض النظر عن معلماته حسب الزمن. على سبيل المثال، مسار مدار كوكبي هو شكل بيضاوي، ومسار جسيم في مجال جاذبية منتظم هو شكل مكافئ؛ في كلتا الحالتين، لا يعتمد المسار على مدى سرعة الجسيم في عبور المسار.

يتم تعريف الفعل المختصر (يُكتب أحيانًا باسم ) على أنه تكامل الزخم المعمم لنظام لاغرانجي على طول مسار في الإحداثيات المعممة : حيث و هما إحداثيات البداية والنهاية. وفقًا لمبدأ موبيرتويس ، فإن المسار الحقيقي للنظام هو المسار الذي يكون فيه الفعل المختصر ثابتًا . ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$${\displaystyle W}$$${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L(q,t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}},}$$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle q_{i}}$$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int _{q_{1}}^{q_{2}}\Sigma _{i}p_{i}\,dq_{i}.}$$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$

عندما يتم الحفاظ على إجمالي الطاقة E ، يمكن حل معادلة هاملتون-جاكوبي بالفصل الإضافي للمتغيرات : ^{[11] : 225} حيث تسمى الدالة المستقلة عن الزمن W ( q ₁ ، q ₂ ، ...، q _N ) دالة هاملتون المميزة . يمكن فهم الأهمية الفيزيائية لهذه الدالة من خلال أخذ مشتقها الزمني الإجمالي $${\displaystyle S(q_{1},\dots ,q_{N},t)=W(q_{1},\dots ,q_{N})-E\cdot t,}$$

$${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}=p_{i}{\dot {q}}_{i}.}$$

يمكن دمج هذا لإعطاء

$${\displaystyle W(q_{1},\dots ,q_{N})=\int p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int p_{i}\,dq_{i},}$$

وهو مجرد إجراء مختصر. ^{[15] : 434}

يتم تعريف المتغير J _k في إحداثيات زاوية الفعل ، والذي يسمى "فعل" الإحداثي المعمم q _k ، من خلال دمج زخم معمم واحد حول مسار مغلق في فضاء الطور ، والذي يتوافق مع الحركة الدورانية أو المتذبذبة: ^{[15] : 454}

$${\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\,dq_{k}}$$

المتغير القياسي المقابل المترافق مع J _k هو "زاويته" w _k ، لأسباب موصوفة بشكل أكثر تفصيلاً تحت إحداثيات زاوية الفعل . يتم التكامل فقط على متغير واحد q _k ، وبالتالي، على عكس حاصل الضرب النقطي المتكامل في تكامل الفعل المختصر أعلاه. المتغير J _k يساوي التغير في S _k ( q _k ) عندما يتغير q _k حول المسار المغلق. بالنسبة للعديد من الأنظمة الفيزيائية ذات الأهمية، يكون J _k إما ثابتًا أو يتغير ببطء شديد؛ وبالتالي، غالبًا ما يستخدم المتغير J _k في حسابات الاضطرابات وفي تحديد الثوابت الأدياباتية . على سبيل المثال، يتم استخدامها في حساب مدارات الكواكب والأقمار الصناعية. ^{[15] : 477}

عندما تكون التأثيرات النسبية كبيرة، فإن فعل جسيم نقطي ذو كتلة m يسافر على خط عالمي C يتم تحديده بواسطة الوقت المناسب هو ${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle S=-mc^{2}\int _{C}\,d\tau .}$$

إذا تم بدلاً من ذلك تحديد معلمة الجسيم بواسطة زمن الإحداثيات t للجسيم ونطاق زمن الإحداثيات من t ₁ إلى t ₂ ، فإن الفعل يصبح حيث يكون لاجرانجيان ^[16]$${\displaystyle S=\int _{t1}^{t2}L\,dt,}$$ $${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}$$

غالبًا ما يتم التعبير عن القوانين الفيزيائية كمعادلات تفاضلية ، والتي تصف كيف تتغير الكميات الفيزيائية مثل الموضع والزخم باستمرار مع الزمن أو المكان أو تعميمهما. ونظرًا للظروف الأولية والحدودية للموقف، فإن "الحل" لهذه المعادلات التجريبية هو دالة واحدة أو أكثر تصف سلوك النظام وتسمى معادلات الحركة .

الفعل هو جزء من نهج بديل لإيجاد مثل هذه المعادلات للحركة. تفترض الميكانيكا الكلاسيكية أن المسار الذي يتبعه نظام فيزيائي هو المسار الذي يتم فيه تقليل الفعل ، أو بشكل عام، يكون ثابتًا . بعبارة أخرى، يلبي الفعل مبدأ التباين : مبدأ الفعل الثابت (انظر أيضًا أدناه). يتم تعريف الفعل بواسطة تكامل ، ويمكن اشتقاق معادلات الحركة الكلاسيكية لنظام ما عن طريق تقليل قيمة هذا التكامل.

يوفر مبدأ الفعل رؤى عميقة في الفيزياء، وهو مفهوم مهم في الفيزياء النظرية الحديثة . يتم تلخيص مبادئ الفعل المختلفة والمفاهيم ذات الصلة أدناه.

في الميكانيكا الكلاسيكية، تنص قاعدة موبيرتويس (التي سُميت على اسم بيير لويس موبيرتويس) على أن المسار الذي يتبعه نظام فيزيائي هو المسار الأقل طولًا (مع تفسير مناسب للمسار والطول). تستخدم قاعدة موبيرتويس الفعل المختصر بين نقطتين معممتين على مسار.

