سينجلتون (رياضيات)

في الرياضيات ، المجموعة المفردة (المعروفة أيضًا باسم مجموعة الوحدات ^[1] أو مجموعة النقطة الواحدة ) هي مجموعة بها عنصر واحد فقط . على سبيل المثال، المجموعة هي مجموعة مفردة عنصرها الوحيد هو . ${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle 0}$

في إطار نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل ، تضمن بديهية الانتظام عدم وجود مجموعة عنصر في حد ذاتها. وهذا يعني أن العنصر المفرد يختلف بالضرورة عن العنصر الذي يحتويه، ^[1] وبالتالي فإن 1 و ليسا نفس الشيء، والمجموعة الفارغة تختلف عن المجموعة التي تحتوي فقط على المجموعة الفارغة. مجموعة مثل هي عنصر مفرد لأنها تحتوي على عنصر واحد (وهو في حد ذاته مجموعة، ولكن ليس عنصرًا مفردًا). ${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle \{\{1,2,3\}\}}$

المجموعة هي مجموعة مفردة إذا وفقط إذا كانت عدديتها 1. في بناء فون نيومان النظري للمجموعة للأعداد الطبيعية ، يتم تعريف الرقم 1 على أنه المجموعة المفردة${\displaystyle \{0\}.}$

في نظرية المجموعة البديهية ، فإن وجود العناصر الفردية هو نتيجة لبديهية الاقتران : بالنسبة لأي مجموعة A ، فإن البديهية المطبقة على A و A تؤكد أن وجود أي منهما هو نفس العنصر الفردي (لأنه يحتوي على A ، ولا يحتوي على أي مجموعة أخرى، كعنصر). ${\displaystyle \{أ،أ\},}$${\displaystyle \{A\}}$

إذا كانت A أي مجموعة و S أي عنصر مفرد، فإنه توجد دالة واحدة على وجه التحديد من A إلى S ، وهي الدالة التي ترسل كل عنصر من A إلى العنصر المفرد من S. وبالتالي فإن كل عنصر مفرد هو كائن نهائي في فئة المجموعات .

تتمتع المجموعة المنفردة بخاصية أن كل دالة منها إلى أي مجموعة عشوائية تكون قابلة للحقن. المجموعة الوحيدة غير المنفردة التي تتمتع بهذه الخاصية هي المجموعة الفارغة .

كل مجموعة مفردة هي مرشح أولي فائق . إذا كانت مجموعة، فإن الجزء العلوي من حيث تكون المجموعة هو مرشح أولي رئيسي على . علاوة على ذلك، فإن كل مرشح أولي رئيسي على يكون بالضرورة من هذا الشكل. ^{[2] تشير} مبرهنة المرشح الأولي إلى وجود مرشحات أولية غير رئيسية على كل مجموعة لا نهائية (تسمى هذه المرشحات الأولية الحرة ). كل شبكة ذات قيمة في مجموعة فرعية مفردة من هي شبكة أولية في${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \{S\subseteq X:x\in S\},}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

يقوم تسلسل عدد الجرس الصحيح بحساب عدد أقسام المجموعة ( OEIS : A000110 )، وإذا تم استبعاد العناصر الفردية، فإن الأرقام تكون أصغر ( OEIS : A000296 ).

غالبًا ما تعمل الهياكل المبنية على كائنات مفردة كأشياء نهائية أو أشياء صفرية من فئات مختلفة :

• يوضح البيان أعلاه أن المجموعات المفردة هي على وجه التحديد الكائنات النهائية في فئة مجموعة المجموعات . ولا توجد مجموعات أخرى نهائية.
• يسمح أي فرد ببنية فضاء طوبولوجي فريدة (كلا المجموعتين الفرعيتين مفتوحتان). هذه الفضاءات الطوبولوجية الفردية هي كائنات نهائية في فئة الفضاءات الطوبولوجية والوظائف المستمرة . لا توجد فضاءات أخرى نهائية في هذه الفئة.
• أي مجموعة مفردة تقبل بنية مجموعة فريدة (العنصر الفريد يعمل كعنصر هوية ). هذه المجموعات المفردة هي كائنات صفرية في فئة المجموعات وتجانس المجموعات . لا توجد مجموعات أخرى نهائية في هذه الفئة.

ليكن S فئة محددة بواسطة دالة مؤشر، عندئذٍ يُطلق على S اسم مفردة إذا وفقط إذا كان هناك بعض مثل هذا بحيث يكون لجميع $${\displaystyle b:X\to \{0,1\}.}$$${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle b(x)=(x=y).}$$

تم تقديم التعريف التالي بواسطة وايتهايد وراسل [ ^3]

${\displaystyle \iota }$' د.ف.${\displaystyle x={\hat {y}}(y=x)}$

الرمز ' يدل على المفرد ويدل على فئة الأشياء المتطابقة مع aka . يحدث هذا كتعريف في المقدمة، والذي في بعض الأماكن يبسط الحجة في النص الرئيسي، حيث يظهر كـ الاقتراح 51.01 (ص 357 المرجع نفسه). يتم استخدام الاقتراح لاحقًا لتعريف العدد الأساسي 1 على أنه ${\displaystyle \iota }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle {\hat {y}}(y=x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{y:y=x\}}$

${\displaystyle 1={\hat {\alpha }}((\يوجد x)\alpha =\iota }$' د.ف.${\displaystyle x)}$

وهذا يعني أن 1 هي فئة العناصر المنفردة. وهذا هو التعريف 52.01 (ص 363 المرجع نفسه).

• الفئة (نظرية المجموعات)  - مجموعة من المجموعات في الرياضيات يمكن تعريفها بناءً على خاصية أعضائها
• نقطة معزولة  - نقطة من مجموعة فرعية S لا توجد حولها أي نقاط أخرى من S
• تحديد كمية التفرد  - الخاصية المنطقية لكونه الكائن الوحيد الذي يلبي شرطًا
• العنصر الأساسي  – مفهوم في نظرية المجموعات