الطائرة الورقية (الهندسة)

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 63 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة الإقليدية ، الطائرة الورقية هي شكل رباعي الأضلاع يتمتع بتناظر انعكاسي حول قطره . وبسبب هذا التناظر، تحتوي الطائرة الورقية على زاويتين متساويتين وزوجين من الأضلاع المتجاورة المتساوية الطول. تُعرف الطائرات الورقية أيضًا باسم الأشكال الدلتاوية ، [ 1 ] ولكن قد تشير كلمة "دلتويد" أيضًا إلى منحنى دلتويدي ، وهو شكل هندسي مختلف يُدرس أحيانًا في سياق الأشكال الرباعية. [ 2 ] [ 3 ] كما يُمكن تسمية الطائرة الورقية بالسهم ، [ 4 ] خاصةً إذا لم تكن محدبة. [ 5 ] [ 6 ]

كل شكل رباعي الأضلاع قائم القطر (قطراه متعامدان)، وعندما يكون محدبًا، يكون شكلًا رباعي الأضلاع مماسًا (أضلاعه مماسة لدائرة محيطة). الأشكال الرباعية المحدبة هي تحديدًا الأشكال الرباعية التي تكون قائمة القطر ومماسية في آن واحد. وتشمل هذه الأشكال، كحالات خاصة، الأشكال الرباعية القائمة الزاوية ، ذات الزاويتين القائمتين المتقابلتين؛ والمعينات ، ذات محوري تناظر قطريين؛ والمربعات ، التي تُعد أيضًا حالات خاصة من كل من الأشكال الرباعية القائمة الزاوية والمعينات.

الشكل الرباعي ذو أكبر نسبة بين المحيط والقطر هو شكل الطائرة الورقية، بزوايا 60° و75° و150°. تشكل الطائرات الورقية ذات الشكلين (أحدهما محدب والآخر غير محدب) البلاطات الأولية لأحد أشكال تبليط بنروز . كما تشكل الطائرات الورقية وجوه العديد من المجسمات متعددة الأوجه المتناظرة والتشكيلات الهندسية ، وقد دُرست في سياق البلياردو الخارجي ، وهي مسألة في الرياضيات المتقدمة للأنظمة الديناميكية .

التعريف والتصنيف

الطائرات الورقية المحدبة والمقعرة

A kite is a quadrilateral with reflection symmetry across one of its diagonals. Equivalently, it is a quadrilateral whose four sides can be grouped into two pairs of adjacent equal-length sides.[1][7] A kite can be constructed from the centers and crossing points of any two intersecting circles.[8] Kites as described here may be either convex or concave, although some sources restrict kite to mean only convex kites. A quadrilateral is a kite if and only if any one of the following conditions is true:

  • The four sides can be split into two pairs of adjacent equal-length sides.[7]
  • One diagonal crosses the midpoint of the other diagonal at a right angle, forming its perpendicular bisector.[9] (In the concave case, the line through one of the diagonals bisects the other.)
  • One diagonal is a line of symmetry. It divides the quadrilateral into two congruent triangles that are mirror images of each other.[7]
  • One diagonal bisects both of the angles at its two ends.[7]

Kite quadrilaterals are named for the wind-blown, flying kites, which often have this shape[10][11] and which are in turn named for a hovering bird and the sound it makes.[12][13] According to Olaus Henrici, the name "kite" was given to these shapes by James Joseph Sylvester.[14]

يمكن تصنيف الأشكال الرباعية تصنيفًا هرميًا ، بمعنى أن بعض فئات الأشكال الرباعية تشمل فئات أخرى، أو تصنيفًا تجزئيًا ، بمعنى أن كل شكل رباعي ينتمي إلى فئة واحدة فقط. يشمل التصنيف الهرمي للأشكال الرباعية المعينات (أشكال رباعية ذات أربعة أضلاع متساوية)، والمربعات ، [ 15 ] والأشكال الرباعية أبولونيوس (حيث يكون حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة متساويًا). [ 16 ] جميع الأشكال الرباعية متساوية الأضلاع هي معينات، وجميع الأشكال الرباعية متساوية الزوايا هي مربعات. عند التصنيف التجزئي، لا تُعتبر المعينات والمربعات أشكالًا رباعية، لأنها تنتمي إلى فئة مختلفة من الأشكال الرباعية؛ وبالمثل، فإن الأشكال الرباعية القائمة التي سيتم تناولها لاحقًا لا تُعتبر أشكالًا رباعية. يتبع الجزء المتبقي من هذه المقالة تصنيفًا هرميًا؛ حيث تُعتبر المعينات والمربعات والأشكال الرباعية القائمة جميعها أشكالًا رباعية. من خلال تجنب الحاجة إلى النظر في الحالات الخاصة، يُمكن لهذا التصنيف تبسيط بعض الحقائق المتعلقة بالأشكال الرباعية. [ 15 ]

