تصنيف الانقطاعات

على الرغم من أهمية الدوال المتصلة في الرياضيات ، إلا أن ليس كل الدوال متصلة. إذا لم تكن الدالة متصلة عند نقطة حدية (تُسمى أيضًا "نقطة تراكم" أو "نقطة عنقود") في مجالها ، فإنها تُعاني من انقطاع عند تلك النقطة. قد تكون مجموعة جميع نقاط انقطاع الدالة مجموعة منفصلة ، ​​أو مجموعة كثيفة ، أو حتى مجال الدالة بأكمله.

في التحليل الحقيقي الابتدائي ، تُصنّف حالات عدم الاتصال للدوال الحقيقية ذات المتغير الحقيقي الواحد عادةً وفقًا لسلوك النهايات أحادية الجانب. ورغم عدم وجود تصنيف موحد تمامًا، إلا أن التقسيم الشائع هو بين حالات عدم الاتصال من النوع الأول، حيث توجد النهايات أحادية الجانب ذات الصلة، وحالات عدم الاتصال من النوع الثاني، حيث لا توجد نهاية أحادية الجانب واحدة على الأقل أو تكون لانهائية. وتشمل الحالات الخاصة حالات عدم الاتصال القابلة للإزالة وحالات عدم الاتصال القفزية .

لكل مما يلي، ضع في اعتبارك دالة حقيقية القيمة${\displaystyle f}$لمتغير حقيقي${\displaystyle x,}$محدد في جوار النقطة${\displaystyle x_{0}}$عندها${\displaystyle f}$غير متصل.

انقطاع قابل للإزالة

لنفترض الدالة متعددة التعريف$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\2-x&{\text{ for }}x>1\end{cases}}}$$

النقطة${\displaystyle x_{0}=1}$هو انقطاع قابل للإزالة . بالنسبة لهذا النوع من الانقطاع:

النهاية من جانب واحد من الاتجاه السالب: $${\displaystyle L^{-}=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)}$$ والحد من جانب واحد من الاتجاه الموجب: $${\displaystyle L^{+}=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)}$$ في${\displaystyle x_{0}}$كلاهما موجودان، ومحدودان، ومتساويان.${\displaystyle L=L^{-}=L^{+}.}$بمعنى آخر، بما أن النهايتين من جانب واحد موجودتان ومتساويتان، فإن النهاية${\displaystyle L}$ل${\displaystyle f(x)}$مثل${\displaystyle x}$الأساليب${\displaystyle x_{0}}$موجودة وتساوي هذه القيمة نفسها. إذا كانت القيمة الفعلية لـ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)}$لا يساوي​${\displaystyle L,}$ثم${\displaystyle x_{0}}$يُطلق عليه اسمانقطاع قابل للإزالة . يمكن إزالة هذا الانقطاع لجعل${\displaystyle f}$مستمر عند${\displaystyle x_{0},}$أو بتعبير أدق، الوظيفة $${\displaystyle g(x)={\begin{cases}f(x)&x\neq x_{0}\\L&x=x_{0}\end{cases}}}$$ متصل عند${\displaystyle x=x_{0}.}$

يُوسّع مصطلح "الانقطاع القابل للإزالة" أحيانًا ليشمل " التفرد القابل للإزالة" ، حيث توجد النهايات في كلا الاتجاهين وتكون متساوية، بينما تكون الدالة غير مُعرّفة عند تلك النقطة.${\displaystyle x_{0}.}$^{[ أ ]} هذا الاستخدام هوإساءة استخدام للمصطلحاتلأناستمراريةوعدم استمرارية الدالة هما مفهومان يتم تعريفهما فقط للنقاط الموجودة في مجال الدالة.

انقطاع القفزة

ضع في اعتبارك الدالة $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$$

ثم، النقطة${\displaystyle x_{0}=1}$هوانقطاع القفزة .

