فلتر فائق على مجموعة

في مجال نظرية المجموعات الرياضية ، مرشح فائق على مجموعة${\displaystyle X}$هو مرشح أقصى على المجموعة${\displaystyle X.}$ بمعنى آخر، هي مجموعة من المجموعات الفرعية لـ${\displaystyle X}$الذي يفي بتعريف المرشح على${\displaystyle X}$وهذا هو الحد الأقصى فيما يتعلق بالاحتواء، بمعنى أنه لا توجد مجموعة أكبر تمامًا من المجموعات الفرعية لـ${\displaystyle X}$وهذا أيضًا مرشح. (في المثال أعلاه، بحكم التعريف، لا يحتوي المرشح على مجموعة على المجموعة الفارغة). وبالمثل، فإن المرشح الفائق على المجموعة${\displaystyle X}$ويمكن وصفه أيضًا بأنه مرشح على${\displaystyle X}$مع الخاصية التي لكل مجموعة جزئية${\displaystyle A}$ل${\displaystyle X}$أيضاً${\displaystyle A}$أو مكملها${\displaystyle X\setminus A}$ينتمي إلى المرشح الفائق.

تُعدّ المرشحات الفائقة على المجموعات حالة خاصة مهمة من المرشحات الفائقة على المجموعات المرتبة جزئيًا ، حيث تتكون المجموعة المرتبة جزئيًا من مجموعة القوى.${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$والترتيب الجزئي هو احتواء المجموعة الجزئية${\displaystyle \,\subseteq .}$ تتناول هذه المقالة على وجه التحديد المرشحات الفائقة على مجموعة ولا تغطي المفهوم الأكثر عمومية.

يوجد نوعان من المرشحات الفائقة في الجهاز. مرشح فائق رئيسي في${\displaystyle X}$هي مجموعة جميع المجموعات الفرعية من${\displaystyle X}$التي تحتوي على عنصر ثابت${\displaystyle x\in X}$المرشحات الفائقة غير الرئيسية هي المرشحات الفائقة الحرة . ويُستدل على وجود مرشحات فائقة حرة على أي مجموعة لانهائية من خلال مبرهنة المرشح الفائق ، والتي يمكن إثباتها في نظرية ZFC . من جهة أخرى، توجد نماذج لنظرية ZF يكون فيها كل مرشح فائق على مجموعة ما رئيسيًا.

تُستخدم المرشحات الفائقة في العديد من تطبيقات نظرية المجموعات، ونظرية النماذج ، والطوبولوجيا . ^{[ 1 ] : 186} عادةً، تؤدي المرشحات الفائقة الحرة فقط إلى إنشاءات غير بديهية. على سبيل المثال، يكون حاصل الضرب الفائق modulo مرشح فائق رئيسي متماثلًا دائمًا مع أحد العوامل، بينما يكون لحاصل الضرب الفائق modulo مرشح فائق حر بنية أكثر تعقيدًا.

بالنظر إلى مجموعة عشوائية${\displaystyle X,}$مرشح فائق على${\displaystyle X}$هي عائلة غير فارغة${\displaystyle U}$من مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$بحيث:

1. مناسب أوغير منحط : المجموعة الفارغة ليست عنصرًا من${\displaystyle U.}$
2. أغلق الاتجاه الصاعد${\displaystyle X}$: لو${\displaystyle A\in U}$وإذا${\displaystyle B\subseteq X}$أي مجموعة شاملة من${\displaystyle A}$(أي إذا${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}$) ثم${\displaystyle B\in U.}$
3. نظام π : إذا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي عناصر من${\displaystyle U}$إذن، كذلك يكون تقاطعهم${\displaystyle A\cap B.}$
4. لو${\displaystyle A\subseteq X}$ثم إما${\displaystyle A}$أو مكملها${\displaystyle X\setminus A}$هو عنصر من${\displaystyle U.}$^{[ ملاحظة 1 ]}

الخصائص (1) و(2) و(3) هي الخصائص المميزة للمرشح على${\displaystyle X.}$لا يُدرج بعض المؤلفين عدم الانحلال (وهي الخاصية (1) المذكورة أعلاه) ضمن تعريفهم لـ"المرشح". مع ذلك، يتضمن تعريف "المرشح الفائق" (وكذلك "المرشح الأولي" و"المرشح الفرعي") دائمًا عدم الانحلال كشرط أساسي. تشترط هذه المقالة أن تكون جميع المرشحات مناسبة، حتى وإن وُصف مرشح ما بأنه "مناسب" للتأكيد.