مثل الطائرة الورقية، يمتلك متوازي الأضلاع زوجين من الأضلاع المتساوية في الطول، لكنها متقابلة وليست متجاورة. أي شكل رباعي غير متقاطع ذاتيًا وله محور تناظر، يجب أن يكون إما طائرة ورقية، بمحور تناظر قطري؛ أو شبه منحرف متساوي الساقين ، بمحور تناظر يمر بمنتصف ضلعين. تشمل هذه الحالات الخاصة المعين والمستطيل على التوالي، والمربع ، الذي يُعد حالة خاصة من كليهما. [ 1 ] تشمل الأشكال الرباعية المتقاطعة ذاتيًا فئة أخرى من الأشكال الرباعية المتناظرة، وهي متوازيات الأضلاع المضادة . [ 17 ]

حالات خاصة

الطائرة الورقية اليمنى
طائرة ورقية متساوية الأقطار في مثلث رولو
عود فيثاغورس

للطائرات الورقية القائمة زاويتان قائمتان متقابلتان . [ 15 ] [ 17 ] الطائرات الورقية القائمة هي تحديدًا الطائرات الورقية التي تُعدّ أشكالًا رباعية دائرية ، أي أن هناك دائرة تمر بجميع رؤوسها. [ 18 ] يمكن تعريف الأشكال الرباعية الدائرية بشكل مكافئ بأنها الأشكال الرباعية التي تكون فيها زاويتان متقابلتان متكاملتين (مجموعهما 180 درجة)؛ إذا كان أحد الزوجين متكاملًا، فإن الآخر كذلك. [ 9 ] لذلك، فإن الطائرات الورقية القائمة هي الطائرات الورقية التي تحتوي على زاويتين متكاملتين متقابلتين، لأي من الزوجين المتقابلين من الزوايا. ولأن الطائرات الورقية القائمة تُحيط بدائرة وتُرسم داخل دائرة أخرى، فهي أشكال رباعية ثنائية المركز (في الواقع ثلاثية المركز، حيث يوجد لها أيضًا دائرة ثالثة مماسة خارجيًا لامتدادات أضلاعها ). [ 17 ] إذا تم تثبيت حجمي الدائرة المرسومة والدائرة المحيطة، فإن الطائرة الورقية القائمة لها أكبر مساحة بين جميع الأشكال الرباعية المحصورة بينهما. [ 19 ]

من بين جميع الأشكال الرباعية، يُعدّ الشكل ذو النسبة الأكبر بين محيطه وقطره (أقصى مسافة بين أي نقطتين) هو شكل الطائرة الورقية متساوية الأقطار بزوايا 60°، 75°، 150°، 75°. تقع رؤوسه الأربعة عند الزوايا الثلاث ومنتصف أحد أضلاع مثلث رولو . [ 20 ] [ 21 ] تُعتبر الطائرة الورقية متساوية الأقطار حالة خاصة من الشكل الرباعي المربع . عندما تكون أطوال أضلاع الطائرة الورقية متساوية الأقطار أقل من أو تساوي أقطارها، كما هو الحال في هذا الشكل أو المربع، فإنها تُعدّ من بين الأشكال الرباعية ذات النسبة الأكبر بين مساحتها وقطرها . [ 22 ]

تُشكّل طائرة ورقية بثلاث زوايا قياس كل منها ١٠٨ درجة وزاوية واحدة قياسها ٣٦ درجة الغلاف المحدب لآلة فيثاغورس الهندسية ، وهي شكل كسري يتكون من نجوم خماسية متداخلة . [ ٢٣ ] تقع أضلاع هذه الطائرة الورقية الأربعة على أربعة من أضلاع خماسي منتظم ، مع مثلث ذهبي مُلصق على الضلع الخامس. [ ١٧ ]

جزء من تبليط غير دوري ببلاطات أولية مصنوعة من ثمانية أشكال طائرة ورقية

لا يوجد سوى ثمانية مضلعات يمكنها تبليط المستوى بحيث يؤدي عكس أي بلاطة على أي من حوافها إلى إنتاج بلاطة أخرى؛ يُسمى هذا الترتيب تبليط الحواف . أحد هذه المضلعات هو تبليط بواسطة شكل طائرة ورقية قائم، بزوايا 60° و90° و120°. ينتج عنه تبليط ثلاثي سداسي دلتاوي (انظر §  التبليطات والمجسمات متعددة السطوح ). [ 24 ] بلاطة أولية مكونة من ثمانية من هذه الطائرات الورقية تبلط المستوى بشكل غير دوري فقط ، وهو مفتاح لحل مزعوم لمسألة أينشتاين . [ 25 ]

