إساءة استخدام الرموز

تتألف العديد من الكائنات الرياضية من مجموعة ، تُسمى غالبًا المجموعة الأساسية، مزودة ببنية إضافية، مثل عملية رياضية أو بنية طوبولوجية . ومن الأخطاء الشائعة في الترميز استخدام الرمز نفسه للمجموعة الأساسية والكائن ذي البنية، وهي ظاهرة تُعرف باسم حذف المعاملات. ^{[ 2 ]}

على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {Z} }$قد تشير إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، أو مجموعة الأعداد الصحيحة مع الجمع ، أو حلقة الأعداد الصحيحة مع الجمع والضرب . وبالمثل،${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يُستخدم مصطلح " الفضاء الإقليدي" غالبًا للدلالة على الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، سواءً كان فضاءً متجهيًا أو فضاءً متريًا أو فضاءً طوبولوجيًا ، وذلك بحسب الخصائص ذات الصلة في السياق. ويرجع ذلك، على سبيل المثال، إلى أن المسافة الإقليدية تُعتبر المقياس "الافتراضي" في الفضاء الإقليدي.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ويُفترض ذلك عندما لا يُذكر خلاف ذلك، على الرغم من وجود آراء أخرى.

وبالمثل، في حين أن الفضاء الطوبولوجي${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$يتكون من مجموعة أساسية${\displaystyle X}$وطوبولوجيا​${\displaystyle {\mathcal {T}}}$من المعتاد الحديث عن "المساحة"${\displaystyle X}$"في الحالات التي يكون فيها نوع واحد فقط من الطوبولوجيا على${\displaystyle X}$لا يتم أخذ ذلك في الاعتبار أبدًا - بمجرد أن يتم تحديد تلك البنية بوضوح.

بشكل عام، لا توجد مشكلة في حذف المعاملات إذا كان الكائن المشار إليه مفهومًا جيدًا، بل إن تجنب هذا الاستخدام المفرط للرموز قد يجعل النصوص الرياضية أكثر تعقيدًا وأصعب قراءة. عندما يكون هذا الاستخدام المفرط للرموز مُربكًا، يمكن التمييز بين البنى عن طريق الإشارة إلى، على سبيل المثال،${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$مجموعة الأعداد الصحيحة مع الجمع و${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}$حلقة الأعداد الصحيحة؛ من خلال تحديد الطوبولوجيا، والبنية المترية، وما إلى ذلك، ذات الأهمية بشكل صريح على${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$أو عن طريق كتابة الصفوف بشكل صريح مثل${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$و${\displaystyle (X,{\mathcal {T'}})}$للتمييز بين الفضاءات الطوبولوجية المختلفة التي لها نفس المجموعة الأساسية.

قد يصادف المرء في العديد من الكتب الدراسية جملًا مثل "دع${\displaystyle f(x)}$"لتكن دالة...". هذا إساءة استخدام للترميز، لأن اسم الدالة هو${\displaystyle f,}$و${\displaystyle f(x)}$يشير إلى قيمة${\displaystyle f}$للعنصر${\displaystyle x}$من نطاقها. ومن العبارات الأكثر دقة وصحة: "دع${\displaystyle f}$أن تكون دالة للمتغير${\displaystyle x}$..." أو "دع${\displaystyle x\mapsto f(x)}$"يكون دالة ..." هذا الاستخدام الخاطئ للرموز شائع الاستخدام، لأنه يبسط الصياغة، وسرعان ما يصبح الاستخدام المنهجي للرموز الصحيحة أمرًا متشددًا.

