قوة اثنين

قوة العدد اثنين هي عدد على الصورة $2^n$ ، حيث $n$ عدد صحيح ، أي ناتج عملية رفع العدد إلى أس باستخدام العدد اثنين كأساس والعدد الصحيح n كأساس $.$ في التسلسل الهرمي سريع النمو ، $2^$ $n$ يساوي تمامًا $f_{1}^{n}(1)$ في التسلسل الهرمي لهاردي $،$ يساوي 2n $تمامًا$ $H_{\omega {n}}(1)$ .

قوى العدد 2 ذات الأسس غير السالبة هي أعداد صحيحة: $2⁰ = 1 ،$ 2¹ $= 2 ،$ و2ⁿ $هو$ العدد 2 $مضروبًا$ في نفسه $n$ مرة. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} $القوى العشر الأولى للعدد 2 لقيم n$ غير السالبة هي:

1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، 64 ، 128 ، 256 ، 512 ، ... (التسلسل A000079 في OEIS )

بالمقارنة، فإن قوى العدد اثنين ذات الأسس السالبة هي كسور : فبالنسبة لعدد صحيح موجب $n$ ، فإن $2 - n$ هو نصف مضروب في نفسه $n$ مرة . وبالتالي ، فإن القوى السالبة الأولى للعدد 2 هي 1/2 ، 1/4 ، 1/8 ، 1/16 ، وهكذا . وتُسمى هذه القوى أحيانًا بالقوى العكسية للعدد اثنين لأن كلًا منها هو المعكوس الضربي لقوة موجبة للعدد اثنين .

أساس نظام الأرقام الثنائية

بما أن العدد 2 هو أساس النظام الثنائي ، فإن قوى العدد 2 شائعة في علوم الحاسوب . عند كتابتها بالنظام الثنائي، تأخذ قوة العدد 2 دائمًا الشكل 100...000 أو 0.00...001، تمامًا مثل قوة العدد 10 في النظام العشري .

علوم الحاسوب

العدد 2 مرفوعًا للأس $n$ ، ويُكتب $2^n$ ، هو عدد القيم التي يمكن أن تتخذها بتات كلمة ثنائية طولها $n$ ، حيث تكون كل بتة إما إحدى قيمتين. يمكن للكلمة، التي تُفسَّر على أنها تمثل عددًا صحيحًا في نطاق يبدأ من الصفر، ويُشار إليها باسم "عدد صحيح غير مُوَقَّع"، أن تُمثِّل قيمًا من 0 ( $000...000^2$ ) إلى $2^n - 1$ ( $111...111^2$ ) شاملةً. يسمح تمثيل بديل، يُشار إليه باسم " عدد صحيح مُوَقَّع "، بقيم موجبة وسالبة وصفر؛ انظر تمثيلات الأعداد المُوَقَّعة . في كلتا الحالتين، غالبًا ما يكون العدد الأقل من قوة اثنين بواحد هو الحد الأعلى للعدد الصحيح في الحواسيب الثنائية. ونتيجةً لذلك، تظهر الأعداد من هذا الشكل بكثرة في برامج الحاسوب. على سبيل المثال، قد تحدّ لعبة فيديو تعمل على نظام 8 بت من النتيجة أو عدد العناصر التي يمكن للاعب حملها إلى 255، وذلك نتيجة استخدام بايت ، وهو عبارة عن 8 بتات ، لتخزين الرقم، مما يسمح بتمثيل 256 قيمة مختلفة من $0$ إلى $2^8 - 1 = 255.$ فعلى سبيل المثال، في لعبة "أسطورة زيلدا" الأصلية ، كان اللاعب الرئيسي مقيدًا بحمل 255 روبية (عملة اللعبة) في أي وقت، وتشتهر لعبة "باك مان" بشاشة الموت عند المستوى 256.

تُستخدم قوى العدد اثنين غالبًا لتحديد وحدات قياس أحجام ذاكرة الحاسوب. يشير مصطلح "بايت" حاليًا إلى ثمانية بتات (ثمانية بتات )، مما ينتج عنه إمكانية وجود 256 قيمة (2^ ⁸ ). (كان مصطلح " بايت" يعني سابقًا (ولا يزال يعني في بعض الحالات) مجموعة من البتات التي يُحددها سياق الأجهزة، وتتراوح عادةً بين 5 و32 بتًا، وليس وحدة 8 بتات فقط). وقد استخدم علماء الحاسوب البادئة "كيلو " مع "بايت" للدلالة على1024 (2 ¹⁰ ). ومع ذلك، بشكل عام، يُستخدم مصطلح كيلو في النظام الدولي للوحدات بمعنى1000 (10 ³ ). تم توحيد سلسلة من البادئات الثنائية ، بما في ذلك كلمة kibi (Ki) التي تعني1024. جميع سجلات المعالج تقريبًا لها أحجام من مضاعفات العدد اثنين بت، 8 أو 16 أو 32 أو 64 بت شائعة جدًا، مع كون الأخيرين هما الأكثر شيوعًا باستثناء المعالجات الصغيرة جدًا.

تظهر قوى العدد اثنين في العديد من المواضع الأخرى أيضًا. ففي كثير من محركات الأقراص ، يكون واحد على الأقل من حجم القطاع، أو عدد القطاعات لكل مسار، أو عدد المسارات لكل سطح، قوةً للعدد اثنين. أما حجم الكتلة المنطقية، فهو دائمًا تقريبًا قوة للعدد اثنين.

تظهر أعدادٌ وثيقة الصلة بقوى العدد اثنين في العديد من تصميمات أجهزة الحاسوب، كما هو الحال مع عدد البكسلات في عرض وارتفاع شاشات الفيديو، حيث يكون عدد البكسلات في كل اتجاه غالبًا ناتج ضرب قوة من قوى العدد اثنين في عدد صغير. على سبيل المثال، $640 = 128 \times 5$ ، و $480 = 32 \times 15$ .

أعداد ميرسين وفيرما الأولية

يُطلق على العدد الأولي الذي يقلّ بمقدار واحد عن قوة من قوى العدد اثنين اسم عدد ميرسين الأولي . على سبيل المثال، العدد الأولي 31 هو عدد ميرسين أولي لأنه يقلّ بمقدار واحد عن 32 (2^ ⁵ ). وبالمثل، يُطلق على العدد الأولي (مثل 257 ) الذي يزيد بمقدار واحد عن قوة موجبة من قوى العدد اثنين اسم عدد فيرما الأولي ، لأن الأسّ نفسه قوة من قوى العدد اثنين. يُطلق على الكسر الذي مقامه قوة من قوى العدد اثنين اسم عدد كسري ثنائي . أما الأعداد التي يمكن تمثيلها كمجموع أعداد صحيحة موجبة متتالية فتُسمى الأعداد غير الجبرية ؛ وهي تحديدًا الأعداد التي ليست قوى من قوى العدد اثنين.