في الهندسة غير الإقليدية ، يمكن أن يحتوي الشكل الرباعي على ثلاث زوايا قائمة وزاوية واحدة غير قائمة، مما يشكل حالة خاصة من رباعي لامبرت . الزاوية الرابعة حادة في الهندسة الزائدية ومنفرجة في الهندسة الكروية . [ 26 ]

ملكيات

الأقطار والزوايا والمساحة

كل شكل رباعي الأضلاع قائم القطر ، أي أن قطريه متعامدان . علاوة على ذلك، فإن أحد القطرين (محور التناظر) هو المنصف العمودي للقطر الآخر، وهو أيضًا منصف الزاويتين اللتين يتقاطع معهما. [ 1 ] وبسبب تناظره، يجب أن تكون الزاويتان الأخريان للشكل الرباعي متساويتين. [ 10 ] [ 11 ] يقسم محور التناظر القطري للشكل الرباعي المحدب هذا الشكل إلى مثلثين متطابقين ؛ بينما يقسمه القطر الآخر إلى مثلثين متساويي الساقين . [ 1 ]

وكما هو الحال بشكل عام بالنسبة لأي شكل رباعي الأضلاع متعامد، فإن المساحةأ{\displaystyle A}يمكن حساب طول الطائرة الورقية على أنه نصف حاصل ضرب أطوال أقطارها .ص{\displaystyle p}و​​q{\displaystyle q}⁠ : [ 10 ]أ=ص⋅q2.{\displaystyle A={\frac {p\cdot q}{2}}.} بدلاً من ذلك، يمكن حساب المساحة بتقسيم شكل الطائرة الورقية إلى مثلثين متطابقين وتطبيق صيغة SAS لحساب مساحتهما.أ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}يمثلان طول ضلعين من أضلاع الطائرة الورقية، وθ{\displaystyle \theta }إذا كانت الزاوية بينهما، فإن المساحة هي [ 27 ]أ=أب⋅الخطيئة⁡θ.{\displaystyle \displaystyle A=ab\cdot \sin \theta .}

دائرة منقوشة

دائرتان مماستان لجوانب وامتدادات شكل رباعي محدب (أعلى)، وشكل رباعي غير محدب (وسط)، وشكل رباعي متوازي الأضلاع (أسفل). الخطوط الأربعة المارة بجوانب كل شكل رباعي هي مماسات ثنائية للدوائر.

كل شكل رباعي محدب هو أيضًا شكل رباعي مماس ، أي شكل رباعي له دائرة داخلية . بمعنى آخر، توجد دائرة تمس جميع أضلاعه الأربعة. بالإضافة إلى ذلك، إذا لم يكن الشكل الرباعي المحدب معينًا، فستكون هناك دائرة خارجية تمس امتدادات أضلاعه الأربعة؛ لذلك، فإن كل شكل رباعي محدب ليس معينًا هو شكل رباعي خارجي مماس . الأشكال الرباعية المحدبة التي ليست معينات هي تحديدًا الأشكال الرباعية المماسية والخارجية في آن واحد. [ 17 ] أما بالنسبة لكل شكل رباعي مقعر ، فتوجد دائرتان تمسان ضلعين من أضلاعه وامتدادات الضلعين الآخرين: إحداهما داخلية وتلامس الضلعين المقابلين للزاوية المقعرة، بينما الأخرى خارجية وتلامس الضلعين المتصلين بالزاوية المقعرة. [ 28 ]

بالنسبة لطائرة ورقية محدبة ذات أطوال قطريةص{\displaystyle p}و​​q{\displaystyle q}وأطوال الجوانب​أ{\displaystyle a}و​​ب{\displaystyle b}، نصف القطرر{\displaystyle r}جزء من الدائرة المرسومة هور=صq2(أ+ب)،{\displaystyle r={\frac {pq}{2(a+b)}},} ونصف القطرρ{\displaystyle \rho }جزء من الدائرة المماسية الخارجية هو [ 17 ]ρ=صq2|أ-ب|.{\displaystyle \rho ={\frac {pq}{2|a-b|}}.}

يكون الشكل الرباعي المماسي أيضًا شكلًا يشبه الطائرة الورقية إذا وفقط إذا كان أي من الشروط التالية صحيحًا: [ 29 ]

  • المساحة تساوي نصف حاصل ضرب القطرين .
  • الأقطار متعامدة . (وبالتالي فإن الأشكال الورقية هي بالضبط الأشكال الرباعية التي تكون مماسية ومتعامدة في نفس الوقت .)
  • القطعتان المستقيمتان اللتان تربطان نقطتي التماس المتقابلتين لهما نفس الطول.
  • أطوال المماسات ، أي المسافات من نقطة التماس إلى رأس مجاور في الشكل الرباعي، متساوية عند رأسين متقابلين من الشكل الرباعي. (عند كل رأس، توجد نقطتا تماس متجاورتان، لكنهما تبعدان عن الرأس نفس المسافة، لذا فإن لكل رأس طول مماس واحد).
  • للخطين المتوسطين ، وهما قطعتان مستقيمتان تربطان منتصفات الحواف المتقابلة، طول متساوٍ.
  • حاصل ضرب أطوال الأضلاع المتقابلة متساوٍ.
  • يقع مركز الدائرة الداخلية على خط تناظر وهو أيضاً قطري.