قاعدة التصفية الفرعية هي عائلة غير فارغة من المجموعات التي تتمتع بخاصية التقاطع المحدود (أي أن جميع التقاطعات المحدودة غير فارغة). وبالمثل، فإن قاعدة التصفية الفرعية هي عائلة غير فارغة من المجموعات التي تحتويها إحدى المرشحات (المناسبة). أصغرها (بالنسبة إلى${\displaystyle \subseteq }$يُقال إن المرشح الذي يحتوي على قاعدة مرشح فرعية معينة قد تم إنشاؤه بواسطة قاعدة المرشح الفرعية.

الإغلاق التصاعدي في${\displaystyle X}$من عائلة من المجموعات${\displaystyle P}$هي المجموعة

${\displaystyle P^{\uparrow X}:=\{S:A\subseteq S\subseteq X{\text{ لبعض }}A\in P\}.}$

أمرشح مسبق أوقاعدة التصفية غير فارغة ومناسبة (أي${\displaystyle \varnothing \not \in P}$عائلة من المجموعات${\displaystyle P}$أي أنه موجه للأسفل ، مما يعني أنه إذا${\displaystyle B,C\in P}$ثم يوجد شيء ما${\displaystyle A\in P}$بحيث${\displaystyle A\subseteq B\cap C.}$وبصورة مكافئة، فإن المرشح المسبق هو أي مجموعة من المجموعات${\displaystyle P}$إغلاقها التصاعدي${\displaystyle P^{\uparrow X}}$هو مرشح، وفي هذه الحالة يُطلق على هذا المرشح اسم المرشح الذي تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle P}$و${\displaystyle P}$ويُقال إنها قاعدة ترشيح لـ${\displaystyle P^{\uparrow X}.}$

الازدواجية في${\displaystyle X}$^{[ 2 ]} من عائلة من المجموعات${\displaystyle P}$هي المجموعة${\displaystyle X\setminus P:=\{X\setminus B:B\in P\}.}$على سبيل المثال، ثنائي مجموعة القوى${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$هو نفسه:${\displaystyle X\setminus {\mathcal {P}}(X)={\mathcal {P}}(X).}$ تُعدّ مجموعة من المجموعات مرشحًا مناسبًا لـ${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كان نظيره مثاليًا صحيحًا على${\displaystyle X}$(" مناسب " تعني لا يساوي مجموعة القوى).

عائلة${\displaystyle U\neq \varnothing }$من مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسمفائق إذا${\displaystyle \varnothing \not \in U}$ويتم استيفاء أي من الشروط المكافئة التالية: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

1. لكل مجموعة${\displaystyle S\subseteq X}$توجد مجموعة ما${\displaystyle B\in U}$بحيث${\displaystyle B\subseteq S}$أو${\displaystyle B\subseteq X\setminus S}$(أو ما يعادل ذلك، بحيث${\displaystyle B\cap S}$يساوي${\displaystyle B}$أو${\displaystyle \varnothing }$).
2. لكل مجموعة${\displaystyle S\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{B\in U}}B}$توجد مجموعة ما${\displaystyle B\in U}$بحيث${\displaystyle B\cap S}$يساوي${\displaystyle B}$أو${\displaystyle \varnothing .}$
   • هنا،${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{B\in U}}B}$يُعرَّف بأنه اتحاد جميع المجموعات في${\displaystyle U.}$
   • هذا الوصف لـ "${\displaystyle U}$لا يعتمد مصطلح "فائق" على المجموعة${\displaystyle X,}$لذا، عند ذكر المجموعة${\displaystyle X}$هذا الأمر اختياري عند استخدام مصطلح "فائق".
3. لكل مجموعة​${\displaystyle S}$(ليس بالضرورة حتى مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$) يوجد بعض المجموعات${\displaystyle B\in U}$بحيث${\displaystyle B\cap S}$يساوي${\displaystyle B}$أو${\displaystyle \varnothing .}$
   • لو${\displaystyle U}$إذا استوفى هذا الشرط، فإن كل مجموعة فائقة تستوفيه أيضاً${\displaystyle V\supseteq U.}$على وجه الخصوص، مجموعة${\displaystyle V}$يكون فائقًا إذا وفقط إذا${\displaystyle \varnothing \not \in V}$و${\displaystyle V}$يحتوي على مجموعة فرعية من عائلة فائقة من المجموعات.