كتاب العناصر لإقليدس ، الكتاب التاسع

المتتابعة الهندسية 1، 2، 4، 8، 16، 32، ... (أو في النظام الثنائي ، 1، 10، 100، 1000، 10000، 10000، ...) مهمة في نظرية الأعداد . يُثبت الكتاب التاسع، القضية 36 من كتاب الأصول ، أنه إذا كان مجموع أول $n$ حد من هذه المتتابعة عددًا أوليًا (وبالتالي عددًا أوليًا من أعداد ميرسين كما ذُكر سابقًا)، فإن حاصل ضرب هذا المجموع في الحد $النوني$ يساوي عددًا كاملًا . على سبيل المثال، مجموع أول 5 حدود من المتسلسلة $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ ، وهو عدد أولي. حاصل ضرب 31 في 16 (الحد الخامس في المتسلسلة) يساوي 496، وهو عدد كامل.

يثبت الكتاب التاسع، القضية 35، أنه في المتسلسلة الهندسية إذا تم طرح الحد الأول من الحد الثاني والأخير في المتتابعة، فإن الزيادة في الحد الثاني بالنسبة للحد الأول هي نفسها الزيادة في الحد الأخير بالنسبة لجميع الحدود التي تسبقه. (هذه إعادة صياغة لصيغة المتسلسلة الهندسية المذكورة أعلاه). بتطبيق هذه الصيغة على المتتابعة الهندسية 31، 62، 124، 248، 496 (الناتجة عن ضرب جميع حدود المتتابعة في 31، أي 1، 2، 4، 8، 16)، نلاحظ أن 62 ناقص 31 يساوي 31، كما أن 496 ناقص 31 يساوي مجموع 31، 62، 124، 248. وبالتالي، فإن مجموع الأعداد 1، 2، 4، 8، 16، 31، 62، 124، و248 يساوي 496، وهي جميع الأعداد التي تقسم 496. لنفترض أن $p$ يقسم 496، ولكنه ليس من بين هذه الأعداد. لنفترض أن $pq$ يساوي $16 \times 31$ ، أو أن 31 بالنسبة إلى $q$ كـ $p$ بالنسبة إلى 16. الآن، لا يمكن لـ $p$ أن يقسم 16 وإلا لكان من بين الأعداد 1، 2، 4، 8، أو 16. لذلك، لا يمكن لـ 31 أن يقسم $q$ . وبما أن 31 لا يقسم $q$ وقيمة $q$ تساوي 496، فإن النظرية الأساسية في الحساب تقتضي أن $q$ يجب أن يقسم 16 وأن يكون من بين الأعداد 1، 2، 4، 8، أو 16. لنفترض أن $q$ يساوي 4، عندها يجب أن يكون $p$ يساوي 124، وهو أمر مستحيل لأن $p$ ، بحسب الفرضية ، ليس من بين الأعداد 1، 2، 4، 8، 16، 31، 62، 124، أو 248.

أول 64 قوة للعدد اثنين

(التسلسل A000079 في OEIS )


$ن$	$2 ن$	$ن$	$2 ن$	$ن$	$2 ن$	$ن$	$2 ن$
0	1	16	65 536	32	4 294 967 296	48	281 474 976 710 656
1	2	17	131 072	33	8 589 934 592	49	562 949 953 421 312
2	4	18	262 144	34	17 179 869 184	50	1 125 899 906 842 624
3	8	19	524 288	35	34 359 738 368	51	2 251 799 813 685 248
4	16	20	1048576	36	68 719 476 736	52	4 503 599 627 370 496
5	32	21	2097152	37	137 438 953 472	53	9 007 199 254 740 992
6	64	22	4 194 304	38	274 877 906 944	54	18 014 398 509 481 984
7	128	23	8 388 608	39	549 755 813 888	55	36 028 797 018 963 968
8	256	24	16 777 216	40	1 099 511 627 776	56	72 057 594 037 927 936
9	512	25	33 554 432	41	2 199 023 255 552	57	144 115 188 075 855 872
10	1024	26	67 108 864	42	4 398 046 511 104	58	288 230 376 151 711 744
11	2048	27	134 217 728	43	8 796 093 022 208	59	576 460 752 303 423 488
12	4096	28	268 435 456	44	17 592 186 044 416	60	1 152 921 504 606 846 976
13	8192	29	536 870 912	45	35 184 372 088 832	61	2 305 843 009 213 693 952
14	16384	30	1 073 741 824	46	70 368 744 177 664	62	4 611 686 018 427 387 904
15	32768	31	2 147 483 648	47	140 737 488 355 328	63	9 223 372 036 854 775 808

الأرقام الأخيرة

بدءًا من 2، يكون الرقم الأخير دوريًا بدورة 4، مع الدورة 2-4-8-6-، وبدءًا من 4، يكون الرقمان الأخيران دوريين بدورة 20. هذه الأنماط صحيحة عمومًا لأي قوة، بالنسبة لأي أساس . يستمر النمط حيث يكون لكل نمط نقطة بداية $2k ،$ والدورة هي الرتبة الضربية لـ 2 بتردد $5k$ ، وهي $φ$ $($ $5k )$ $=$ $4 \times 5k$ $-$ $1$ (انظر المجموعة الضربية للأعداد الصحيحة بتردد n ).

قوى 1024

(التسلسل A140300 في OEIS )

القوى القليلة الأولى للعدد 2^ 10 أكبر قليلاً من نفس القوى للعدد 2 ^{^10}1000 (10 ³ ). فيما يلي القيم الإحدى عشرة الأولى لقوى العدد 2 ^{10 :}


2 ⁰	=	1	= 1000 ⁰	(انحراف 0%)
2 ¹⁰	=	1024	≈ 1000 ¹	(انحراف بنسبة 2.4%)
2 ²⁰	=	1048576	≈ 1000 ²	(انحراف بنسبة 4.9%)
2 ³⁰	=	1 073 741 824	≈ 1000 ³	(انحراف بنسبة 7.4%)
2 ⁴⁰	=	1 099 511 627 776	≈ 1000 ⁴	(انحراف بنسبة 10.0%)
2 ⁵⁰	=	1 125 899 906 842 624	≈ 1000 ⁵	(انحراف بنسبة 12.6%)
2 ⁶⁰	=	1 152 921 504 606 846 976	≈ 1000 ⁶	(انحراف بنسبة 15.3%)
2 ⁷⁰	=	1 180 591 620 717 411 303 424	≈ 1000 ⁷	(انحراف بنسبة 18.1%)
2 ⁸⁰	=	1 208 925 819 614 629 174 706 176	≈ 1000 ⁸	(انحراف بنسبة 20.9%)
2 ⁹⁰	=	1 237 940 039 285 380 274 899 124 224	≈ 1000 ⁹	(انحراف بنسبة 23.8%)
2 ¹⁰⁰	=	1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376	≈ 1000 ¹⁰	(انحراف بنسبة 26.8%)

يتطلب الأمر ما يقرب من 17 قوة من قوى العدد 1024 للوصول إلى انحراف بنسبة 50%، وما يقرب من 29 قوة من قوى العدد 1024 للوصول إلى انحراف بنسبة 100% لنفس قوى العدد 1000. ^{[ 3 ]} انظر أيضًا البادئات الثنائية و IEEE 1541-2002 .