تنص مبادئ هاملتون على أنه يمكن إعادة صياغة معادلات الحركة التفاضلية لأي نظام فيزيائي كمعادلة تكاملية مكافئة . وبالتالي، هناك طريقتان متميزتان لصياغة النماذج الديناميكية.

لا ينطبق مبدأ هاملتون على الميكانيكا الكلاسيكية لجسيم واحد فحسب، بل ينطبق أيضًا على المجالات الكلاسيكية مثل المجالات الكهرومغناطيسية والجاذبية . كما تم توسيع مبدأ هاملتون ليشمل ميكانيكا الكم ونظرية المجال الكمومي - على وجه الخصوص، تستخدم صياغة التكامل المساري لميكانيكا الكم هذا المفهوم - حيث يستكشف النظام الفيزيائي جميع المسارات الممكنة، مع تحديد طور سعة الاحتمال لكل مسار من خلال الفعل للمسار؛ تضيف سعة الاحتمال النهائية جميع المسارات باستخدام سعتها وطورها المركبين. ^[17]

يتم الحصول على دالة هاملتون الأساسية من الدالة الفعلية عن طريق تثبيت الوقت الأولي ونقطة النهاية الأولية مع السماح بحد زمني أعلى ونقطة النهاية الثانية بالتغير. تلبي دالة هاملتون الأساسية معادلة هاملتون-جاكوبي، وهي صياغة للميكانيكا الكلاسيكية . نظرًا للتشابه مع معادلة شرودنجر ، توفر معادلة هاملتون-جاكوبي، على نحو مثير للجدل، الرابط الأكثر مباشرة مع ميكانيكا الكم . ${\displaystyle S=S(q,t;q_{0},t_{0})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle q_{0},}$${\displaystyle t}$${\displaystyle q}$

في ميكانيكا لاغرانج، فإن الشرط الذي يقتضي أن يكون تكامل الفعل ثابتًا تحت اضطرابات صغيرة يعادل مجموعة من المعادلات التفاضلية (تسمى معادلات أويلر-لاغرانج) التي يمكن الحصول عليها باستخدام حساب التغيرات .

يمكن توسيع مبدأ الفعل للحصول على معادلات الحركة للحقول ، مثل المجال الكهرومغناطيسي أو مجال الجاذبية . ويمكن اشتقاق معادلات ماكسويل كشروط للفعل الثابت .

تستخدم معادلة أينشتاين فعل أينشتاين-هيلبرت كما هو مقيد بمبدأ التباين . يمكن إيجاد مسار (مسار في الزمكان ) لجسم في مجال جاذبية باستخدام مبدأ الفعل. بالنسبة للجسم الساقط حرًا، يكون هذا المسار جيوديسيًا .

يمكن إيجاد آثار التناظرات في موقف فيزيائي باستخدام مبدأ الفعل، جنبًا إلى جنب مع معادلات أويلر-لاجرانج ، والتي يتم اشتقاقها من مبدأ الفعل. ومن الأمثلة على ذلك نظرية نوثر ، التي تنص على أنه لكل تناظر مستمر في موقف فيزيائي يوجد قانون حفظ (والعكس صحيح). يتطلب هذا الارتباط العميق افتراض مبدأ الفعل. ^[17]

في ميكانيكا الكم، لا يتبع النظام مسارًا واحدًا يكون فعله ثابتًا، ولكن سلوك النظام يعتمد على جميع المسارات المسموح بها وقيمة فعلها. يتم استخدام الفعل المقابل للمسارات المختلفة لحساب تكامل المسار ، والذي يعطي سعات احتمالية النتائج المختلفة.

على الرغم من أن مبدأ الفعل يعادل في الميكانيكا الكلاسيكية قوانين نيوتن ، إلا أنه أكثر ملاءمة للتعميمات ويلعب دورًا مهمًا في الفيزياء الحديثة. في الواقع، يعد هذا المبدأ أحد التعميمات العظيمة في العلوم الفيزيائية. من الأفضل فهمه في ميكانيكا الكم، وخاصة في صيغة تكامل المسار لريتشارد فاينمان ، حيث ينشأ من التداخل المدمر للسعات الكمومية.

يمكن تعميم مبدأ الفعل بشكل أكبر. على سبيل المثال، لا يلزم أن يكون الفعل متكاملاً، لأن الأفعال غير المحلية ممكنة. ولا يلزم أن تكون مساحة التكوين مساحة وظيفية ، نظرًا لخصائص معينة مثل الهندسة غير التبادلية . ومع ذلك، لا يزال يتعين إنشاء أساس فيزيائي لهذه الامتدادات الرياضية تجريبياً. ^[13]

• دليل كامبريدج لصيغ الفيزياء ، ج. وان، مطبعة جامعة كامبريدج، 2010، ISBN 978-0-521-57507-2 . 
• ديري أ. ويلز، ديناميكيات لاغرانج، سلسلة مخططات شوم (ماكجرو هيل، 1967) ISBN 0-07-069258-0 ، "مخطط" شامل للموضوع يتكون من 350 صفحة. 

• مبدأ الفعل الأقل تفاعلية شرح تفاعلي/صفحة ويب