الطبقة الأساسية للمرشح فائقة الدقة هي بالضرورة مرشح أولي. ^{[ الدليل 1 ]}

يمكن الآن استخدام خاصية "ultra" لتعريف كل من المرشحات الفائقة والمرشحات المسبقة الفائقة:

أنالمرشح المسبق فائق الجودة ^{[ 2 ] [ 3 ]} هو مرشح مسبق فائق الجودة. وبالمثل، فهو طبقة ترشيح فرعية فائقة الجودة.

أنمرشح فائق ^{[ 2 ] [ 3 ]} قيد التشغيل${\displaystyle X}$هو مرشح (مناسب) على${\displaystyle X}$هذا فائق. أو بعبارة أخرى، هو أي فلتر على${\displaystyle X}$يتم توليد ذلك بواسطة مرشح أولي فائق.

مرشحات فائقة كمرشحات أولية قصوى

لوصف المرشحات الفائقة من حيث "الحد الأقصى"، يلزم وجود العلاقة التالية.

بافتراض وجود مجموعتين من المجموعات${\displaystyle M}$و${\displaystyle N,}$العائلة${\displaystyle M}$ويُقال إنها أكثر خشونة ^{[ 4 ] [ 5 ]} من${\displaystyle N,}$و${\displaystyle N}$أدق من وخاضع لـ${\displaystyle M,}$مكتوب${\displaystyle M\leq N}$أو N ⊢ M ، إذا كان لكل${\displaystyle C\in M,}$هناك بعض${\displaystyle F\in N}$بحيث${\displaystyle F\subseteq C.}$العائلات${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$تُعتبر متكافئة إذا${\displaystyle M\leq N}$و${\displaystyle N\leq M.}$العائلات${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$تكون قابلة للمقارنة إذا كانت إحدى هاتين المجموعتين أدق من الأخرى. ^{[ 4 ]}

علاقة التبعية، أي${\displaystyle \,\geq ,\,}$بما أن هذا ترتيب مسبق، فإن التعريف المذكور أعلاه لـ "المكافئ" يشكل علاقة تكافؤ .${\displaystyle M\subseteq N}$ثم${\displaystyle M\leq N}$لكن العكس لا ينطبق عموماً. ومع ذلك، إذا${\displaystyle N}$إذا تم إغلاقها من الأعلى، مثل المرشح، فـ${\displaystyle M\leq N}$إذا وفقط إذا${\displaystyle M\subseteq N.}$ كل مرشح مسبق يُعادل المرشح الذي يُولّده. وهذا يُبيّن أنه من الممكن أن تكون المرشحات مُكافئة لمجموعات ليست مرشحات.

إذا كانت هناك مجموعتان من المجموعات${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$إذا كانا متكافئين، فإما كلاهما${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$إما أن تكون فائقة (أو مرشحات مسبقة، أو قواعد فرعية للمرشحات) أو غير ذلك، أيهما ليس فائقًا (أو مرشحًا مسبقًا، أو قاعدة فرعية للمرشحات). على وجه الخصوص، إذا لم تكن القاعدة الفرعية للمرشح مرشحًا مسبقًا أيضًا، فإنها لا تُعادل المرشح أو المرشح المسبق الذي تُنشئه.${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$كلا الفلترين قيد التشغيل${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$تكون متكافئة إذا وفقط إذا${\displaystyle M=N.}$إذا كان المرشح المناسب (أو المرشح الفائق) مكافئًا لمجموعة من المجموعات${\displaystyle M}$ثم${\displaystyle M}$هو بالضرورة مرشح أولي (أو مرشح أولي فائق). باستخدام التوصيف التالي، يمكن تعريف المرشحات الأولية (أو المرشحات الأولية الفائقة) باستخدام مفهوم المرشحات (أو المرشحات الفائقة) والتبعية فقط:

تعتبر أي مجموعة من المجموعات بمثابة مرشح مسبق إذا وفقط إذا كانت مكافئة لمرشح (صحيح).