قوى العدد اثنين التي أسسها هي قوى العدد اثنين

نظرًا لأن البيانات (وتحديدًا الأعداد الصحيحة) وعناوينها تُخزَّن باستخدام نفس الأجهزة، ولأن البيانات تُخزَّن في ثمانية أجزاء أو أكثر ( $2^3$ )، فإن الدوال الأسية المزدوجة للعدد اثنين شائعة في الحوسبة. أول 21 منها هي:


$ن$	$2 ن$	$2 2 n$ (التسلسل A001146 في OEIS )	أرقام
0	1	2	1
1	2	4	1
2	4	16	2
3	8	256	3
4	16	65 536	5
5	32	4 294 967 296	10
6	64	18 446 744 073 709 551 616	20
7	128	340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456	39
8	256	115 792 089 237 316 195 423 570 ... 039 457 584 007 913 129 639 936	78
9	512	13 407 807 929 942 597 099 5740 ... 946 569 946 433 649 006 084 096	155
10	1024	179 769 313 486 231 590 772 930 ... 304 835 356 329 624 224 137 216	309
11	2048	32 317 006 071 311 007 300 7148 ... 193 555 853 611 059 596 230 656	617
12	4096	1 ‍ 044 ‍ 388 ‍ 881 ‍ 413 ‍ 152 ‍ 506 ‍ 691‍ 75 ... ‍ 243 ‍ 804 ‍ 708 ‍ 340 ‍ 403 ‍ 154 ‍ 190 ‍ 336	1234
13	8192	1 ‍ 090 ‍ 748 ‍ 135 ‍ 619 ‍ 415 ‍ 929 ‍ 462‍ 98 ... ‍ 997 ‍ 186 ‍ 505 ‍ 665 ‍ 475 ‍ 715 ‍ 792 ‍ 896	2467
14	16384	1 189 731 495 357 231 765 08575 ... 460 447 027 290 669 964 066 816	4933
15	32768	1 415 461 031 044 954 789 00155 ... 541 122 668 104 633 712 377 856	9865
16	65 536	2 ‍ 003 ‍ 529 ‍ 930 ‍ 406 ‍ 846 ‍ 464 ‍ 979‍ 07 ... ‍ 339 ‍ 445 ‍ 587 ‍ 895 ‍ 905 ‍ 719 ‍ 156 ‍ 736	19729
17	131 072	4 014 132 182 036 063 039 16606 ... 850 665 812 318 570 934 173 696	39 457
18	262 144	16 113 257 174 857 604 736 1957 ... 753 862 605 349 934 298 300 416	78 914
19	524 288	259 ‍ 637 ‍ 056 ‍ 783 ‍ 100 ‍ 077 ‍ 612 ‍ 659 ‍ ... ‍ 369 ‍ 814 ‍ 364 ‍ 528 ‍ 226 ‍ 185 ‍ 773 ‍ 056	157827
20	1048576	67 411 401 254 990 734 022 6906 ... 009 289 119 068 940 335 579 136	315 653

انظر أيضًا إلى رقم فيرما ، والتكرار، والعمليات الفائقة § العمليات الفائقة السفلية .

الأرقام الأخيرة لقوى العدد اثنين التي أسسها هي قوى العدد اثنين

جميع هذه الأعداد التي تزيد عن 4 تنتهي بالرقم 6. بدءًا من 16، يكون آخر رقمين دوريين بدورة 4، مع الدورة 16–56–36–96–، وبدءًا من 16 تكون الأرقام الثلاثة الأخيرة دورية بدورة 20. تظهر هذه الأنماط عمومًا مع أي قوة، بالنسبة لأي أساس . يستمر النمط حيث يكون $لكل$ نمط نقطة بداية $2k ،$ والدورة هي الرتبة الضربية للعدد 2 بتردد $5k$ ، وهي $φ$ $($ $5k$ $) = 4$ $\times$ $5k$ $-$ $1$ (انظر $المجموعة$ الضربية للأعداد الصحيحة بتردد n ).

حقائق عن قوى العدد اثنين التي أسسها هي قوى العدد اثنين

في سياق الحديث عن الأعداد ، غالباً ما تسمى هذه الأعداد بقوى فيرما 2 .

الأرقام $2^{2^{n}}$ تشكل متتالية اللاعقلانية : لكل متتالية $x_{i}$ سلسلة الأعداد الصحيحة الموجبة

\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}={\frac {1}{2x_{0}}}+{\frac {1}{4x_{1}}}+{\frac {1}{16x_{2}}}+\cdots

يتقارب إلى عدد غير نسبي . على الرغم من النمو السريع لهذه المتتالية، إلا أنها أبطأ متتالية غير نسبية معروفة من حيث النمو. ^{[ 4 ]}

قوى العدد اثنين التي أسسها هي قوى العدد اثنين في علوم الحاسوب

بما أن حجم أنواع بيانات الحاسوب يكون عادةً من مضاعفات العدد اثنين، فإن هذه الأرقام تُشير إلى عدد القيم القابلة للتمثيل من هذا النوع. على سبيل المثال، يمكن لكلمة 32 بت، المُكوّنة من 4 بايتات، أن تُمثّل $2^$ $32$ قيمةً مُختلفة، والتي يُمكن اعتبارها أنماطًا ثنائيةً بسيطة، أو تُفسّر عادةً على أنها الأعداد غير المُوقّعة من 0 إلى $2^$ $32$ $- 1$ ، أو على أنها نطاق الأعداد المُوقّعة بين $-2^$ $31$ و $2$ $^31$ $- 1.$ لمزيد من المعلومات حول تمثيل الأعداد المُوقّعة، انظر مُكمّل العدد اثنين .

