مضلع مماس

في الهندسة الإقليدية ، يُعرف المضلع المماسي ، أو المضلع المحيط ، بأنه مضلع محدب يحتوي على دائرة داخلية (تُسمى أيضًا الدائرة المتداخلة ). هذه الدائرة مماسة لكل ضلع من أضلاع المضلع. أما المضلع الثنائي للمضلع المماسي فهو المضلع الدائري ، الذي يمر بدائرة محيطة بكل رأس من رؤوسه .

جميع المثلثات مماسية، وكذلك جميع المضلعات المنتظمة مهما كان عدد أضلاعها. ومن بين مجموعات المضلعات المماسية التي حظيت بدراسة وافية، الرباعيات المماسية ، والتي تشمل المعينات والطائرات الورقية .

يحتوي المضلع المحدب على دائرة داخلية إذا وفقط إذا كانت جميع منصفات زواياه الداخلية متلاقية . هذه النقطة المشتركة هي مركز الدائرة الداخلية . ^{[ 1 ]}

يوجد مضلع مماس مكون من n ضلعًا متتابعًا بأطوال a1 _، ...، an _إذا وفقط إذا كان نظام المعادلات

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+x_{1}=a_{n}}$

^{[ 2 ]} _{إذا كان هناك} حل ( x1 _، ...، xn ) في الأعداد الحقيقية الموجبة . [2] إذا كان هناك حل كهذا، فإن x1 _، ...، _xn هي أطوال المماس للمضلع (الأطوال من الرؤوس إلى النقاط التي يكون فيها الدائرة الداخلية مماسًا للأضلاع).

إذا كان عدد الأضلاع n فرديًا، فإنه لأي مجموعة معينة من أطوال الأضلاع ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$إذا تحقق معيار الوجود المذكور أعلاه، فلا يوجد سوى مضلع مماس واحد. أما إذا كان n زوجيًا، فهناك عدد لا نهائي من المضلعات المماسية. ^{[ 3 ] : ص 389.} على سبيل المثال، في حالة الشكل الرباعي حيث تكون جميع الأضلاع متساوية، يمكننا الحصول على معين بأي قيمة للزوايا الحادة، وجميع المعينات مماسة لدائرة داخلية.

في أي مضلع مماس (مضلع له دائرة داخلية)، تُعطى المساحة بالصيغة التالية:

${\displaystyle K=pr}$

أين${\displaystyle K}$هي مساحة المضلع،${\displaystyle p}$وهو نصف محيطها، و${\displaystyle r}$هو نصف القطر الداخلي.

وبصورة مكافئة، يمكن التعبير عن المساحة على النحو التالي:

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}r\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$

أين${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$^{[ 4 ] [ 5 ]} هي أطوال أضلاع المضلع.

• بالنسبة للمضلع المماسي ذي العدد الفردي من الأضلاع، تكون جميع الأضلاع متساوية إذا وفقط إذا كانت جميع الزوايا متساوية (أي أن المضلع منتظم). أما المضلع المماسي ذو العدد الزوجي من الأضلاع، فتكون جميع أضلاعه متساوية إذا وفقط إذا كانت الزوايا المتبادلة متساوية (أي أن الزوايا A و C و E و... متساوية، وكذلك الزوايا B و D و F و...). ^{[ 6 ]}
• في المضلع المماسي ذي العدد الزوجي من الأضلاع، يكون مجموع أطوال الأضلاع ذات العدد الفردي مساوياً لمجموع أطوال الأضلاع ذات العدد الزوجي. ^{[ 2 ]}
• المضلع المماسي له مساحة أكبر من أي مضلع آخر له نفس المحيط ونفس الزوايا الداخلية بنفس الترتيب. ^{[ 7 ] : ص 862 [ 8 ]}
• يقع مركز ثقل أي مضلع مماس، ومركز ثقل نقاط حدوده، ومركز الدائرة المحيطة به على استقامة واحدة ، حيث يقع مركز ثقل المضلع بين النقاط الأخرى، ويبعد عن مركز الدائرة الداخلية ضعف بعده عن مركز ثقل حدوده. ^{[ 7 ] : ص 858-859}

بينما تكون جميع المثلثات مماسية لدائرة ما، يُطلق على المثلث اسم المثلث المماسي لمثلث مرجعي إذا كانت تماسات المثلث المماسي مع الدائرة هي أيضًا رؤوس المثلث المرجعي.

• في الشكل السداسي المماسي ABCDEF ، تكون الأقطار الرئيسية AD و BE و CF متلاقية وفقًا لنظرية بريانشون .

• دائرة