تعتبر أي مجموعة من المجموعات مرشحًا أوليًا فائقًا إذا وفقط إذا كانت مكافئة لمرشح فائق.

أأقصى تصفية مسبقة قيد التشغيل${\displaystyle X}$^{[ 2 ] [ 3 ]} عبارة عن مرشح مسبق${\displaystyle U\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$التي تستوفي أيًا من الشروط المكافئة التالية:

1. ${\displaystyle U}$هو فائق.
2. ${\displaystyle U}$أقصى حد على${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$بالنسبة إلى${\displaystyle \,\leq ,}$بمعنى أنه إذا${\displaystyle P\in \operatorname {Prefilters} (X)}$يرضي${\displaystyle U\leq P}$ثم${\displaystyle P\leq U.}$^{[ 3 ]}
3. لا يوجد مرشح مسبق تابع بشكل صحيح لـ${\displaystyle U.}$^{[ 3 ]}
4. إذا كان المرشح (المناسب)${\displaystyle F}$على${\displaystyle X}$يرضي${\displaystyle U\leq F}$ثم${\displaystyle F\leq U.}$
5. الفلتر قيد التشغيل${\displaystyle X}$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle U}$هو فائق.

لا توجد مرشحات فائقة على المجموعة الفارغة ، لذلك يُفترض من الآن فصاعدًا أن${\displaystyle X}$غير فارغ.

قاعدة فرعية للمرشح${\displaystyle U}$على${\displaystyle X}$يوجد مرشح فائق على${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا تحققت أي من الشروط المتكافئة التالية: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

1. لأي${\displaystyle S\subseteq X,}$أيضاً${\displaystyle S\in U}$أو${\displaystyle X\setminus S\in U.}$
2. ${\displaystyle U}$هي قاعدة فرعية لمرشح أقصى${\displaystyle X,}$بمعنى أنه إذا${\displaystyle F}$هل أي مرشح يعتمد على${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle U\subseteq F}$يشير إلى${\displaystyle U=F.}$^{[ 6 ]}

مرشح (مناسب)${\displaystyle U}$على${\displaystyle X}$يوجد مرشح فائق على${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا تحققت أي من الشروط المكافئة التالية:

1. ${\displaystyle U}$فائق؛
2. ${\displaystyle U}$يتم توليدها بواسطة مرشح أولي فائق؛
3. لأي مجموعة جزئية${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle S\in U}$أو${\displaystyle X\setminus S\in U.}$^{[ 6 ]}
   • لذا، مرشح فائق${\displaystyle U}$يقرر نيابة عن الجميع${\displaystyle S\subseteq X}$سواء${\displaystyle S}$كبير (أي${\displaystyle S\in U}$) أو "صغيرة" (أي${\displaystyle X\setminus S\in U}$). ^{[ 7 ]}
4. لكل مجموعة فرعية${\displaystyle A\subseteq X,}$إما ^{[ ملاحظة 1 ]}${\displaystyle A}$هو في${\displaystyle U}$أو (${\displaystyle X\setminus A}$) يكون.
5. ${\displaystyle U\cup (X\setminus U)={\mathcal {P}}(X).}$يمكن إعادة صياغة هذا الشرط على النحو التالي:${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$يتم تقسيمها بواسطة${\displaystyle U}$وثنائيته${\displaystyle X\setminus U.}$
   • المجموعات${\displaystyle P}$و${\displaystyle X\setminus P}$منفصلة لجميع المرشحات المسبقة${\displaystyle P}$على${\displaystyle X.}$
6. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)\setminus U=\left\{S\in {\mathcal {P}}(X):S\not \in U\right\}}$يُعدّ مثالاً يُحتذى به في${\displaystyle X.}$^{[ 6 ]}
7. لأي عائلة منتهية${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$من مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$(أين${\displaystyle n\geq 1}$)، لو${\displaystyle S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}\in U}$ثم${\displaystyle S_{i}\in U}$لبعض المؤشرات${\displaystyle i.}$
   • بعبارة أخرى، لا يمكن أن تكون المجموعة "الكبيرة" اتحادًا منتهيًا لمجموعات لا تكون أي منها كبيرة. ^{[ 8 ]}
8. لأي${\displaystyle R,S\subseteq X,}$لو${\displaystyle R\cup S=X}$ثم${\displaystyle R\in U}$أو${\displaystyle S\in U.}$
9. لأي${\displaystyle R,S\subseteq X,}$لو${\displaystyle R\cup S\in U}$ثم${\displaystyle R\in U}$أو${\displaystyle S\in U}$(يُطلق على المرشح الذي يتمتع بهذه الخاصية اسم مرشح)مرشح أولي ).
10. لأي${\displaystyle R,S\subseteq X,}$لو${\displaystyle R\cup S\in U}$و${\displaystyle R\cap S=\varnothing }$ثم إما${\displaystyle R\in U}$أو${\displaystyle S\in U.}$
11. ${\displaystyle U}$هو مرشح أقصى؛ أي إذا${\displaystyle F}$هو فلتر على${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle U\subseteq F}$ثم${\displaystyle U=F.}$وبعبارة أخرى،${\displaystyle U}$يُعتبر مرشحًا أقصى في حالة عدم وجود مرشح.${\displaystyle F}$على${\displaystyle X}$الذي يحتوي${\displaystyle U}$كمجموعة فرعية مناسبة (أي، لا يوجد مرشح أدق من ذلك بشكل صارم)${\displaystyle U}$). ^{[ 6 ]}

لو${\displaystyle X}$إذا كانت مجموعة لانهائية، فإن عدد المرشحات الفائقة يساوي عدد المرشحات الفائقة في هذه المجموعة.${\displaystyle X}$حيث توجد عائلات من المجموعات الفرعية لـ${\displaystyle X;}$بشكل صريح، إذا${\displaystyle X}$له عدد لا نهائي من العناصر${\displaystyle \kappa }$ثم مجموعة المرشحات الفائقة${\displaystyle X}$له نفس العددية مثل${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X));}$تلك الكمية هي${\displaystyle 2^{2^{\kappa }}.}$^{[ 11 ]}

لو${\displaystyle U}$و${\displaystyle S}$هي عائلات من المجموعات بحيث${\displaystyle U}$فائق،${\displaystyle \varnothing \not \in S,}$و${\displaystyle U\leq S,}$ثم${\displaystyle S}$هو بالضرورة فائقة. قاعدة فرعية للتصفية${\displaystyle U}$لا يمكن أن يكون المرشح المسبق فائقًا؛ ولكن مع ذلك لا يزال من الممكن أن يتم إنشاء المرشح المسبق والمرشح بواسطة${\displaystyle U}$أن تكون فائقاً.

يفترض${\displaystyle U\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$هو فائق و${\displaystyle Y}$هي مجموعة. الأثر${\displaystyle U\vert _{Y}:=\{B\cap Y:B\in U\}}$تكون المجموعة فائقة إذا وفقط إذا لم تحتوي على المجموعة الفارغة. علاوة على ذلك، يجب أن تحتوي إحدى المجموعات على الأقل على${\displaystyle U\vert _{Y}\setminus \{\varnothing \}}$و${\displaystyle U\vert _{X\setminus Y}\setminus \{\varnothing \}}$سيكون فائقًا (تمتد هذه النتيجة إلى أي تجزئة محدودة لـ${\displaystyle X}$). لو${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}}$هل توجد فلاتر؟${\displaystyle X,}$${\displaystyle U}$يوجد مرشح فائق على${\displaystyle X,}$و${\displaystyle F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}\leq U,}$ثم هناك بعض${\displaystyle F_{i}}$ذلك يرضي${\displaystyle F_{i}\leq U.}$^{[ 12 ]} هذه النتيجة ليست بالضرورة صحيحة بالنسبة لمجموعة لا نهائية من المرشحات. ^{[ 12 ]}