في هذه الحالة، لا توجد نهاية واحدة لأن النهايات أحادية الجانب،${\displaystyle L^{-}}$و${\displaystyle L^{+}}$موجودة ومحدودة، لكنها غير متساوية: لأن،${\displaystyle L^{-}\neq L^{+},}$الحد${\displaystyle L}$غير موجود. إذن،${\displaystyle x_{0}}$يُطلق عليه اسم انقطاع القفزة ، أو انقطاع الخطوة ، أو انقطاع من النوع الأول . بالنسبة لهذا النوع من الانقطاع، تكون الدالة${\displaystyle f}$قد يكون لها أي قيمة في${\displaystyle x_{0}.}$

انقطاع أساسي

بالنسبة لانقطاع جوهري، لا يوجد على الأقل أحد الحدين أحاديي الجانب في${\displaystyle \mathbb {R} }$لاحظ أنه يمكن أن يكون أحد الحدين أو كلاهما من جانب واحد${\displaystyle \pm \infty }$).

ضع في اعتبارك الدالة $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ لـ }}x<1\\0&{\text{ لـ }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\text{ لـ }}x>1.\end{cases}}}$$

ثم، النقطة${\displaystyle x_{0}=1}$هوانقطاع جوهري .

في هذا المثال، كلاهما${\displaystyle L^{-}}$و ${\displaystyle L^{+}}$غير موجود في${\displaystyle \mathbb {R} }$وبذلك يتحقق شرط الانقطاع الجوهري.${\displaystyle x_{0}}$هو انقطاع أساسي، أو انقطاع لانهائي، أو انقطاع من النوع الثاني. (يختلف هذا عن التفرد الأساسي ، الذي يُستخدم غالبًا عند دراسة الدوال ذات المتغيرات المركبة ).

بافتراض أن${\displaystyle f}$هي دالة معرفة على فترة${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} ,}$سنرمز بـ${\displaystyle D}$مجموعة جميع الانقطاعات لـ${\displaystyle f}$على${\displaystyle I.}$بواسطة${\displaystyle R}$سنقصد مجموعة كل${\displaystyle x_{0}\in I}$بحيث${\displaystyle f}$يوجد انقطاع قابل للإزالة عند${\displaystyle x_{0}.}$وبالمثل بواسطة${\displaystyle J}$نرمز إلى المجموعة المكونة من جميع${\displaystyle x_{0}\in I}$بحيث${\displaystyle f}$يوجد انقطاع قفزي عند${\displaystyle x_{0}.}$مجموعة الكل${\displaystyle x_{0}\in I}$بحيث${\displaystyle f}$يوجد انقطاع جوهري عند${\displaystyle x_{0}}$سيتم الإشارة إليه بواسطة${\displaystyle E.}$بالطبع إذن${\displaystyle D=R\cup J\cup E.}$

الخاصيتان التاليتان للمجموعة${\displaystyle D}$ذات صلة في الأدبيات.

• المجموعة${\displaystyle D}$هو${\displaystyle F_{\sigma }}$مجموعة . مجموعة النقاط التي تكون عندها الدالة متصلة هي دائمًا مجموعة${\displaystyle G_{\delta }}$مجموعة (انظر ^{[ 2 ]} ).
• إذا كان على الفترة${\displaystyle I,}$${\displaystyle f}$إذا كان رتيبًا،${\displaystyle D}$هو على الأكثر قابل للعد و${\displaystyle D=J.}$هذه هي نظرية فرودا .

يتبع توم أبوستول ^{[ 3 ]} جزئيًا التصنيف المذكور أعلاه، إذ يقتصر على دراسة حالات عدم الاتصال القابلة للإزالة وحالات عدم الاتصال القفزية. هدفه هو دراسة حالات عدم الاتصال في الدوال الرتيبة، ولا سيما لإثبات نظرية فرودا. وللغرض نفسه، درس والتر رودين ^{[ 4 ]} وكارل ر. سترومبرغ ^{[ 5 ]} أيضًا حالات عدم الاتصال القابلة للإزالة وحالات عدم الاتصال القفزية باستخدام مصطلحات مختلفة. ومع ذلك، يذكر كلا المؤلفين أيضًا أن${\displaystyle R\cup J}$هي دائمًا مجموعة قابلة للعد (انظر ^{[ 6 ] [ 7 ]} ).

