التقارب والتقارب

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 19 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، مجموعة جزئية منتهية من مجموعةX{\displaystyle X}هي مجموعة جزئيةأ{\displaystyle A}مكملته في​X{\displaystyle X}هي مجموعة منتهية . بعبارة أخرى،أ{\displaystyle A}يحتوي على جميع عناصر ما عدا عدد محدود منهاX.{\displaystyle X.}إذا لم تكن المتممة منتهية، ولكنها قابلة للعد، فإن المرء يقول إن المجموعة قابلة للعد المشترك .

تنشأ هذه بشكل طبيعي عند تعميم الهياكل على المجموعات المنتهية إلى المجموعات غير المنتهية، وخاصة على المنتجات غير المنتهية، كما هو الحال في طوبولوجيا المنتج أو المجموع المباشر .

إن استخدام البادئة " co " لوصف خاصية يمتلكها مكمل المجموعة يتوافق مع استخدامها في مصطلحات أخرى مثل " مجموعة co الهزيلة ".

الجبر البولياني

مجموعة جميع المجموعات الجزئية منX{\displaystyle X}تُشكّل المجموعات المنتهية أو المتساوية في العدد جبرًا بوليانيًا ، مما يعني أنه مغلق تحت عمليات الاتحاد والتقاطع والمتممة . هذا الجبر البولياني هوالجبر المنتهي-المنتهي المشترك علىX.{\displaystyle X.}

في الاتجاه الآخر، الجبر البوليانيأ{\displaystyle A}يمتلك مرشحًا فائقًا غير رئيسي فريدًا (أي مرشحًا أقصى غير مُوَلَّد بواسطة عنصر واحد من الجبر) إذا وفقط إذا وُجدت مجموعة لانهائيةX{\displaystyle X}بحيثأ{\displaystyle A}متماثل مع الجبر المنتهي-المنتهي المشترك علىX.{\displaystyle X.}في هذه الحالة، يكون المرشح الفائق غير الرئيسي هو مجموعة جميع المجموعات الجزئية المنتهية منX{\displaystyle X}.

الطوبولوجيا المحدودة المشتركة

الطوبولوجيا المتممة المحدودة أو طوبولوجيا المتممة المحدودة هي طوبولوجيا يمكن تعريفها على كل مجموعةX.{\displaystyle X.}تحتوي تحديدًا على المجموعة الفارغة وجميع المجموعات الجزئية المنتهية منX{\displaystyle X}باعتبارها مجموعات مفتوحة. ونتيجة لذلك، في الطوبولوجيا المنتهية، فإن المجموعات المغلقة الوحيدة هي المجموعات المنتهية، أو المجموعة الكاملةX.{\displaystyle X.}لهذا السبب، تُعرف الطوبولوجيا المنتهية أيضًا باسم الطوبولوجيا المغلقة المنتهية . ويمكن كتابة هذه الطوبولوجيا رمزيًا على النحو التالي: تي={أ⊆X:أ=∅ أو X∖أ محدود}.{\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\subseteq X:A=\varnothing {\mbox{ or }}X\setminus A{\mbox{ is finite}}\}.}

تظهر هذه الطوبولوجيا بشكل طبيعي في سياق طوبولوجيا زاريسكي . بما أن كثيرات الحدود في متغير واحد على حقلك{\displaystyle K}تكون القيم صفرًا على المجموعات المنتهية، أو على كاملك،{\displaystyle K,}طوبولوجيا زاريسكي علىك{\displaystyle K}(باعتبارها خطًا أفينيًا ) هي طوبولوجيا متناهية. وينطبق الأمر نفسه على أي منحنى جبري غير قابل للاختزال ؛ ولكنه لا ينطبق، على سبيل المثال، علىXY=0{\displaystyle XY=0}في الطائرة.

ملكيات

الطوبولوجيا المحدودة ذات النقطتين

الطوبولوجيا المحدودة ذات النقاط المزدوجة هي الطوبولوجيا المحدودة التي تُضاعف فيها كل نقطة؛ أي أنها حاصل الضرب الطوبولوجي للطوبولوجيا المحدودة مع الطوبولوجيا غير المنفصلة على مجموعة ثنائية العناصر. وهي ليست T₀ أو T₁ ، لأن نقاط كل ثنائية غير قابلة للتمييز طوبولوجيًا . ومع ذلك، فهي R₀ لأن النقاط القابلة للتمييز طوبولوجيًا منفصلة . الفضاء متراص كحاصل ضرب فضاءين متراصين؛ أو هو متراص لأن كل مجموعة مفتوحة غير فارغة تحتوي على جميع النقاط باستثناء عدد محدود منها .

كمثال على طوبولوجيا المجموعات المحدودة ذات النقطتين القابلة للعد، المجموعةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }يمكن إعطاء مجموعة من الأعداد الصحيحة بنية طوبولوجية بحيث يكون كل عدد زوجي2ن{\displaystyle 2n}لا يمكن تمييزها طوبولوجيًا عن العدد الفردي التالي2ن+1{\displaystyle 2n+1}المجموعات المغلقة هي اتحادات لعدد محدود من الأزواج.2ن،2ن+1،{\displaystyle 2n,2n+1,}أو المجموعة بأكملها. المجموعات المفتوحة هي مكملات المجموعات المغلقة؛ أي أن كل مجموعة مفتوحة تتكون من جميع الأزواج باستثناء عدد محدود منها.2ن،2ن+1،{\displaystyle 2n,2n+1,}أو هي المجموعة الفارغة.

أمثلة أخرى

تصميم المنتج

طوبولوجيا المنتج على منتج الفضاءات الطوبولوجية∏Xأنا{\displaystyle \prod X_{i}}له أساس∏يوأنا{\displaystyle \prod U_{i}}أينيوأنا⊆Xأنا{\displaystyle U_{i}\subseteq X_{i}}مفتوح، وبالتأكيد كثيريوأنا=Xأنا.{\displaystyle U_{i}=X_{i}.}

إن النظير دون اشتراط أن يكون عدد العوامل محدودًا في الفضاء بأكمله هو طوبولوجيا الصندوق .

المجموع المباشر

عناصر المجموع المباشر للوحدات⨁مأنا{\displaystyle \bigoplus M_{i}}هي متوالياتαأنا∈مأنا{\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}حيث يوجد بالتأكيد العديدαأنا=0.{\displaystyle \alpha _{i}=0.}

إن النظير الذي لا يتطلب أن يكون عدد محدود من الحدود يساوي صفرًا هو الضرب المباشر .

انظر أيضاً

مراجع