الصورة أسفل الخريطة${\displaystyle f:X\to Y}$من مجموعة فائقة${\displaystyle U\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$هو فائق مرة أخرى وإذا${\displaystyle U}$إذا كان مرشحًا أوليًا فائقًا، فهو كذلك.${\displaystyle f(U).}$تُحفظ خاصية كون الشيء فائقًا تحت تأثير التقابلات. ومع ذلك، فإن الصورة العكسية لمرشح فائق ليست بالضرورة فائقة، حتى لو كانت الدالة شاملة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle X}$يحتوي على أكثر من نقطة واحدة، وإذا كان نطاق${\displaystyle f:X\to Y}$يتكون من نقطة واحدة${\displaystyle \{y\}}$ثم${\displaystyle \{y\}}$يوجد مرشح أولي فائق على${\displaystyle Y}$لكن صورتها الأصلية ليست فائقة. أو بدلاً من ذلك، إذا${\displaystyle U}$هو مرشح رئيسي يتم إنشاؤه بواسطة نقطة في${\displaystyle Y\setminus f(X)}$ثم الصورة الأصلية لـ${\displaystyle U}$يحتوي على المجموعة الفارغة، وبالتالي فهو ليس فائقًا.

المرشح الأولي الناتج عن متتالية لانهائية، جميع نقاطها متميزة، ليس مرشحًا فائقًا. ^{[ 12 ]} إذا${\displaystyle n=2,}$ثم${\displaystyle U_{n}}$يشير إلى المجموعة التي تتكون من جميع المجموعات الجزئية من${\displaystyle X}$امتلاك عدد أصلي${\displaystyle n,}$وإذا${\displaystyle X}$يحتوي على الأقل${\displaystyle 2n-1}$(${\displaystyle =3}$) نقاط متميزة، إذن${\displaystyle U_{n}}$هو فائق، لكنه غير موجود في أي مرشح مسبق. يمكن تعميم هذا المثال على أي عدد صحيح.${\displaystyle n>1}$وكذلك لـ${\displaystyle n=1}$لو${\displaystyle X}$تحتوي على أكثر من عنصر واحد. نادراً ما تُستخدم مجموعات Ultra التي لا تُعدّ مرشحات مسبقة.

لكل${\displaystyle S\subseteq X\times X}$وكل${\displaystyle a\in X,}$يترك${\displaystyle S{\big \vert }_{\{a\}\times X}:=\{y\in X~:~(a,y)\in S\}.}$لو${\displaystyle {\mathcal {U}}}$يوجد مرشح فائق على${\displaystyle X}$ثم مجموعة الكل${\displaystyle S\subseteq X\times X}$بحيث${\displaystyle \left\{a\in X~:~S{\big \vert }_{\{a\}\times X}\in {\mathcal {U}}\right\}\in {\mathcal {U}}}$يوجد مرشح فائق على${\displaystyle X\times X.}$^{[ 13 ]}

تم إثبات نظرية المرشح الفائق لأول مرة بواسطة ألفريد تارسكي في عام 1930. ^{[ 13 ]}

تُعادل معضلة المرشح الفائق كلًا من العبارات التالية:

1. لكل مرشح مسبق في المجموعة${\displaystyle X,}$يوجد مرشح مسبق أقصى على${\displaystyle X}$^{[ 2 ]} تابع لها.
2. كل قاعدة ترشيح فرعية مناسبة على مجموعة${\displaystyle X}$يوجد في بعض المرشحات الفائقة${\displaystyle X.}$

من نتائج معضلة المرشح الفائق أن كل مرشح يساوي تقاطع جميع المرشحات الفائقة التي تحتوي عليه. ^{[ 4 ] [ ملاحظة 2 ]}

يمكن إثبات النتائج التالية باستخدام مبرهنة المرشح الفائق. يوجد مرشح فائق حر على مجموعة${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle X}$هي مجموعة لانهائية. كل مرشح حقيقي يساوي تقاطع جميع المرشحات الفائقة التي تحتوي عليه. ^{[ 4 ]} بما أن هناك مرشحات ليست فائقة، فهذا يدل على أن تقاطع مجموعة من المرشحات الفائقة ليس بالضرورة أن يكون فائقًا. مجموعة من المجموعات${\displaystyle \mathbb {F} \neq \varnothing }$يمكن توسيعها لتشمل مرشحًا فائقًا حرًا إذا وفقط إذا كان تقاطع أي عائلة محدودة من عناصر${\displaystyle \mathbb {F} }$لا نهائي.