إذا كانت الأقطار في شكل رباعي مماس ⁠أبجد{\displaystyle ABCD}يتقاطعان عند​P{\displaystyle P}، والدوائر الداخلية للمثلثات​أبP{\displaystyle ABP}} ,​بجP{\displaystyle BCP}،​​جدP{\displaystyle CDP}،​​دأP{\displaystyle DAP}لها أنصاف أقطارر1{\displaystyle r_{1}}،​​ر2{\displaystyle r_{2}}،​​ر3{\displaystyle r_{3}}و​​ر4{\displaystyle r_{4}}على التوالي، فإن الشكل الرباعي يكون شكل طائرة ورقية إذا وفقط إذا [ 29 ]ر1+ر3=ر2+ر4.{\displaystyle r_{1}+r_{3}=r_{2}+r_{4}.} إذا كانت الدوائر الخارجية تؤدي إلى نفس المثلثات الأربعة المقابلة للرأسP{\displaystyle P}لها أنصاف أقطارR1{\displaystyle R_{1}}،​​R2{\displaystyle R_{2}}،​​R3{\displaystyle R_{3}}و​​R4{\displaystyle R_{4}}على التوالي، فإن الشكل الرباعي يكون شكل طائرة ورقية إذا وفقط إذا [ 29 ]R1+R3=R2+R4.{\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}.}

الازدواجية

طائرة ورقية وشبه منحرف مزدوج متساوي الساقين

تُعتبر الطائرات الورقية وشبه المنحرف متساوي الساقين متناظرتين، أي أن بينهما تطابقًا يعكس أبعاد أجزائهما، حيث تُصبح الرؤوس أضلاعًا والأضلاع رؤوسًا. في أي طائرة ورقية، تكون الدائرة المحيطة بها مماسة لأضلاعها الأربعة عند رؤوس شبه المنحرف متساوي الساقين. وبالنسبة لأي شبه منحرف متساوي الساقين، تُشكل الخطوط المماسية للدائرة المحيطة عند رؤوسه الأربعة أضلاع الطائرة الورقية. يُمكن اعتبار هذا التطابق مثالًا على التبادل القطبي ، وهي طريقة عامة لمطابقة النقاط مع الخطوط والعكس عند دائرة ثابتة. على الرغم من أن رؤوس الطائرة الورقية لا تلامس الدائرة، إلا أنها متبادلة في هذا السياق مع أضلاع شبه المنحرف متساوي الساقين. [ 30 ] تُقارن خصائص الطائرات الورقية وشبه المنحرف متساوي الساقين المتناظرة في هذا السياق في الجدول أدناه. [ 7 ]

شبه منحرف متساوي الساقينطائرة ورقية
زوجان من الزوايا المتجاورة المتساويةزوجان من الأضلاع المتجاورة المتساوية
جانبان متقابلان متساويانزاويتان متساويتان متقابلتان
ضلعان متقابلان لهما منصف عمودي مشتركزاويتان متقابلتان لهما منصف زاوية مشترك
محور تناظر يمر عبر جانبين متقابلينمحور تناظر يمر عبر زاويتين متقابلتين
دائرة محيطة تمر بجميع الرؤوسدائرة داخلية مماسة لجميع الجوانب

تشريح

تتعلق مسألة التقسيم المتساوي بتقسيم المضلعات إلى مثلثات متساوية المساحة. في هذا السياق، يُعرَّف طيف المضلع بأنه مجموعة الأعدادن{\displaystyle n}بحيث يكون للمضلع تقسيم متساوٍ إلىن{\displaystyle n}المثلثات متساوية المساحة. وبسبب تناظرها، يحتوي طيف الطائرة الورقية على جميع الأعداد الزوجية. كما تحتوي بعض الطائرات الورقية الخاصة على بعض الأعداد الفردية في أطيافها. [ 31 ] [ 32 ]

يمكن تقسيم كل مثلث إلى ثلاثة أشكال طائرة ورقية قائمة تلتقي في مركز دائرته الداخلية. وبشكل أعم، يمكن استخدام طريقة تعتمد على تعبئة الدوائر لتقسيم أي مضلع.ن{\displaystyle n}الجوانب |يا(ن){\displaystyle O(n)}الطائرات الورقية، تلتقي من الحافة إلى الحافة. ​​[ 33 ]