قوى مختارة للعدد اثنين

2 ² =4: العدد الذي هو مربع العدد اثنين. وهو أيضاً القوة الأولى للعدد اثنين.
2 ⁸ =256: عدد القيم التي تمثلها 8 بتات في البايت ، ويُطلق عليها تحديدًا اسم الأوكتيت . ( غالبًا ما يُعرَّف مصطلح البايت على أنه مجموعة من البتات بدلاً من التعريف الدقيق لكمية 8 بت، كما يتضح من مصطلح الكيلوبايت ).
2 ¹⁰ =1024: التقريب الثنائي للكيلو ، أوالمضاعف 1000 ، مما يؤدي إلى تغيير البادئة. على سبيل المثال:1024 بايت = 1 كيلوبايت ^[⁵^] (أو كيبي بايت ).
2 ¹² =4096: حجم صفحة الأجهزة لمعالج متوافق مع Intel x86 .
2 ¹⁵ =32768: عدد القيم غير السالبة لعدد صحيح ذي 16 بت.
2 ¹⁶ =65 536

عدد القيم المميزة التي يمكن تمثيلها في كلمة واحدة على معالج 16 بت ، مثل معالجات x86 الأصلية . ^{[ 6 ]}; أقصى مدى لمتغير عدد صحيح قصير في لغات البرمجة C# و Java و SQL . أقصى مدى لمتغير Word أو Smallint في لغة البرمجة Pascal .; عدد العلاقات الثنائية على مجموعة مكونة من 4 عناصر.
2 ²⁰ =1048576: التقريب الثنائي للميغا ، أوالمضاعف 1,000,000 ، والذي يُسبب تغييرًا في البادئة. على سبيل المثال:1048576 بايت = 1 ميجابايت ^[⁵^] ( أو ميببايت ) .
2 ²⁴ =16 777 216: عدد الألوان الفريدة التي يمكن عرضها في وضع الألوان الحقيقية ، وهو الوضع المستخدم في شاشات الكمبيوتر الشائعة .; هذا الرقم هو نتيجة استخدام نظام RGB ثلاثي القنوات ، حيث تُعرَّف الألوان بثلاث قيم (الأحمر والأخضر والأزرق) بشكل مستقل تتراوح من 0 ( 00) إلى 255 ( FF) شاملةً. هذا يُعطي 8 بتات لكل قناة، أو 24 بتًا إجمالًا؛ على سبيل المثال، الأسود النقي هو #000000، والأبيض النقي هو #FFFFFF. فضاء جميع الألوان الممكنة،يمكن تحديد 16 777 216^{بواسطة 16 6} (6 أرقام مع 16 قيمة ممكنة لكل منها)، أو 256 ³ (3 قنوات مع 256 قيمة ممكنة لكل منها)، أو 2 ²⁴ (24 بت مع قيمتين ممكنتين لكل منها).; حجم أكبر عدد صحيح غير موقع أو عنوان في أجهزة الكمبيوتر ذات سجلات أو ناقلات بيانات 24 بت .
2 ³⁰ =1 073 741 824: التقريب الثنائي للجيجا ، أوالمضاعف 1,000,000,000 ، والذي يُسبب تغييرًا في البادئة. على سبيل المثال ،1 073 741 824 بايت = 1 جيجابايت ^[⁵^] (أو جيبيبايت ).
2 ³¹ =2 147 483 648: عدد القيم غير السالبة لعدد صحيح ذي 32 بت. وبما أن وقت يونكس يُقاس بالثواني منذ 1 يناير 1970، فسوف ينفد عند2 147 483 647 ثانية أو 03:14:07 بالتوقيت العالمي المنسق يوم الثلاثاء 19 يناير 2038 على أجهزة الكمبيوتر ذات 32 بت التي تعمل بنظام Unix، وهي مشكلة تُعرف باسم مشكلة عام 2038 .
2 ³² =4 294 967 296