اكتمال المرشح الفائق${\displaystyle U}$على مجموعة القوى، أصغر عدد أصلي κ بحيث يكون هناك κ عنصرًا من${\displaystyle U}$التي لا يقع تقاطعها في${\displaystyle U.}$يشير تعريف المرشح الفائق إلى أن اكتمال أي مرشح فائق لمجموعة الطاقة يكون على الأقل${\displaystyle \aleph _{0}}$مرشح فائق تكون كفاءته أكبر من${\displaystyle \aleph _{0}}$—أي تقاطع أي مجموعة قابلة للعد من عناصر${\displaystyle U}$لا يزال في${\displaystyle U}$—يسمى كاملاً قابلاً للعد أو كاملاً من النوع σ .

إن اكتمال مرشح فائق غير رئيسي قابل للعد على مجموعة طاقة هو دائمًا عدد أساسي قابل للقياس .

الترتيب رودين-كيسلر (نسبةً إلىماري إلين رودينوهواردجيروم كيسلر) هوترتيب جزئيعلى فئة المرشحات الفائقة لمجموعات القوى، ويُعرَّف على النحو التالي: إذا${\displaystyle U}$يوجد مرشح فائق على${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$و${\displaystyle V}$مرشح فائق على${\displaystyle {\mathcal {P}}(Y),}$ثم${\displaystyle V\leq {}_{RK}U}$إذا كانت هناك دالة${\displaystyle f:X\to Y}$بحيث

${\displaystyle C\in V}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f^{-1}[C]\in U}$

لكل مجموعة جزئية${\displaystyle C\subseteq Y.}$

المرشحات الفائقة${\displaystyle U}$و${\displaystyle V}$تم الاتصال بـمكافئ رودين-كيسلر ، ويرمز له بـ U ≡ _RK V ، إذا وُجدت مجموعات${\displaystyle A\in U}$و${\displaystyle B\in V}$وتقابل​${\displaystyle f:A\to B}$الذي يحقق الشرط المذكور أعلاه. (إذا${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$إذا كانت لها نفس العددية، فيمكن تبسيط التعريف عن طريق تحديد${\displaystyle A=X,}$${\displaystyle B=Y.}$)

من المعروف أن ≡ _RK هي نواة ≤ _RK ، أي أن U ≡ _RK V إذا وفقط إذا${\displaystyle U\leq {}_{RK}V}$و${\displaystyle V\leq {}_{RK}U.}$^{[ 30 ]}

هناك العديد من الخصائص الخاصة التي يتميز بها المرشح الفائق${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega ),}$أين${\displaystyle \omega }$توسع الأعداد الطبيعية ، التي قد تمتلكها، والتي تثبت فائدتها في مجالات مختلفة من نظرية المجموعات والطوبولوجيا.

• مرشح فائق غير رئيسي${\displaystyle U}$تُسمى نقطة P (أو(انتقائية ضعيفة ) إذا كان لكلقسم${\displaystyle \left\{C_{n}:n<\omega \right\}}$ل${\displaystyle \omega }$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle n<\omega ,}$${\displaystyle C_{n}\not \in U,}$يوجد بعض${\displaystyle A\in U}$بحيث${\displaystyle A\cap C_{n}}$هي مجموعة منتهية لكل${\displaystyle n.}$
• مرشح فائق غير رئيسي${\displaystyle U}$يُطلق عليه اسم رامزي (أو انتقائي ) إذا كان لكل قسم${\displaystyle \left\{C_{n}:n<\omega \right\}}$ل${\displaystyle \omega }$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle n<\omega ,}$${\displaystyle C_{n}\not \in U,}$يوجد بعض${\displaystyle A\in U}$بحيث${\displaystyle A\cap C_{n}}$هي مجموعة أحادية لكل${\displaystyle n.}$

من البديهي أن جميع مرشحات رامزي الفائقة هي نقاط P. وقد أثبت والتر رودين أن فرضية الاستمرارية تستلزم وجود مرشحات رامزي الفائقة. ^{[ 31 ]} في الواقع، تستلزم العديد من الفرضيات وجود مرشحات رامزي الفائقة، بما في ذلك بديهية مارتن . وقد بيّن ساهارون شيلاه لاحقًا أنه من المتسق عدم وجود مرشحات فائقة من نوع P. ^{[ 32 ]} لذلك، فإن وجود هذا النوع من المرشحات الفائقة مستقل عن ZFC .