التبليطات والأشكال متعددة الأوجه

البناء المتكرر لبلاط بنروز للطائرة الورقية والسهام
وردة متفرعة من طائرات بنروز الورقية

تُغطي جميع الأشكال الورقية المستوى عن طريق انعكاس نقطي متكرر حول منتصفات حوافها، كما هو الحال بشكل عام مع جميع الأشكال الرباعية. [ 34 ] تُشكل الأشكال الورقية والسهام ذات الزوايا 72°، 72°، 72°، 144° و36°، 72°، 36°، 216° على التوالي، البلاطات الأولية لأحد أنواع تبليط بنروز ، وهو تبليط غير دوري للمستوى اكتشفه الفيزيائي الرياضي روجر بنروز . [ 5 ] عندما يكون للشكل الورقي زوايا مجموعها عند قمته وأحد جوانبه يساويπ(1-1ن){\displaystyle \pi (1-{\tfrac {1}{n}})}لبعض الأعداد الصحيحة الموجبةن{\displaystyle n}ثم يمكن استخدام نسخ مصغرة من تلك الطائرة الورقية لتبليط المستوى في وردة كسورية حيث تكون الحلقات الأكبر حجماً تدريجياً منن{\displaystyle n}تُحيط الطائرات الورقية بنقطة مركزية. [ 35 ] يمكن استخدام هذه الأشكال الوردية لدراسة ظاهرة الانهيار غير المرن، حيث تتحد مجموعة من الجسيمات المتحركة التي تلتقي في تصادمات غير مرنة عند نقطة مشتركة. [ 36 ]

يمكن لطائرة ورقية بزوايا 60°، 90°، 120°، 90° أن تُبلّط المستوى بانعكاس متكرر على حوافها؛ والتبليط الناتج، وهو التبليط الثلاثي السداسي الدلتاوي ، يُركّب تبليطًا للمستوى بواسطة سداسيات منتظمة ومثلثات متساوية الساقين. [ 17 ] يُعدّ كلٌّ من المجسم الدلتاوي ذو العشرين وجهًا ، والمجسم الدلتاوي ذو السداسي المتطابق ، والمجسم شبه المنحرف، متعددات وجوه ذات أوجه متطابقة على شكل طائرة ورقية ، [ 37 ] والتي يمكن اعتبارها بديلًا لتبليط الكرة بواسطة طائرات ورقية كروية متطابقة. [ 38 ] يوجد عدد لا نهائي من التبليطات المتناظرة الوجهية للمستوى الزائدي بواسطة الطائرات الورقية. [ 39 ] تُعرض في الجدول أدناه هذه المجسمات (أو ما يُعادلها من تبليطات كروية)، والتبليطات المربعة والمثلثة السداسية للمستوى الإقليدي، وبعض تبليطات المستوى الزائدي، مُصنفةً حسب تكوين الأوجه (عدد الجيران لكل رأس من الرؤوس الأربعة لكل بلاطة). تظهر بعض المجسمات والتبليطات مرتين، بتكوينين مختلفين للأوجه.

متعددات السطوحإقليدي
الإصدار 4.3.4.3الإصدار 4.3.4.4الإصدار 4.3.4.5الإصدار 4.3.4.6
متعددات السطوحإقليديالتبليط الزائدي
الإصدار 4.4.4.3الإصدار 4.4.4.4الإصدار 4.4.4.5الإصدار 4.4.4.6
متعددات السطوحالتبليط الزائدي
الإصدار 4.3.4.5الإصدار 4.4.4.5الإصدار 4.5.4.5الإصدار 4.6.4.5
إقليديالتبليط الزائدي
الإصدار 4.3.4.6الإصدار 4.4.4.6الإصدار 4.5.4.6الإصدار 4.6.4.6
نرد ذو عشرة أوجه

المجسمات شبه المنحرفة هي فئة أخرى من المجسمات متعددة الأوجه ذات وجوه متطابقة على شكل طائرة ورقية. في هذه المجسمات، تلتقي حواف أحد ضلعي الطائرة الورقية عند رأسين "قطبيين"، بينما تشكل حواف الضلع الآخر مسارًا متعرجًا استوائيًا حول المجسم. وهي المجسمات الثنائية للموشورات المضادة المنتظمة . [ 37 ] ومن الأمثلة الشائعة عليها المجسم شبه المنحرف الخماسي ، المستخدم في النرد ذي العشرة أوجه . [ 17 ]

