النواة (الجبر الخطي)

مثال على النواة - المؤثر الخطي $L:(x,y)\longrightarrow (x,x)$ يُحوّل جميع النقاط على $(x=0,y)$ خط إلى نقطة الصفر $(0,0)$ وبالتالي فهي تشكل نواة المؤثر الخطي

{\displaystyle L:(x,y)\longrightarrow (x,x)} — مثال على النواة - المؤثر الخطي $L:(x,y)\longrightarrow (x,x)$ يُحوّل جميع النقاط على $(x=0,y)$ خط إلى نقطة الصفر $(0,0)$ وبالتالي فهي تشكل نواة المؤثر الخطي

في الرياضيات ، تُعرف نواة التطبيق الخطي ، أو الفضاء الصفري ، بأنها جزء من المجال الذي يُسقط على متجه الصفر في المجال المقابل ؛ وتكون النواة دائمًا فضاءً خطيًا جزئيًا من المجال. ^{[ 1 ]} أي، إذا كان لدينا تطبيق خطي $L : V \to W$ بين فضاءين متجهيين $V$ و $W$ ، فإن نواة $L$ هي الفضاء المتجهي لجميع العناصر $v$ من $V$ بحيث يكون $L (v) = 0$ ، حيث يرمز $0$ إلى متجه الصفر في $W$ ، ^{[ 2 ]} أو بصورة رمزية أكثر: $\ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}=L^{-1}(\mathbf {0} ).$

ملكيات

نواة $L$ هي فضاء جزئي خطي ^من المجال $V.$ [ ^{3 ] [}^{2 ]}

في الخريطة الخطية $L:V\to W,$ يكون لعنصرين من $V$ نفس الصورة في $W$ إذا وفقط إذا كان الفرق بينهما يقع في نواة $L$ ، أي

$L\left(\mathbf {v} _{1}\right)=L\left(\mathbf {v} _{2}\right)\quad \iff \quad L\left(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right)=\mathbf {0} .$

ومن هذا، يترتب على $نظرية$ التشاكل الأولى أن صورة $L$ متماثلة مع خارج قسمة V على النواة: $\operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).$ في حالة كون $V$ محدود الأبعاد ، فإن هذا يستلزم نظرية الرتبة والعدمية : $\dim(\ker L)+\dim(\operatorname {im} L)=\dim(V).$ حيث المصطلحيشير الترتيب إلى بُعد صورة $L$ ، $\dim(\operatorname {im} L),$ بينمايشير مصطلح "العدمية" إلىبُعد نواة $L.$ $\dim(\ker L).$ ^{[ 4 ]} أي، $\operatorname {Rank} (L)=\dim(\operatorname {im} L)\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {Nullity} (L)=\dim(\ker L),$ وبالتالي يمكن إعادة صياغة نظرية الرتبة والعدم على النحو التالي $\operatorname {Rank} (L)+\operatorname {Nullity} (L)=\dim \left(\operatorname {domain} L\right).$

عندما يكون $V$ فضاءً للجداء الداخلي ، فإن خارج القسمة $V/\ker(L)$ يمكن تحديدها بالمكمل المتعامد في $V$ من $\ker(L)$ هذا هو التعميم للمؤثرات الخطية لفضاء الصف ، أو الصورة المشتركة ، للمصفوفة.

التعميم على الوحدات

ينطبق مفهوم النواة أيضًا على تشاكلات الوحدات ، وهي تعميمات للفضاءات المتجهة حيث تكون القيم العددية عناصر حلقة ، وليست حقلًا . مجال التطبيق هو وحدة، والنواة تشكل وحدة فرعية . هنا، لا تنطبق مفاهيم الرتبة والعدمية بالضرورة.