يحدث سوء استخدام آخر للرموز في جمل مثل "دعونا ننظر في الدالة${\displaystyle x^{2}+x+1}$..."، بينما في الواقع${\displaystyle x^{2}+x+1}$هو تعبير متعدد الحدود ، وليس دالة بحد ذاتها — بينما الدالة التي تربط المتغير${\displaystyle x}$ل${\displaystyle x^{2}+x+1}$يمكن الإشارة إليه رسميًا${\displaystyle x\mapsto x^{2}+x+1.}$وبالمثل، دالة ثابتة${\displaystyle f}$قد يتم تحديدها بقيمتها، كما في${\displaystyle f=c}$، عندما يكون من الأصح كتابة على سبيل المثال "${\displaystyle f(x)=c}$لجميع المدخلات${\displaystyle x}$"ومع ذلك، فإن هذه التجاوزات في التدوين شائعة الاستخدام، لأنها أكثر إيجازًا وعمومًا ليست مربكة.

تُعرَّف العديد من البنى الرياضية من خلال خاصية مميزة (غالبًا ما تكون خاصية شاملة ). بمجرد تعريف هذه الخاصية المطلوبة، قد توجد طرق مختلفة لبناء البنية، وتكون النتائج المقابلة كائنات مختلفة شكليًا، ولكنها تمتلك نفس الخصائص تمامًا (أي متماثلة ). ولأنه لا توجد طريقة لتمييز هذه الكائنات المتماثلة من خلال خصائصها، فمن الشائع اعتبارها متساوية، حتى لو كان هذا خطأً شكليًا. ^{[ 3 ]}

أحد الأمثلة على ذلك هو الضرب الديكارتي ، والذي يُنظر إليه غالبًا على أنه تجميعي:

${\displaystyle (E\times F)\times G=E\times (F\times G)=E\times F\times G}$.

لكن هذا ليس صحيحاً بالمعنى الدقيق للكلمة: إذا${\displaystyle x\in E}$،${\displaystyle y\in F}$و${\displaystyle z\in G}$الهوية${\displaystyle ((x,y),z)=(x,(y,z))}$وهذا يعني ضمناً أن${\displaystyle (x,y)=x}$و${\displaystyle z=(y,z)}$وهكذا${\displaystyle ((x,y),z)=(x,y,z)}$لن يكون لذلك أي معنى. ومع ذلك، يمكن إضفاء الشرعية على هذه المساواة وجعلها دقيقة في نظرية الفئات - باستخدام فكرة التشاكل الطبيعي .

مثال آخر على إساءة الاستخدام المماثلة يحدث في عبارات مثل "هناك مجموعتان غير أبيلية من الرتبة 8"، والتي تعني بشكل أكثر دقة "هناك فئتان من التشاكل للمجموعات غير الأبيلية من الرتبة 8".

الإشارة إلى فئة تكافؤ لعلاقة تكافؤ بواسطة${\displaystyle x}$بدلاً من${\displaystyle [x]}$يُعدّ ذلك إساءة استخدام للرموز. رسميًا، إذا كانت مجموعة${\displaystyle X}$يتم تقسيمها بواسطة علاقة تكافؤ${\displaystyle \sim }$ثم لكل${\displaystyle x\in X}$، فئة التكافؤ ${\displaystyle \{y\in X|y\sim x\}}$يُشار إليه بـ${\displaystyle [x]}$لكن عمليًا، إذا ركز الجزء المتبقي من المناقشة على فئات التكافؤ بدلاً من العناصر الفردية للمجموعة الأساسية، فمن الشائع حذف الأقواس المربعة في المناقشة.

على سبيل المثال، في الحساب النمطي ، مجموعة منتهية من الرتبة${\displaystyle n}$يمكن تكوينها عن طريق تقسيم الأعداد الصحيحة عبر علاقة التكافؤ "${\displaystyle x\sim y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x\equiv y\ (\mathrm {mod} \ n)}$". ستكون عناصر تلك المجموعة حينها${\displaystyle [0],[1],\dots ,[n-1]}$لكن في الواقع العملي، يُشار إليها عادةً ببساطة باسم${\displaystyle 0,1,...,n-1}$.

مثال آخر هو فضاء (فئات) الدوال القابلة للقياس على فضاء قياس ، أو فئات الدوال القابلة للتكامل وفقًا لـ Lebesgue ، حيث تكون علاقة التكافؤ هي المساواة " تقريبًا في كل مكان ".