البلياردو الخارجي

درس عالم الرياضيات ريتشارد شوارتز البلياردو الخارجي على الطائرات الورقية. البلياردو الخارجي هو نظام ديناميكي يتم فيه، انطلاقًا من نقطة خارج مجموعة محدبة مضغوطة معينة في المستوى، رسم خط مماس للمجموعة المحدبة، ثم الانتقال من نقطة البداية على طول هذا الخط إلى نقطة أخرى تبعد مسافة متساوية عن نقطة التماس، ثم تكرار العملية نفسها. كان السؤال مطروحًا منذ خمسينيات القرن الماضي حول ما إذا كان أي نظام مُعرَّف بهذه الطريقة قادرًا على إنتاج مسارات تبتعد بشكل عشوائي عن نقطة البداية، وفي ورقة بحثية نُشرت عام 2007، حلّ شوارتز هذه المشكلة من خلال إيجاد مسارات بلياردو غير محدودة للطائرة الورقية بزوايا 72°، 72°، 72°، 144°، وهي نفس الزوايا المستخدمة في تبليط بنروز. [ 40 ] وفي وقت لاحق، كتب دراسة تحليلية تُحلل البلياردو الخارجي لأشكال الطائرات الورقية بشكل عام. في هذه المسألة، يحافظ أي تحويل خطي لشكل الطائرة الورقية على الخصائص الديناميكية للبلياردو الخارجي عليه، ومن الممكن تحويل أي طائرة ورقية إلى شكل تكون فيه ثلاثة رؤوس عند النقاط ⁠(-1،0){\displaystyle (-1,0)}و​​(0،±1){\displaystyle (0,\pm 1)}، مع الرابع في(α،0){\displaystyle (\alpha ,0)}مع​​α{\displaystyle \alpha }في الفترة المفتوحة للوحدة(0،1){\displaystyle (0,1)}يعتمد سلوك البلياردو الخارجي على أي طائرة ورقية بشكل كبير على المعاملα{\displaystyle \alpha }وبالأخص ما إذا كان ذلك منطقياً . بالنسبة لحالة طائرة بنروز الورقية ،α=1/φ3{\displaystyle \textstyle \alpha =1/\varphi ^{3}}، عدد غير نسبي، حيثφ=12(1+5 ){\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}⁠ هي النسبة الذهبية . [ 41 ]