في التحليل الوظيفي

إذا كانت $V$ و $W$ فضاءات متجهة طوبولوجية بحيث يكون $W$ محدود الأبعاد، فإن المؤثر الخطي $L : V \to W$ يكون متصلاً إذا وفقط إذا كانت نواة $L فضاءً فرعياً$ مغلقاً من $V.$

التمثيل كضرب المصفوفات

لنفترض وجود دالة خطية ممثلة بمصفوفة $A$ من الرتبة $m \times n$ بمعاملات في حقل $K$ (عادةً $\mathbb {R}$ أو $\mathbb {C}$ ، أي أنها تعمل على متجهات عمودية $x$ ذات $n$ مركبة على $K.$ نواة هذا التطبيق الخطي هي مجموعة حلول المعادلة $A x = 0$ ، حيث يُفهم $0$ على أنه المتجه الصفري . يُطلق على بُعد نواة A اسم فراغية A. في تدوين بناء المجموعة ، $\operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}\mid A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.$ معادلة المصفوفة مكافئة لنظام متجانس من المعادلات الخطية : $A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}$ وبالتالي فإن نواة A هي نفسها مجموعة الحلول للمعادلات المتجانسة المذكورة أعلاه.

خصائص الفضاء الفرعي

نواة المصفوفة $A$ من الرتبة $m \times n$ على الحقل $K$ هي فضاء جزئي خطي من $K$ $n$ . أي أن نواة $A$ ، وهي المجموعة $Null($ $A$ $)$ ، لها الخصائص الثلاث التالية:

$Null(A)$ يحتوي دائمًا على المتجه الصفري ، لأن $A 0 = 0$ .
إذا كان $x \in Null(A)$ و $y \in Null(A)$ ، فإن $x + y \in Null(A)$ . وهذا ناتج عن خاصية التوزيع لضرب المصفوفات على الجمع.
إذا كان $x \in Null(A)$ و $c$ هو عدد قياسي $c \in K$ ، فإن $c x \in Null(A)$ ، لأن $A (c x) = c (A x) = c 0 = 0$ .

فضاء الصفوف للمصفوفة

يمكن كتابة حاصل الضرب A x بدلالة حاصل الضرب النقطي للمتجهات على النحو التالي: $A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.$

هنا، تشير $a 1 ، ... ، a m$ إلى صفوف المصفوفة $A.$ ويترتب على ذلك أن $x$ موجود في نواة $A$ ، إذا وفقط إذا كان $x$ متعامدًا (أو عموديًا) على كل متجه من متجهات صفوف $A$ (حيث يتم تعريف التعامد على أنه حاصل ضرب نقطي يساوي 0).

الفضاء الصفّي ، أو الصورة المرافقة، للمصفوفة $A$ هو الفضاء الممتدّ لمتجهات صفوف $A.$ وبناءً على ما سبق، فإنّ نواة $A$ هي المتممة المتعامدة للفضاء الصفّي. أي أنّ المتجه $x$ يقع في نواة $A$ إذا وفقط إذا كان عموديًا على كلّ متجه في الفضاء الصفّي لـ $A.$

يُطلق على بُعد فضاء الصفوف للمصفوفة A اسم $رتبة$ A $،$ ويُطلق على بُعد نواة $A$ اسم فراغية A. وترتبط هاتان الكميتان بنظرية الرتبة والفراغية ^[⁴^] . $\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.$

مساحة فارغة يسارية

يتكون الفضاء الصفري الأيسر ، أو النواة المشتركة $،$ للمصفوفة $A$ من جميع متجهات الأعمدة $x$ التي تحقق $المعادلة$ $xᵀA = 0ᵀ$ ، حيث T هي $منقولة$ المصفوفة . الفضاء الصفري الأيسر للمصفوفة $A$ هو نفسه نواة $Aᵀ$ . وهو المتمم المتعامد لفضاء أعمدة A $،$ ومزدوج النواة المشتركة للتحويل الخطي المرتبط به. النواة، وفضاء الصفوف، وفضاء الأعمدة، والفضاء الصفري الأيسر $للمصفوفة$ A $هي$ الفضاءات الفرعية $الأساسية$ الأربعة المرتبطة بها $.$

أنظمة المعادلات الخطية غير المتجانسة

تلعب النواة أيضًا دورًا في حل نظام المعادلات الخطية غير المتجانسة: $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \quad {\text{or}}\quad {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}$ إذا كان $u$ و $v$ حلين محتملين للمعادلة أعلاه، فإن $A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0}$ وبالتالي، فإن الفرق بين أي حلين للمعادلة $A x = b$ يقع في نواة $A.$

يترتب على ذلك أن أي حل للمعادلة $A x = b$ يمكن التعبير عنه كمجموع حل ثابت $v$ وعنصر اختياري من النواة. أي أن مجموعة حلول المعادلة $A x = b$ هي $\left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\},$ هندسياً، يعني هذا أن مجموعة حلول المعادلة $A x = b$ هي إزاحة نواة المصفوفة $A$ بواسطة المتجه $v$ . انظر أيضاً بديل فريدهولم والمسطح (الهندسة) .