عدد القيم المختلفة التي يمكن تمثيلها في كلمة واحدة على معالج 32 بت . ^{[ 7 ]} أو عدد القيم التي يمكن تمثيلها في كلمة مزدوجة على معالج 16 بت ، مثل معالجات x86 الأصلية . ^{[ 6 ]}; نطاق المتغير intفي لغات البرمجة Java و C# و SQL .; نطاق Cardinalالمتغير Integerفي لغة برمجة باسكال .; الحد الأدنى لنطاق متغير عدد صحيح طويل في لغتي البرمجة C و C++ .; إجمالي عدد عناوين IP ضمن IPv4 . على الرغم من أن هذا يبدو عددًا كبيرًا، إلا أن عدد عناوين IPv4 المتاحة ذات 32 بت قد استُنفد (ولكن ليس بالنسبة لعناوين IPv6 ).; عدد العمليات الثنائية التي يكون مجالها مساوياً لأي مجموعة مكونة من 4 عناصر، مثل GF (4).
2 ⁴⁰ =1 099 511 627 776: التقريب الثنائي للتيرا ، أوالمضاعف 1,000,000,000,000 ، والذي يُسبب تغييرًا في البادئة. على سبيل المثال ،1 099 511 627 776 بايت = 1 تيرابايت ^{[ 5 ]} أو تيبيبايت.
2 ⁵⁰ =1 125 899 906 842 624: التقريب الثنائي للبيتا- ، أو1 000 000 000 000 000 مضاعف.1 125 899 906 842 624 بايت = 1 بيتابايت ^{[ 5 ]} أو بيبيبايت.
2 ⁵³ =9 007 199 254 740 992: العدد الذي يمكن عنده تمثيل جميع القيم الصحيحة بدقة تامة في صيغة الفاصلة العائمة ذات الدقة المزدوجة وفقًا لمعيار IEEE . وهو أيضًا أول قوة للعدد 2 تبدأ بالرقم 9 في النظام العشري.
2 ⁵⁶ =72 057 594 037 927 936: عدد المفاتيح المختلفة الممكنة في خوارزمية التشفير المتناظر DES القديمة ذات 56 بت .
2 ⁶⁰ =1 152 921 504 606 846 976: التقريب الثنائي لـ exa- ، أو1 000 000 000 000 000 000 مضاعف. 1 152 921 504 606 846 976 بايت = 1 إكسابايت ^{[ 5 ]} أو إكسبيبايت.
2 ⁶³ =9 223 372 036 854 775 808: عدد القيم غير السالبة لعدد صحيح ذي إشارة 64 بت.; 2 ⁶³ − 1، وهي قيمة قصوى شائعة (أو عدد القيم الموجبة) لعدد صحيح موقع 64 بت في لغات البرمجة.
2 ⁶⁴ =18 446 744 073 709 551 616: عدد القيم المختلفة التي يمكن تمثيلها في كلمة واحدة على معالج 64 بت . أو عدد القيم التي يمكن تمثيلها في كلمة مزدوجة على معالج 32 بت . أو عدد القيم التي يمكن تمثيلها في كلمة رباعية على معالج 16 بت ، مثل معالجات x86 الأصلية . ^{[ 6 ]}; نطاق المتغير الطويل في لغتي البرمجة Java و C# .; نطاق متغير Int64 أو QWord في لغة برمجة باسكال .; العدد الإجمالي لعناوين IPv6 التي تُمنح عادةً لشبكة محلية واحدة أو شبكة فرعية.; 2⁶⁴ - 1، وهو عدد حبات الأرز على رقعة الشطرنج، وفقًا للقصة القديمة ، حيث تحتوي الخانة الأولى على حبة أرز واحدة، وكل خانة تالية تحتوي على ضعف عدد ^حبات الأرز في الخانة السابقة. ولهذا السبب يُعرف هذا العدد أحيانًا باسم "عدد الشطرنج".; 2 ⁶⁴ − 1 هو أيضًا عدد الحركات المطلوبة لإكمال النسخة الأسطورية المكونة من 64 قرصًا من لعبة برج هانوي .
2 ⁶⁸ =295 147 905 179 352 825 856: أول قوة للعدد 2 تحتوي على جميع الأرقام العشرية. (التسلسل A137214 في OEIS )
2 ⁷⁰ =1 180 591 620 717 411 303 424: التقريب الثنائي لـ zetta- ، أو1 000 000 000 000 000 000 000 مضاعف.1 180 591 620 717 411 303 424 بايت = 1 زيتابايت ^{[ 5 ]} (أو زيبايت ).
2 ⁸⁰ =1 208 925 819 614 629 174 706 176: التقريب الثنائي لـ yotta- ، أو1 000 000 000 000 000 000 000 000 مضاعف.1 208 925 819 614 629 174 706 176 بايت = 1 يوتا بايت ^{[ 5 ]} (أو يوبي بايت ).
2 ⁸⁶ =77 371 252 455 336 267 181 195 264: يُعتقد أن 286 هو أكبر قوة للعدد اثنين لا تحتوي على صفر في النظام العشري ^.^[⁸^]
2 ⁹⁶ =79 228 162 514 264 337 593 543 950 336: يُشير مصطلح IPv6 إلى إجمالي عدد عناوين IPv6 المُخصصة عادةً لسجل الإنترنت المحلي . في تدوين CIDR ، يُمنح مزودو خدمة الإنترنت عنوان IPv6 بقسمة 32 على 128 ، ما يعني أن 96 بتًا (128 - 32) متاحة للعناوين (بدلاً من تحديد الشبكة). وبالتالي، 2^ ⁹⁶ عنوانًا.
2 × ¹⁰⁸ = 324 518 553 658 426 726 783 156 020 576 256: أكبر قوة معروفة للعدد 2 لا تحتوي على الرقم 9 في النظام العشري. (التسلسل A035064 في OEIS )
2 ¹²⁶ = 85 070 591 730 234 615 865 843 651 857 942 052 864: أكبر قوة معروفة للعدد 2 لا تحتوي على زوج من الأرقام المتساوية المتتالية. (التسلسل A050723 في OEIS )
2 ¹²⁸ = 340 ‍ 282 ‍ 366 ‍ 920 ‍ 938 ‍ 463 ‍ 463 ‍ 374 ‍ 607 ‍ 431 ‍ 768 ‍ 211 ‍ 456: إجمالي عدد عناوين IP المتاحة في IPv6 ، وعدد المعرفات الفريدة عالميًا (UUIDs) ، ووحدة واحدة في الخانة الأخيرة أكبر من الحد الأقصى للعدد الذي يمكن أن يتناسب مع تنسيق الفاصلة العائمة أحادي الدقة IEEE 32 بت ، وإجمالي عدد المفاتيح المختلفة الممكنة في مساحة مفاتيح AES 128 بت (التشفير المتماثل).
2 ¹⁶⁸ = 374 144 419 156 711 147 060 143 317 175 368 453 031 918 731 001 856: أكبر قوة معروفة للعدد 2 لا تحتوي على جميع الأرقام العشرية (الرقم 2 مفقود في هذه الحالة). (التسلسل A137214 في OEIS )
2 ¹⁹² = 6 ‍ 277 ‍ 101 ‍ 735 ‍ 386 ‍ 680 ‍ 763 ‍ 835 ‍ 789 ‍ 423 ‍ 207 ‍ 666 ‍ 416 ‍ 102 ‍ 355 ‍ 444 ‍ 464 ‍ 034 ‍ 512 ‍ 896: العدد الإجمالي للمفاتيح المختلفة الممكنة في مساحة مفاتيح AES 192 بت (التشفير المتماثل).
2 ²²⁹ = 862 718 293 348 820 473 429 344 482 784 628 181 556 388 621 521 298 319 395 315 527 974 912: ٢٢٢٩ هو أكبر عدد معروف من قوى العدد اثنين يحتوي على أقل عدد من الأصفار نسبةً إلى قوته. ويُفترض، بحسب متين ساريار، أن كل رقم من ٠ إلى ٩ يميل إلى الظهور عددًا متساويًا من المرات في التمثيل العشري لقوى العدد اثنين كلما زادت القوة. ⁽التسلسل A330024 في OEIS )
2256 = 1157920892373161954235709850086879078532699846656405640039457584007913129639936: العدد الإجمالي للمفاتيح المختلفة الممكنة في مساحة مفاتيح AES 256 بت (التشفير المتماثل).
2¹⁰²⁴ = 179 769 313 486 231 590 772 930 ... 304 835 356 329 624 224 137 216 (309 أرقام): وحدة واحدة في الخانة الأخيرة أكبر من الحد الأقصى للرقم الذي يمكن أن يتناسب مع تنسيق الفاصلة العائمة مزدوجة الدقة IEEE 64 بت (وبالتالي وحدة واحدة في الخانة الأخيرة أكبر من الحد الأقصى للرقم الذي يمكن تمثيله بواسطة العديد من البرامج، على سبيل المثال Microsoft Excel ).
2¹⁶³⁸⁴ = 1 ¹⁸⁹ 731 495 357 231 765 085 75 ... 460 447 027 290 669 964 066 816 ((4933 رقمًا): وحدة واحدة في الخانة الأخيرة أكبر من الحد الأقصى للعدد الذي يمكن أن يتسع له تنسيق الفاصلة العائمة رباعي الدقة IEEE ذو 128 بت أو تنسيق الفاصلة العائمة ذي الدقة الموسعة x86 ذو 80 بت
2⁶⁵⁵³⁶ = 2 003 529 930 406 846 464 979 07 ... 339 445 587 895 905 719 156 736⁽19729 رقمًا ): التكرار الخامس من 2 قيد المعالجة .
2^{262 144} = 16 ‍ 113 ‍ 257 ‍ 174 ‍ 857 ‍ 604 ‍ 736 ‍ 195‍ 7 ... ‍ 753 ‍ 862 ‍ 605 ‍ 349 ‍ 934 ‍ 298 ‍ 300 ‍ 416 (78914 رقمًا ): وحدة واحدة في الخانة الأخيرة أكبر من الحد الأقصى للعدد الذي يمكن أن يتسع له تنسيق الفاصلة العائمة ثماني الدقة IEEE ذو 256 بت
2^{136 279 841} = 8 816 943 275 038 332 655 53939 ... 665 555 076 706 219 486 871 552 (41024320 رقمًا ): أكبر بواحد من أكبر عدد أولي معروف حتى أكتوبر 2024 [ ⁹^]
2^{8 589 934 592} = 96 303 501 339 204 130 142 1370 ... 499 373 822 575 361 336 016 896 (2585827973 رقمًا ): أقل بواحد من أصغر عدد فيرما الذي لم تُعرف أوليته حتى عام 2026[ ¹⁰^]
2^{713 739 807 325 663 489 766 475 852 620 783 120 641} = 414 533 118 748 612 868 176 806 ... 555 801 394 430 921 043 607 552 (214 857 091 104 455 254 035 802 532 723 729 912 718 رقمًا): أصغر عدد من الأرقام التي تكون فيها خوارزمية الضرب $O (n log n)$ لهارفي وفان دير هوفن (2019) ^[¹¹^] أسرع من خوارزمية شونهاج-ستراسن .
2 ^{2^٦٥٥٣٦} =...^{^{‍ ٨٣٣}} ‍ ٥٤٨ ‍ ٠٦٨ ‍ ٨٦٢ ‍ ٦٩٣ ‍ ٠١٠ ‍ ٣٠٥ ‍ ٦١٤ ‍ ٩٨٦ ‍ ٨٩١ ‍ ٨٢٦ ‍ ٢٧٧ ‍ ٥٠٧ ‍ ٤٣٧ ‍ ٤٢٨ ‍ ٧٣٦ ( ≈( 6.031226063 × 1019727 ^رقمًا ): التكرار السادس من 2 قيد المعالجة.
2 ^{2^18233954} =...575880368045713680680151005454394104213003042816 ( ≈3.733937161 × 10⁵488966 ^رقمًا: أقل بواحد من أصغر عدد فيرما معروف بأنه عدد مركب اعتبارًا من عام 2026[ ¹⁰^]
ميجا: يساوي 2 في شكل خماسي في تدوين شتاينهاوس-موسر ؛ وهو يقع بين $10\uparrow \uparrow 257$ و $10\uparrow \uparrow 258$ في تدوين كنوت للسهم لأعلى . ^{[ 12 ]}
رقم موسر: يساوي 2 في شكل ميغا غون في تدوين شتاينهاوس-موسر، حيث ميغا كما هو محدد أعلاه.