يُشير الدليل إلى استخدام مصطلح "الانقطاع الأساسي" في السياق الرياضي منذ عام 1889. ^{[ 8 ]} ومع ذلك، يبدو أن أقدم استخدام للمصطلح مصحوبًا بتعريف رياضي قد ورد في عمل جون كليبرت. ^{[ 9 ]} وفي ذلك العمل، قام كليبرت أيضًا بتصنيف الانقطاعات الأساسية نفسها عن طريق تقسيم المجموعة${\displaystyle E}$إلى المجموعات الثلاث التالية:

$${\displaystyle E_{1}=\left\{x_{0}\in I:\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ و }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ غير موجودين في }}\mathbb {R} \right\},}$$$${\displaystyle E_{2}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ موجودة في }}\mathbb {R} {\text{ و }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ غير موجودة في }}\mathbb {R} \right\},}$$$${\displaystyle E_{3}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ غير موجودة في }}\mathbb {R} {\text{ و }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ موجودة في }}\mathbb {R} \right\}.}$$

بالطبع${\displaystyle E=E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3}.}$حينما${\displaystyle x_{0}\in E_{1},}$${\displaystyle x_{0}}$يُطلق عليه اسم انقطاع أساسي من النوع الأول . أي${\displaystyle x_{0}\in E_{2}\cup E_{3}}$ويُقال إنها انقطاع أساسي من النوع الثاني. ومن ثم يقوم بتوسيع المجموعة${\displaystyle R\cup J}$دون أن تفقد خاصية كونها قابلة للعد، وذلك من خلال ذكر ما يلي:

• المجموعة${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$هو قابل للعد.

متى${\displaystyle I=[a,b]}$و${\displaystyle f}$بما أنها دالة محدودة ، فمن المعروف جيدًا أهمية المجموعة${\displaystyle D}$فيما يتعلق بتكامل ريمان لـ${\displaystyle f.}$في الواقع، تنص نظرية لوبيغ (وتسمى أيضًا نظرية لوبيغ-فيتالي) على أن${\displaystyle f}$هل ريمان قابل للتكامل على${\displaystyle I=[a,b]}$إذا وفقط إذا${\displaystyle D}$هي مجموعة ذات قياس ليبيغ يساوي صفرًا.

يبدو في هذه النظرية أن جميع أنواع الانقطاعات لها نفس التأثير على العائق الذي تؤثر به الدالة المحدودة.${\displaystyle f}$أن تكون قابلة للتكامل وفقًا لريمان على${\displaystyle [a,b].}$بما أن المجموعات القابلة للعد هي مجموعات ذات قياس ليبيغ يساوي صفرًا، والاتحاد القابل للعد لمجموعات ذات قياس ليبيغ يساوي صفرًا يظل مجموعة ذات قياس ليبيغ يساوي صفرًا، فإننا نرى الآن أن هذا ليس هو الحال. في الواقع، الانقطاعات في المجموعة${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$وهي محايدة تمامًا فيما يتعلق بتكامل ريمان لـ${\displaystyle f.}$إن الانقطاعات الرئيسية لهذا الغرض هي الانقطاعات الأساسية من النوع الأول، وبالتالي يمكن إعادة كتابة نظرية ليبيغ-فيتالي على النحو التالي:

• دالة محدودة،${\displaystyle f,}$هل ريمان قابل للتكامل على${\displaystyle [a,b]}$إذا وفقط إذا كانت المجموعة المقابلة${\displaystyle E_{1}}$من جميع الانقطاعات الأساسية من النوع الأول${\displaystyle f}$له قياس لوبيغ يساوي صفرًا.

الحالة التي${\displaystyle E_{1}=\varnothing }$تتوافق هذه الحالات مع الحالات التكميلية الكلاسيكية المعروفة التالية لتكامل ريمان لدالة محدودة${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$:

• لو${\displaystyle f}$يوجد حد أيمن عند كل نقطة من${\displaystyle [a,b[}$ثم${\displaystyle f}$هل ريمان قابل للتكامل على${\displaystyle [a,b]}$(انظر ^{[ 10 ]} )
• لو${\displaystyle f}$يوجد حد أقصى لليسار عند كل نقطة من${\displaystyle ]a,b]}$ثم${\displaystyle f}$هل ريمان قابل للتكامل على${\displaystyle [a,b].}$
• لو${\displaystyle f}$هي وظيفة منظمة على${\displaystyle [a,b]}$ثم${\displaystyle f}$هل ريمان قابل للتكامل على${\displaystyle [a,b].}$