توضيح

فيما يلي توضيح بسيط لحساب نواة المصفوفة (انظر قسم " الحساب باستخدام طريقة غاوس للحذف " أدناه للاطلاع على طرق أكثر ملاءمة للحسابات الأكثر تعقيدًا). ويتناول التوضيح أيضًا فضاء الصفوف وعلاقته بالنواة.

ضع في اعتبارك المصفوفة $A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.$ تتكون نواة هذه المصفوفة من جميع المتجهات $($ $x, y, z) \in R³$ التي ${\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},$ والتي يمكن التعبير عنها كنظام متجانس من المعادلات الخطية التي تتضمن $x$ و $y$ و $z$ : ${\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned}}$

يمكن كتابة المعادلات الخطية نفسها أيضاً في شكل مصفوفة كما يلي: $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].$

من خلال عملية حذف جاوس-جوردان ، يمكن اختزال المصفوفة إلى: $\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].$

إعادة كتابة المصفوفة في شكل معادلة ينتج عنها: ${\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}$

يمكن التعبير عن عناصر النواة بشكل أكبر في شكل متجه بارامتري ، كما يلي: ${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\quad ({\text{where }}c\in \mathbb {R} )$

بما أن $c$ متغير حر يشمل جميع الأعداد الحقيقية، فيمكن التعبير عن ذلك بشكل جيد على النحو التالي: ${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.$ نواة المصفوفة $A$ هي تحديدًا مجموعة حلول هذه المعادلات (في هذه الحالة، خط مستقيم يمر بنقطة الأصل في الفضاء الإقليدي $ثلاثي$ $الأبعاد$ $R³$ ). هنا، يشكل المتجه $(-1,-26,16)$ أساسًا لنواة $A.$ وبالتالي، فإن صفرية $A$ تساوي 1، لأنها مولدة بواسطة متجه واحد.

حاصل الضرب النقطي التالي يساوي صفرًا: ${\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {and} \quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0,$ وهذا يوضح أن المتجهات في نواة $A$ متعامدة مع كل متجه من متجهات الصف $A.$

يمتد هذان المتجهان الصفيان (المستقلان خطيًا) على فضاء الصفوف لـ $A$ - وهو مستوى متعامد مع المتجه $(-1,-26,16) T.$

مع رتبة 2 لـ $A$ ، وفراغ 1 لـ $A$ ، وبُعد 3 لـ $A$ ، لدينا توضيح لنظرية الرتبة والفراغ.

أمثلة

إذا كان $L : R m \to R n$ ، فإن نواة $L$ هي مجموعة حلول نظام متجانس من المعادلات الخطية . كما في المثال أعلاه، إذا كان $L$ هو المؤثر: $L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})$ إذن، نواة $L$ هي مجموعة حلول المعادلات ${\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}$
لنرمز بـ $C [0,1]$ إلى الفضاء المتجهي لجميع الدوال الحقيقية المتصلة على الفترة [0,1]، ولنعرف $L : C [0,1] \to R$ بالقاعدة التالية: $L(f)=f(0.3).$ ثم تتكون نواة $L$ من جميع الدوال $f \in C [0,1]$ التي تحقق $f (0.3) = 0$ .
ليكن $C \infty (R)$ هو الفضاء المتجهي لجميع الدوال القابلة للتفاضل بلا حدود $R \to R$ ، وليكن $D : C \infty (R) \to C \infty (R)$ هو عامل التفاضل : $D(f)={\frac {df}{dx}}.$ ثم تتكون نواة $D$ من جميع الدوال في $C \infty (R)$ التي تكون مشتقاتها صفرًا، أي مجموعة جميع الدوال الثابتة .
ليكن $R\infty$ هو الناتج المباشر لعدد لا نهائي من $نسخ$ $R$ $،$ وليكن $s$ $: R\infty \to R\infty$ هو $عامل$ الإزاحة $s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ).$ ثم نواة $s$ هي الفضاء الفرعي أحادي البعد الذي يتكون من جميع المتجهات $(x 1, 0, 0, 0, ...)$ .
إذا كان $V$ فضاءً داخليًا و $W$ فضاءً جزئيًا، فإن نواة الإسقاط المتعامد $V \to W$ هي المتمم المتعامد لـ $W$ في $V.$

الحساب باستخدام طريقة الحذف الغاوسي

يمكن حساب أساس نواة المصفوفة عن طريق الحذف الغاوسي .