قوى العدد اثنين في نظرية الموسيقى

في التدوين الموسيقي ، جميع قيم النوتات الموسيقية غير المعدلة لها مدة تساوي مدة نوتة كاملة مقسومة على قوة من قوى العدد اثنين؛ على سبيل المثال، نصف نوتة (1/2)، وربع نوتة (1/4)، وثمن نوتة (1/8)، وسدس عشر نوتة (1/16). أما النوتات المنقطة أو المعدلة بأي شكل آخر فلها مدد مختلفة. في علامات الإيقاع، يكون الرقم الأدنى، وهو وحدة النبضة ، والذي يمكن اعتباره مقام الكسر ، دائمًا تقريبًا قوة من قوى العدد اثنين.

إذا كانت نسبة ترددات نغمتين تساوي قوة العدد اثنين، فإن المسافة بين هاتين النغمتين تساوي أوكتافًا كاملًا . في هذه الحالة، تحمل النوتات الموسيقية المتناظرة الاسم نفسه.

المصادفة الرياضية $2^{7}\approx ({\tfrac {3}{2}})^{12}$ ، من ${\frac {\log 3}{\log 2}}=1.5849\ldots \approx {\frac {19}{12}}$ ، تربط بشكل وثيق الفاصل الزمني المكون من 7 أنصاف نغمات في التوزيع المتساوي بالخامسة المثالية للتناغم الطبيعي : $2^{7/12}\approx 3/2$ ، بدقة تصل إلى حوالي 0.1%. الخُمس المُناسب هو أساس الضبط الفيثاغوري ؛ والفرق بين اثني عشر خُمسًا مُناسبًا وسبعة أوكتافات هو الفاصلة الفيثاغورية . ^{[ 13 ]}

خصائص أخرى

مجموع جميع معاملات التوزيع الثنائي $n$ -choose يساوي $2^$ $n$ . لنفترض مجموعة جميع الأعداد الثنائية المكونة من $n خانة.$ عدد عناصرها هو $2^$ $n$ . وهو أيضًا مجموع أعداد عناصر مجموعات جزئية معينة: مجموعة الأعداد الصحيحة التي لا تحتوي على الرقم 1 (وتتكون من عدد واحد، يُكتب على شكل $n$ 0)، ومجموعة الأعداد التي تحتوي على الرقم 1 واحد، ومجموعة الأعداد التي تحتوي على الرقم 1 مرتين، وهكذا حتى مجموعة الأعداد التي تحتوي على $n$ 1 مرة (وتتكون من العدد المكتوب على شكل $n$ 1 مرة). كل مجموعة من هذه المجموعات تساوي بدورها معامل التوزيع الثنائي مرفوعًا للأس $n$ وعدد مرات ظهور الرقم 1 (على سبيل المثال، هناك 10 أعداد ثنائية مكونة من عشرة أرقام تحتوي على ثلاثة أرقام 1 بالضبط).

حالياً، تُعد قوى العدد اثنين هي الأعداد الوحيدة المعروفة شبه الكاملة .

عدد عناصر مجموعة القوى لمجموعة a هو دائمًا $2$ $|$ $a$ $|$ ، حيث $|$ $a$ $|$ هو عدد $عناصر$ $a$ .

عدد رؤوس المكعب الفائق ذي البعد $n$ هو $2^$ $n$ . وبالمثل، فإن عدد أوجه $($ $n$ $- 1)$ لمتعدد السطوح المتقاطع ذي البعد $n$ هو أيضًا $2^$ $n$ ، وصيغة عدد أوجه $x$ لمتعدد السطوح المتقاطع ذي البعد $n هي$ $2^{x}{\tbinom {n}{x}}.$

مجموع الأول $n$ قوى العدد اثنين (بدءًا من $1=2^{0}$ ) معطى بواسطة

\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{n-1}=2^{n}-1

ل $n$ أي عدد صحيح موجب.

وبالتالي، فإن مجموع القوى

1+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}

يمكن حسابها ببساطة عن طريق تقييم ما يلي: $2^{64}-1$ (وهو "رقم الشطرنج").

مجموع مقلوب قوى العدد اثنين يساوي 1. مجموع مقلوب مربعات قوى العدد اثنين (قوى العدد أربعة) يساوي 1/3.

أصغر قوة طبيعية للعدد اثنين والتي يبدأ تمثيلها العشري بالرقم 7 هي ^{[ 14 ]}

2^{46}=70\368\744\177\664.

يمكن كتابة كل قوة من قوى العدد 2 (باستثناء 1) على شكل مجموع أربعة أعداد مربعة بـ 24 طريقة . قوى العدد 2 هي الأعداد الطبيعية الأكبر من 1 التي يمكن كتابتها على شكل مجموع أربعة أعداد مربعة بأقل عدد من الطرق.