يترك${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$فترة مفتوحة، ليكن${\displaystyle F:I\to \mathbb {R} }$قابلة للتفاضل على${\displaystyle I,}$ودع${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$يكون مشتقًا من${\displaystyle F.}$إنه،${\displaystyle F'(x)=f(x)}$لكل${\displaystyle x\in I}$وفقًا لنظرية داربو ، فإن دالة المشتقة${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$تحقق خاصية القيمة الوسيطة. الدالة${\displaystyle f}$يمكن بالطبع أن تكون متصلة على الفترة${\displaystyle I,}$وفي هذه الحالة، تنطبق نظرية بولزانو أيضًا. تذكر أن نظرية بولزانو تنص على أن كل دالة متصلة تحقق خاصية القيمة المتوسطة. من ناحية أخرى، فإن العكس غير صحيح: فنظرية داربو لا تفترض${\displaystyle f}$أن تكون متصلة، وخاصية القيمة المتوسطة لا تعني بالضرورة...${\displaystyle f}$مستمر على${\displaystyle I.}$

إلا أن نظرية داربو لها نتيجة مباشرة على نوع الانقطاعات التي${\displaystyle f}$يمكن أن يكون. في الواقع إذا${\displaystyle x_{0}\in I}$هي نقطة انقطاع في${\displaystyle f}$إذن بالضرورة${\displaystyle x_{0}}$يمثل انقطاعًا جوهريًا في${\displaystyle f}$[ ^{11 ] وهذا يعني على وجه الخصوص} أنه لا يمكن أن تحدث الحالتان التاليتان :

علاوة على ذلك، يجب استبعاد حالتين أخريين (انظر جون كليبرت ^{[ 12 ]} ):

لاحظ أنه كلما تحقق أحد الشروط (i) أو (ii) أو (iii) أو (iv) لبعض${\displaystyle x_{0}\in I}$يمكن للمرء أن يستنتج أن${\displaystyle f}$يفشل في امتلاك مضاد مشتق ،${\displaystyle F}$، على الفترة${\displaystyle I}$.

من ناحية أخرى، نوع جديد من عدم الاستمرارية بالنسبة لأي دالة${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$يمكن إدخال: انقطاع جوهري،${\displaystyle x_{0}\in I}$، من الوظيفة${\displaystyle f}$ويُقال إنها انقطاع جوهري أساسي في${\displaystyle f}$لو

$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)\neq \pm \infty }$$و$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)\neq \pm \infty .}$$

لذلك إذا${\displaystyle x_{0}\in I}$يمثل عدم استمرارية دالة مشتقة${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$إذن بالضرورة${\displaystyle x_{0}}$يمثل انقطاعًا جوهريًا أساسيًا لـ${\displaystyle f}$.

لاحظ أيضًا أنه عندما ${\displaystyle I=[a,b]}$و${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$بما أن الدالة محدودة، كما هو الحال في افتراضات نظرية لوبيغ، فإننا نحصل على لكل${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$: $${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{\pm }}f(x)\neq \pm \infty ,}$$$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\neq \pm \infty ,}$$و $${\displaystyle \lim _{x\to b^{-}}f(x)\neq \pm \infty .}$$ لذلك فإن أي انقطاع جوهري في${\displaystyle f}$وهو أمر أساسي.

• التفرد القابل للإزالة – ​​نقطة غير معرفة على دالة تحليلية يمكن جعلها منتظمة 
• التفرد الرياضي – النقطة التي يتصرف عندها كائن رياضي بشكل غير منتظم. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• التمديد عن طريق الاستمرارية - خاصية من خصائص الفضاء الطوبولوجي 
• السلاسة - درجة قابلية التفاضل لدالة أو خريطة 
  • الاستمرارية الهندسية – درجة قابلية اشتقاق دالة أو خريطة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
  • الاستمرارية البارامترية – مفهوم السلاسة للمنحنيات البارامترية 

• مالك، إس سي؛ أرورا، سافيتا (1992). التحليل الرياضي (  الطبعة الثانية). نيويورك: وايلي. ISBN 0-470-21858-4.{{cite book}}: CS1 maint: publisher location ( link )

• "غير متصل" . بلانيت ماث .
• "انقطاع" بقلم إد بيج الابن ، مشروع عروض وولفرام ، 2007.
• وايسشتاين، إريك دبليو. "عدم الاستمرارية" . عالم الرياضيات .
• كودريافتسيف، إل دي (2001) [1994]. "نقطة عدم الاستمرارية" . موسوعة الرياضيات . دار نشر إي إم إس.