لهذا الغرض، إذا كانت لدينا مصفوفة $A من الرتبة$ $m \times n$ ، فإننا نقوم أولاً بإنشاء المصفوفة الموسعة للصفوف. ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}},$ حيث $I$ هي مصفوفة الوحدة من الرتبة $n \times n$ .

وبحساب شكلها العمودي المتدرج باستخدام طريقة الحذف الغاوسي (أو أي طريقة مناسبة أخرى)، نحصل على مصفوفة ${\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}.$ تتكون قاعدة نواة $A$ من الأعمدة غير الصفرية لـ $C$ بحيث يكون العمود المقابل لـ $B$ عمودًا صفريًا .

في الواقع، يمكن إيقاف الحساب بمجرد أن تصبح المصفوفة العليا في شكل أعمدة متدرجة: يتكون الجزء المتبقي من الحساب من تغيير أساس فضاء المتجهات الناتج عن الأعمدة التي يكون الجزء العلوي منها صفرًا.

على سبيل المثال، لنفترض أن $A={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}.$ ثم ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

وضع الجزء العلوي في شكل أعمدة متدرجة عن طريق عمليات الأعمدة على المصفوفة بأكملها يعطي ${\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

الأعمدة الثلاثة الأخيرة من المصفوفة $B$ هي أعمدة صفرية. لذلك، فإن المتجهات الثلاثة الأخيرة من المصفوفة $C$ هي $\left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]$ هي أساس نواة $A.$

إثبات أن الطريقة تحسب النواة: بما أن عمليات الأعمدة تتوافق مع الضرب اللاحق بمصفوفات قابلة للعكس، فإن حقيقة أن ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}$ يتقلص إلى ${\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}$ هذا يعني وجود مصفوفة قابلة للعكس $P$ بحيث ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}P={\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}},$ مع $B$ في شكل أعمدة متدرجة. وهكذا. $AP=B$ ، $IP=C$ ، و $AC=B$ متجه عمودي $\mathbf {v}$ ينتمي إلى نواة $A$ (إنه $A\mathbf {v} =\mathbf {0}$ ) إذا وفقط إذا $B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,$ أين $\mathbf {w} =P^{-1}\mathbf {v} =C^{-1}\mathbf {v}$ . مثل $B$ وهي مرتبة على شكل أعمدة متدرجة، $B\mathbf {w} =\mathbf {0}$ ، إذا وفقط إذا كانت المدخلات غير الصفرية لـ $\mathbf {w}$ تتوافق مع الأعمدة الصفرية من $B$ عن طريق الضرب في $C$ ، يمكن للمرء أن يستنتج أن هذا هو الحال إذا وفقط إذا $\mathbf {v} =C\mathbf {w}$ هو توليفة خطية للأعمدة المتناظرة من $C$ .

الحساب العددي

تعتمد مشكلة حساب النواة على جهاز الكمبيوتر على طبيعة المعاملات.

المعاملات الدقيقة

إذا كانت معاملات المصفوفة أعدادًا معطاة بدقة، فيمكن حساب شكلها العمودي المتدرج باستخدام خوارزمية باريس بكفاءة أعلى من طريقة الحذف الغاوسي. بل إن استخدام الحساب النمطي ونظرية الباقي الصينية أكثر كفاءة ، إذ يُختزل المسألة إلى عدة مسائل متشابهة على الحقول المنتهية (وهذا يتجنب العبء الإضافي الناتج عن عدم خطية التعقيد الحسابي لضرب الأعداد الصحيحة).