باعتبارها كثيرة حدود حقيقية ، فإن ^aⁿ + bⁿ غير قابلة للاختزال ^، إذا وفقط إذا كان n قوة للعدد 2. (إذا كان n فرديًا، فإن aⁿ ⁺ bⁿ يقبل القسمة على a + b ^، وإذا كان n زوجيًا ولكنه ليس قوة للعدد 2، فيمكن كتابة n على الصورة n = mp ، حيث m فردي، وبالتالي $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ ، وهو يقبل القسمة على a ^p + b ^p .) ولكن في مجال الأعداد المركبة ، فإن متعددة الحدود $a^{2n}+b^{2n}$ (حيث n ≥ 1) يمكن دائمًا تحليلها إلى عواملها الأولية $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$ ، حتى لو كان n قوة للعدد اثنين.

القوى الوحيدة المعروفة للعدد 2 التي جميع أرقامها زوجية هي: 2¹ ⁼ 2، 2² ⁼ 4، ^2³ = 8، ^2⁶ = 64، ^و2¹¹ =٢٠٤٨. ^[ ١٥ ^] القوى الثلاث الأولى للعدد ٢ التي تكون جميع أرقامها فردية ما عدا الرقم الأخير هي ٢⁴ ⁼ ١٦، و٢⁵ ⁼ ٣٢، و٢⁹ = ^٥١٢. يجب أن تحتوي القوة التالية للعدد ٢ من هذا النوع، والتي تأخذ الشكل ٢ⁿ ^،^على عدد أرقام فردي (n) لا يقل عن ستة أرقام. القوى الوحيدة للعدد ٢ التي تكون جميع أرقامها مختلفة هي من ٢⁰ ⁼ ١ إلى ^٢¹⁵ =32768 ، ²²⁰ =1048576 و ²²⁹ =536 870 912 .

قوى سالبة للعدد اثنين

توفر رموز هوفمان ضغطًا مثاليًا للبيانات بدون فقدان عندما تكون احتمالات رموز المصدر كلها قوى سالبة للعدد اثنين. ^{[ 16 ]}

انظر أيضاً

مراجع

↑ ليبشوتز، سيمور (1982). موجز شوم لنظرية ومسائل الرياضيات الحاسوبية الأساسية . نيويورك: ماكجرو هيل. ص 3. ISBN 0-07-037990-4.
↑ سيويل ، مايكل ج. (1997). دروس متقدمة في الرياضيات . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ص 78. ISBN 0-19-851494-8.
↑ $\log _{1024/1000}1.5\approx 17.1,$ $\log _{1024/1000}2\approx 29.2.$
↑ جاي، ريتشارد ك. (2004)، "متتاليات اللاعقلانية E24"، مسائل غير محلولة في نظرية الأعداد ( الطبعة الثالثة)، سبرينغر-فيرلاغ ، ص 346، ISBN 0-387-20860-7Zbl 1058.11001 ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 28-04-2016
1 2 3 4 5 6 7 8 فورتنر، براند (1995). "أرقام البايت". دليل البيانات ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر؛ تيلوس. الفصل 2، القسم "كيلوبايت وميجابايت"، ص 25. doi : 10.1007/978-1-4612-2538-6_3 . ISBN 978-1-4612-7572-5غالبًا ما تُعبّر أحجام ملفات القرص بالكيلوبايت والميجابايت. قد يُذكر أن حجم ملف ما هو 32 كيلوبايت، أو 32 ألف بايت. هذا لا يعني بالضرورة 32000 بايت. يُعرّف الكيلوبايت بأنه 2^ 10 ^أو 10 ^24.١٠٢٤ بايت. لذا فإن ٣٢ كيلوبايت تساوي في الواقع ٣٢ ×1024 ، أو32768 بايت. وبالمثل ، يُعرَّف الميغابايت بأنه 2 ^{^20} ، أو 1,048,576 بايت. لذلك، فإن 32 ميغابايت (32 مليون بايت) تساوي33554432 بايت .
سامز، توني؛ جينكينسون، بريان (2007). “فهم المعلومات”. حوسبة الطب الشرعي ( الطبعة الثانية). لندن: سبرينغر. ص 7 – 48. دوى : 10.1007 / 978-1-84628-732-9_2 . رقم ISBN 978-1-84628-397-0يُستخدم البايت اليوم كوحدة قياس أساسية لحجم الذاكرة، [...]. ومع ازدياد أحجام ذاكرة الحاسوب وأقراص التخزين بشكل كبير، أصبح البايت وحدة صغيرة نسبيًا، وتُستخدم الآن قوى مختلفة للعدد اثنين لتحديد حجمه: الكيلوبايت يساوي 2 ^ ¹⁰ =1024 بايت؛ الميغابايت يساوي 2 ^{^20} =1,048,576 بايت ؛ الجيجابايت يساوي 2 ^{^}30 =1,073,741,824 بايت ؛ التيرابايت يساوي 240⁼1,099,511,627,776 بايت ؛ والبيتابايت يساوي 250⁼1,125,899,906,842,624 بايت . يستمر هذا التسلسل من وحدات قوى العدد 2 مع الإكسابايت والزيتابايت واليوتابايت . تقليديًا ، اعتمد علماء الحاسوب وحدات الذاكرة على قوى العدد 2 بدلًا من قوى العدد 10، على الرغم من أن هذا الأمر محل جدل داخل مجتمع المعايير. [ملاحظة: تكمن المسألة في ما إذا كان ينبغي رفع البادئات كيلو، ميجا، جيجا، إلخ، إلى قوى العدد 2 كما هو مطبق تقليديًا في أوساط الحوسبة، أو إلى قوى العدد 10 كما أقره المؤتمر العام للأوزان والمقاييس لوحدات النظام الدولي للوحدات. إذا تم تغييرها إلى قوى العدد 10، فسيصبح الكيلو ^10³ =سيصبح 1000 و ميجا10 ⁶ =1,000,000 . ]
1 2 3 على الرغم من اختلاف أحجام الكلمات، تستخدم جميع معالجات x86 مصطلح "كلمة" للدلالة على 16 بت؛ وبالتالي، يشير معالج x86 ذو 32 بت إلى حجم كلمته الأصلي باسم dword
↑ "جدول قوى العدد 2 - ملخصات فون" . www.vaughns-1-pagers.com . مؤرشف من الأصل بتاريخ 12 أغسطس 2015.
↑ وايسشتاين، إريك و. "الصفر". من موقع MathWorld. "الصفر" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 1 يونيو 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 مايو 2013 .
↑ "اكتشاف أعداد ميرسين الأولية – 2 ^136279841 −1 هو عدد أولي!" . www.mersenne.org .
1 2 "حالة التمويل بمعاملة فيرما" . www.prothsearch.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 يوليو 2026 .
^ هارفي ، ديفيد. فان دير هوفن، يوريس (2021). "ضرب الأعداد الصحيحة في الوقت المناسب $O(n\log n)$ ( ملف PDF) . حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 193 (2): 563-617 . doi : 10.4007/annals.2021.193.2.4 . MR 4224716. S2CID 109934776 .
↑ هوغو شتاينهاوس، لقطات رياضية ، مطبعة جامعة أكسفورد 1969،³ ، رقم ISBN 0195032675، الصفحات 28-29
↑ مانفريد روبرت شرودر (2008). نظرية الأعداد في العلوم والتواصل (الطبعة الثانية ). سبرينغر. الصفحات 26-28 . ISBN 978-3-540-85297-1.
^ باول سترزيليكي (1994). "Opotęgach dwójki (حول قوى الاثنين)" (باللغة البولندية). دلتا. مؤرشفة من الأصلي بتاريخ 2016-05-09.
↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A068994 (قوى العدد 2 بجميع الأرقام الزوجية)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.
↑ ترميز هوفمان ، من: ضغط البيانات الأساسي ، 2006