تُسمى النقاط P بهذا الاسم لأنها نقاط P طوبولوجية في الطوبولوجيا المعتادة للفضاء βω \ ω للمرشحات الفائقة غير الرئيسية. ويأتي اسم رامزي من نظرية رامزي . ولتوضيح ذلك، يمكن إثبات أن المرشح الفائق هو رامزي إذا وفقط إذا كان لكل تلوين ثنائي لـ${\displaystyle [\omega ]^{2}}$يوجد عنصر في المرشح الفائق ذو لون متجانس.

مرشح فائق على${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )}$تكون رامزي إذا وفقط إذا كانت ذات قيمة دنيا في ترتيب رودين-كيسلر للمرشحات الفائقة غير الرئيسية لمجموعة الطاقة. ^{[ 33 ]}

• الموسّع (نظرية المجموعات)
• المرشح (الرياضيات) - مجموعة فرعية خاصة من مجموعة مرتبة جزئيًا 
• تصفية مجموعة – عائلة من المجموعات الفرعية التي تمثل مجموعات "كبيرة". 
• المرشحات في علم الطوبولوجيا – استخدام المرشحات لوصف وتوصيف جميع المفاهيم والنتائج الطوبولوجية الأساسية 
• نظرية لوش – صفحات بناء رياضي تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه 
• مرشح فائق – مرشح مثالي بأقصى كفاءة 
• الشبكة الشاملة – تعميم لسلسلة من النقاط. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 

البراهين

• أرخانجيلسكي، ألكسندر فلاديميروفيتش ؛ بونوماريف، في. آي. (1984). أساسيات الطوبولوجيا العامة: مسائل وتمارين . الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  13. دوردريخت بوسطن: دي. ريدل . ISBN 978-90-277-1355-1. OCLC 9944489 . 
• بورباكي، نيكولا (1989) [1966]. الطوبولوجيا العامة: الفصول من 1 إلى 4 [ Topologie Générale ] . عناصر الرياضيات . برلين نيويورك: سبرينغر للعلوم والإعلام التجاري. دوى : 10.1007/978-3-642-61701-0 . رقم ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 . 
• ديكسمير، جاك (1984). الطوبولوجيا العامة . نصوص جامعية في الرياضيات. ترجمة: بربريان، إس كيه. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303 . 
• دوليكي، سيمون ؛ مينارد، فريدريك (2016). أسس التقارب في الطوبولوجيا . نيوجيرسي: شركة وورلد ساينتيفيك للنشر. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 . 
• دوجوندجي، جيمس (1966). الطوبولوجيا . بوسطن: ألين وبيكون. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 . 
• كزار، أكوس (1978). الطوبولوجيا العامة . ترجمة كزار، كلارا. بريستول إنجلترا: آدم هيلجر المحدودة ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011 . 
• جيتش، توماس (2006). نظرية المجموعات: طبعة الألفية الثالثة، منقحة وموسعة . برلين، نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC 50422939 . 
• جوشي، ك. د. (1983). مقدمة في الطوبولوجيا العامة . نيويورك: جون وايلي وأولاده المحدودة. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750 . 
• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 . 
• شوبرت، هورست (1968). الطوبولوجيا . لندن: ماكدونالد وشركاه. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753 . 

• كومفورت، دبليو دبليو (1977). "المرشحات الفائقة: بعض النتائج القديمة وبعض النتائج الجديدة" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 83 (4): 417-455 . doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14316-4 . ISSN 0002-9904 . MR 0454893 .  
• كومفورت، دبليو دبليو؛ نيغريبونتيس، إس. (1974)، نظرية المرشحات الفائقة ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، MR 0396267 
• مرشح فائق في مختبر n