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 هالستيد، جورج بروس (1896)، "الفصل الرابع عشر: الأشكال الرباعية المتناظرة" ، الهندسة التركيبية الابتدائية ، جون وايلي وأولاده، الصفحات 49-53 
  2. ↑ غورماغتيغ، ر. (1947)، "الخطوط المتعامدة والخطوط متساوية القطب في الشكل الرباعي الدائري"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 54 (4): 211-214 ، doi : 10.1080/00029890.1947.11991815 ، JSTOR 2304700 ، MR 0019934  
  3. ↑ انظرمراجعة HSM Coxeter لكتاب Grünbaum (1960) في MR 0125489 : "من المؤسف أن المؤلف يستخدم، بدلاً من كلمة "طائرة ورقية"، اسم "دلتويد"، الذي ينتمي بشكل أدق إلى منحنى، وهو المنحنى ثلاثي الرؤوس السفلي." 
  4. ↑ تشارتر، كيفن؛ روجرز، توماس (1993)، "ديناميكيات طي الأشكال الرباعية" ، الرياضيات التجريبية ، 2 (3): 209-222 ، doi : 10.1080/10586458.1993.10504278 ، MR 1273409 
  5. 1 2 غاردنر، مارتن (يناير 1977)، "تبليط غير دوري استثنائي يُثري نظرية البلاطات"، الألعاب الرياضية، مجلة ساينتفك أمريكان ، المجلد 236، العدد 1، الصفحات 110-121 ، Bibcode : 1977SciAm.236a.110G ، doi : 10.1038/scientificamerican0177-110 ، JSTOR 24953856    
  6. ↑ ثورستون، ويليام ب. (1998)، "أشكال المجسمات متعددة الأوجه وتثليثات الكرة"، في ريفين، إيغور ؛ رورك، كولين؛ سيريز، كارولين (محررون)، كتاب عيد ميلاد إبشتاين ، سلسلة دراسات في الهندسة والطوبولوجيا، المجلد 1، كوفنتري: ناشرو العلوم الرياضية، الصفحات 511-549 ، arXiv : math/9801088 ، doi : 10.2140/gtm.1998.1.511 ، MR 1668340   
  7. 1 2 3 4 5 دي فيلييرز، مايكل (2009)، بعض المغامرات في الهندسة الإقليدية ، التعلم الديناميكي للرياضيات، ص 16، 55، ISBN  978-0-557-10295-2
  8. ↑ سيكسي، دينيس (2004)، الدليل الكامل للمبتدئين في الهندسة ، دار بنغوين للنشر، الصفحات 290-291 ، رقم ISBN  9781592571833
  9. 1 2 أوسيسكين، زلمان؛ غريفين، جينيفر ( 2008)، تصنيف الأشكال الرباعية: دراسة للتعريف ، دار نشر عصر المعلومات ، الصفحات 49-52 ، 63-67 
  10. 123Beamer, James E. (May 1975), "The tale of a kite", The Arithmetic Teacher, 22 (5): 382–386, doi:10.5951/at.22.5.0382, JSTOR 41188788
  11. 12Alexander, Daniel C.; Koeberlein, Geralyn M. (2014), Elementary Geometry for College Students (6th ed.), Cengage Learning, pp. 180–181, ISBN 9781285965901
  12. ↑Suay, Juan Miguel; Teira, David (2014), "Kites: the rise and fall of a scientific object"(PDF), Nuncius, 29 (2): 439–463, doi:10.1163/18253911-02902004
  13. ↑Liberman, Anatoly (2009), Word Origins...And How We Know Them: Etymology for Everyone, Oxford University Press, p. 17, ISBN 9780195387070
  14. ↑Henrici, Olaus (1879), Elementary Geometry: Congruent Figures, Longmans, Green, p. xiv
  15. 123De Villiers, Michael (February 1994), "The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals", For the Learning of Mathematics, 14 (1): 11–18, JSTOR 40248098
  16. ↑Haruki, Hiroshi; Rassias, Themistocles M. (1998), "A new characteristic of Möbius transformations by use of Apollonius quadrilaterals", Proceedings of the American Mathematical Society, 126 (10): 2857–2861, doi:10.1090/S0002-9939-98-04736-4, JSTOR 119083, MR 1485479
  17. 12345678Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2020), "Section 3.4: Kites", A Cornucopia of Quadrilaterals, The Dolciani Mathematical Expositions, vol. 55, Providence, Rhode Island: MAA Press and American Mathematical Society, pp. 73–78, ISBN 978-1-4704-5312-1, MR 4286138; see also antiparallelograms, p. 212
  18. ↑Gant, P. (1944), "A note on quadrilaterals", The Mathematical Gazette, 28 (278): 29–30, doi:10.2307/3607362, JSTOR 3607362
  19. ↑ جوزيفسون، مارتن (2012)، "المساحة القصوى لشكل رباعي ثنائي المركز" (ملف PDF) ، منتدى الهندسة ، 12 : 237-241 ، MR 2990945 ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2016-10-07 ، تم استرجاعه بتاريخ 2014-04-11 
  20. ↑ بول، دي جي (1973)، "تعميم لـπ{\displaystyle \pi }"، The Mathematical Gazette ، 57 (402): 298–303 ، doi : 10.2307/3616052 ، JSTOR 3616052 
  21. ↑ غريفيث، ديفيد؛ كولبين، ديفيد (1975)، "المضلعات المثلى باي"، المجلة الرياضية ، 59 (409): 165-175 ، doi : 10.2307/3617699 ، JSTOR 3617699 