[1] ليبشوتز، سيمور (1982). موجز شوم لنظرية ومسائل الرياضيات الحاسوبية الأساسية . نيويورك: ماكجرو هيل. ص 3. ISBN 0-07-037990-4.

[2] سيويل ، مايكل ج. (1997). دروس متقدمة في الرياضيات . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ص 78. ISBN 0-19-851494-8.

[3] $\log _{1024/1000}1.5\approx 17.1,$ $\log _{1024/1000}2\approx 29.2.$

[4] جاي، ريتشارد ك. (2004)، "متتاليات اللاعقلانية E24"، مسائل غير محلولة في نظرية الأعداد ( الطبعة الثالثة)، سبرينغر-فيرلاغ ، ص 346، ISBN 0-387-20860-7Zbl 1058.11001 ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 28-04-2016

[kilobyte-5] 1 2 3 4 5 6 7 8 فورتنر، براند (1995). "أرقام البايت". دليل البيانات ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر؛ تيلوس. الفصل 2، القسم "كيلوبايت وميجابايت"، ص 25. doi : 10.1007/978-1-4612-2538-6_3 . ISBN 978-1-4612-7572-5غالبًا ما تُعبّر أحجام ملفات القرص بالكيلوبايت والميجابايت. قد يُذكر أن حجم ملف ما هو 32 كيلوبايت، أو 32 ألف بايت. هذا لا يعني بالضرورة 32000 بايت. يُعرّف الكيلوبايت بأنه 2^ 10 ^أو 10 ^24.١٠٢٤ بايت. لذا فإن ٣٢ كيلوبايت تساوي في الواقع ٣٢ ×1024 ، أو32768 بايت. وبالمثل ، يُعرَّف الميغابايت بأنه 2 ^{^20} ، أو 1,048,576 بايت. لذلك، فإن 32 ميغابايت (32 مليون بايت) تساوي33554432 بايت .
سامز، توني؛ جينكينسون، بريان (2007). “فهم المعلومات”. حوسبة الطب الشرعي ( الطبعة الثانية). لندن: سبرينغر. ص 7 – 48. دوى : 10.1007 / 978-1-84628-732-9_2 . رقم ISBN 978-1-84628-397-0يُستخدم البايت اليوم كوحدة قياس أساسية لحجم الذاكرة، [...]. ومع ازدياد أحجام ذاكرة الحاسوب وأقراص التخزين بشكل كبير، أصبح البايت وحدة صغيرة نسبيًا، وتُستخدم الآن قوى مختلفة للعدد اثنين لتحديد حجمه: الكيلوبايت يساوي 2 ^ ¹⁰ =1024 بايت؛ الميغابايت يساوي 2 ^{^20} =1,048,576 بايت ؛ الجيجابايت يساوي 2 ^{^}30 =1,073,741,824 بايت ؛ التيرابايت يساوي 240⁼1,099,511,627,776 بايت ؛ والبيتابايت يساوي 250⁼1,125,899,906,842,624 بايت . يستمر هذا التسلسل من وحدات قوى العدد 2 مع الإكسابايت والزيتابايت واليوتابايت . تقليديًا ، اعتمد علماء الحاسوب وحدات الذاكرة على قوى العدد 2 بدلًا من قوى العدد 10، على الرغم من أن هذا الأمر محل جدل داخل مجتمع المعايير. [ملاحظة: تكمن المسألة في ما إذا كان ينبغي رفع البادئات كيلو، ميجا، جيجا، إلخ، إلى قوى العدد 2 كما هو مطبق تقليديًا في أوساط الحوسبة، أو إلى قوى العدد 10 كما أقره المؤتمر العام للأوزان والمقاييس لوحدات النظام الدولي للوحدات. إذا تم تغييرها إلى قوى العدد 10، فسيصبح الكيلو ^10³ =سيصبح 1000 و ميجا10 ⁶ =1,000,000 . ]

[iword-6] 1 2 3 على الرغم من اختلاف أحجام الكلمات، تستخدم جميع معالجات x86 مصطلح "كلمة" للدلالة على 16 بت؛ وبالتالي، يشير معالج x86 ذو 32 بت إلى حجم كلمته الأصلي باسم dword

[7] "جدول قوى العدد 2 - ملخصات فون" . www.vaughns-1-pagers.com . مؤرشف من الأصل بتاريخ 12 أغسطس 2015.

[8] وايسشتاين، إريك و. "الصفر". من موقع MathWorld. "الصفر" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 1 يونيو 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 مايو 2013 .

[9] "اكتشاف أعداد ميرسين الأولية – 2 ^136279841 −1 هو عدد أولي!" . www.mersenne.org .

[prothsearch-10] 1 2 "حالة التمويل بمعاملة فيرما" . www.prothsearch.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 يوليو 2026 .

[Harvey-vdHoeven-11] هارفي ، ديفيد. فان دير هوفن، يوريس (2021). "ضرب الأعداد الصحيحة في الوقت المناسب $O(n\log n)$ ( ملف PDF) . حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 193 (2): 563-617 . doi : 10.4007/annals.2021.193.2.4 . MR 4224716. S2CID 109934776 .

[12] هوغو شتاينهاوس، لقطات رياضية ، مطبعة جامعة أكسفورد 1969،³ ، رقم ISBN 0195032675، الصفحات 28-29

[schroeder-13] مانفريد روبرت شرودر (2008). نظرية الأعداد في العلوم والتواصل (الطبعة الثانية ). سبرينغر. الصفحات 26-28 . ISBN 978-3-540-85297-1.

[o_potegach_dwojki-14] باول سترزيليكي (1994). "Opotęgach dwójki (حول قوى الاثنين)" (باللغة البولندية). دلتا. مؤرشفة من الأصلي بتاريخ 2016-05-09.

[15] سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A068994 (قوى العدد 2 بجميع الأرقام الزوجية)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.

[16] ترميز هوفمان ، من: ضغط البيانات الأساسي ، 2006

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[

[ 6 ]

[ 7 ]

[

9

10

[

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[

[ 16 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