  22. ↑ أوديت، تشارلز؛ هانسن، بيير؛ سفيرتان، دراغوتين (2021)، "استخدام الحسابات الرمزية لتحديد أكبر المضلعات الصغيرة" ، مجلة التحسين العالمي ، 81 (1): 261-268 ، doi : 10.1007/s10898-020-00908-w ، MR 4299185 
  23. ↑ دارلينج، ديفيد (2004)، الكتاب الشامل للرياضيات: من أبراكادابرا إلى مفارقات زينون ، جون وايلي وأولاده ، ص 260، رقم ISBN  9780471667001
  24. ↑ كيربي، ماثيو؛ أمبل، رونالد (2011)، "تبليط الحواف وألغاز طي الطوابع"، مجلة الرياضيات ، 84 (4): 283-289 ، arXiv : 0908.3257 ، doi : 10.4169/math.mag.84.4.283 ، MR 2843659 
  25. ↑ سميث، ديفيد؛ مايرز، جوزيف صموئيل؛ كابلان، كريج س.؛ جودمان-ستراوس، حاييم (2024)، "مصفوفة أحادية غير دورية"، نظرية التوافقية ، 4 ، arXiv : 2303.10798 ، doi : 10.5070/C64163843
  26. ↑ إيفز، هوارد ويتلي (1995)، هندسة الكلية ، جونز وبارتليت ليرنينج ، ص 245، ISBN  9780867204759
  27. ^ “OC506” (PDF) ، حلول ركن الأولمبياد، Crux Mathematicorum ، 47 (5): 241، مايو 2021
  28. ↑ ويلر، روجر ف. (1958)، "الأشكال الرباعية"، المجلة الرياضية ، 42 (342): 275-276 ، doi : 10.2307/3610439 ، JSTOR 3610439 
  29. 1 2 3 جوزيفسون، مارتن (2011)، "متى يكون الشكل الرباعي المماسي شكلاً يشبه الطائرة الورقية؟" (ملف PDF) ، منتدى الهندسة ، 11 : 165-174 ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 17-10-2022 ، تم استرجاعه بتاريخ 29-08-2022
  30. ↑ روبرتسون، إس. أ. (1977)، "تصنيف المثلثات والأشكال الرباعية"، المجلة الرياضية ، 61 (415): 38-49 ، doi : 10.2307/3617441 ، JSTOR 3617441 
  31. ↑ كاسيماتيس، إيلين أ .؛ شتاين، شيرمان ك. (ديسمبر 1990)، "التقسيمات المتساوية للمضلعات"، الرياضيات المتقطعة ، 85 (3): 281-294 ، doi : 10.1016/0012-365X(90)90384-T ، MR 1081836 ، Zbl 0736.05028  
  32. ↑ جيبسن، تشارلز هـ.؛ سيدبيري، تريفور؛ هوير، رولف (2009)، "التقسيم المتساوي للأشكال الرباعية على شكل طائرة ورقية" (ملف PDF) ، مجلة Involve: مجلة الرياضيات ، 2 (1): 89-93 ، doi : 10.2140/involve.2009.2.89 ، MR 2501347 
  33. ↑ بيرن، مارشال؛ إبستين، ديفيد (2000)، "تقسيم الأشكال الرباعية باستخدام تعبئة الدوائر"، المجلة الدولية للهندسة الحسابية والتطبيقات ، 10 (4): 347-360 ، arXiv : cs.CG/9908016 ، doi : 10.1142/S0218195900000206 ، MR 1791192 
  34. ↑ شاتشنايدر، دوريس (1993)، "سحر التبليط" ، في إيمر، ميشيل (محرر)، العقل البصري: الفن والرياضيات ، سلسلة كتب ليوناردو، كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، ص 157-164 ، ISBN  0-262-05048-XMR 1255846​ 
  35. ↑ فاثاور، روبرت (2018)، "الفن والرياضيات الترفيهية القائمة على تبليط الوردات باستخدام الطائرات الورقية" ، في تورنس، إيف ؛ تورنس، بروس؛ سيكوين، كارلو ؛ فينيفيزي، كريستوف (محررون)، وقائع مؤتمر بريدجز 2018: الرياضيات، الفن، الموسيقى، العمارة، التعليم، الثقافة ، فينيكس، أريزونا: دار نشر تيسيليشنز، ص 15-22 ، ISBN  978-1-938664-27-4
  36. ↑ شازيل، برنارد ؛ كارنتيكون، كريتكورن؛ تشنغ، يوفي (2022)، "مقاربة هندسية للانهيار غير المرن"، مجلة الهندسة الحاسوبية ، 13 (1): 197-203 ، doi : 10.20382/jocg.v13i1a7 ، MR 4414332 
  37. 1 2 غرونباوم، ب. (1960)، "حول متعددات السطوح فيهـ3{\displaystyle E^{3}}"ذات جميع الوجوه متطابقة"، نشرة مجلس البحوث الإسرائيلي ، 8F : 215-218 (1960)، MR 0125489 
  38. ^ ساكانو، يوداي؛ Akama، Yohji (2015)، “المثلثات الكروية Anisohedral وتصنيف التبليط الكروي بواسطة الطائرات الورقية والسهام والمعينات المتطابقة” ، مجلة هيروشيما الرياضية ، 45 (3): 309–339 ، دوى : 10.32917/hmj/1448323768 ، MR 3429167 
  39. ↑ دونهام، دوغلاس؛ ليندغرين، جون؛ ويت، ديف (1981)، "إنشاء أنماط زائدية متكررة"، في غرين، دوغ؛ لوسيدو، توني؛ فوكس، هنري (محررون)، وقائع المؤتمر السنوي الثامن حول رسومات الحاسوب والتقنيات التفاعلية، سيغراف 1981، دالاس، تكساس، الولايات المتحدة الأمريكية، 3-7 أغسطس 1981 ، رابطة آلات الحوسبة ، ص 215-223 ، doi : 10.1145/800224.806808 ، ISBN  0-89791-045-1
  40. ↑ شوارتز، ريتشارد إيفان (2007)، "المدارات غير المحدودة للبلياردو الخارجي، الجزء الأول"، مجلة الديناميكا الحديثة ، 1 (3): 371-424 ، arXiv : math/0702073 ، doi : 10.3934/jmd.2007.1.371 ، MR 2318496 
  41. ↑ شوارتز، ريتشارد إيفان (2009)، البلياردو الخارجي على الطائرات الورقية ، حوليات دراسات الرياضيات، المجلد 171، برينستون، نيو جيرسي: مطبعة جامعة برينستون ، doi : 10.1515/9781400831975 ، ISBN  978-0-691-14249-4MR 2562898​