بالنسبة للمعاملات في حقل منتهٍ، فإن حذف غاوس يعمل بشكل جيد، ولكن بالنسبة للمصفوفات الكبيرة التي تحدث في التشفير وحساب أساس غروبنر ، توجد خوارزميات أفضل معروفة، والتي لها نفس التعقيد الحسابي تقريبًا ، ولكنها أسرع وتتصرف بشكل أفضل مع أجهزة الكمبيوتر الحديثة .

العمليات الحسابية ذات الفاصلة العائمة

بالنسبة للمصفوفات التي تكون عناصرها أعدادًا عشرية ، فإن مسألة حساب النواة لا تكون ذات معنى إلا للمصفوفات التي يتساوى فيها عدد الصفوف مع رتبتها: نظرًا لأخطاء التقريب ، فإن المصفوفة العشرية غالبًا ما تكون كاملة الرتبة ، حتى عندما تكون تقريبًا لمصفوفة ذات رتبة أصغر بكثير. وحتى بالنسبة للمصفوفة كاملة الرتبة، لا يمكن حساب نواتها إلا إذا كانت جيدة التكييف ، أي ذات رقم تكييف منخفض . ^{[ 5 ]}

حتى بالنسبة للمصفوفات كاملة الرتبة ذات الحالة الجيدة، لا تعمل طريقة الحذف الغاوسي بشكل صحيح، إذ تُدخل أخطاء تقريب كبيرة جدًا بحيث لا يمكن الحصول على نتيجة ذات دلالة. ولأن حساب نواة المصفوفة هو حالة خاصة من حل نظام متجانس من المعادلات الخطية، يمكن حساب النواة باستخدام أي من الخوارزميات المختلفة المصممة لحل الأنظمة المتجانسة. وتُعد مكتبة Lapack من أحدث البرامج لهذا الغرض .

انظر أيضاً

ملاحظات ومراجع

↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "النواة" . mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 2019-12-09 .
1 2 "Kernel (Nullspace) | Brilliant Math & Science Wiki" . brilliant.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2019-12-09 .
↑ يُعدّ الجبر الخطي، كما نوقش في هذه المقالة، فرعًا رياضيًا راسخًا جدًا، وله مصادر عديدة. ويمكن الاطلاع على معظم محتوى هذه المقالة في كتابات لاي (2005) ، وماير (2001) ، ومحاضرات سترانج.
1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية الرتبة والعدم" . mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 2019-12-09 .
↑ "نسخة مؤرشفة" (PDF) . مؤرشفة من الأصل (PDF) بتاريخ 29-08-2017 . تم الاطلاع عليها بتاريخ 14-04-2015 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title ( link )

فهرس

أكسلر، شيلدون جاي (1997)، الجبر الخطي بشكل صحيح (الطبعة الثانية )، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-98259-0.
لاي، ديفيد سي. (2005)، الجبر الخطي وتطبيقاته ( الطبعة الثالثة)، أديسون ويسلي، رقم ISBN 978-0-321-28713-7.
ماير، كارل د. (2001)، تحليل المصفوفات والجبر الخطي التطبيقي ، جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية (SIAM)، رقم ISBN 978-0-89871-454-8تمت أرشفة هذا النص من النسخة الأصلية بتاريخ 31-10-2009.
بول، ديفيد (2006)، الجبر الخطي: مقدمة حديثة ( الطبعة الثانية)، بروكس/كول، رقم ISBN 0-534-99845-3.
أنطون، هوارد (2005)، الجبر الخطي الابتدائي (نسخة التطبيقات) ( الطبعة التاسعة)، وايلي الدولية.
ليون، ستيفن ج. (2006)، الجبر الخطي مع التطبيقات ( الطبعة السابعة)، بيرسون برنتيس هول.
لانغ، سيرج (1987). الجبر الخطي . سبرينغر. ISBN 9780387964126.
تريفثين، لويد ن.؛ باو، ديفيد الثالث (1997)، الجبر الخطي العددي ، سيام، رقم ISBN 978-0-89871-361-9.

روابط خارجية

"نواة المصفوفة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
أكاديمية خان ، مقدمة إلى الفضاء الصفري للمصفوفة

[1] وايسشتاين، إريك دبليو. "النواة" . mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 2019-12-09 .

[:0-2] 1 2 "Kernel (Nullspace) | Brilliant Math & Science Wiki" . brilliant.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2019-12-09 .

[textbooks-3] يُعدّ الجبر الخطي، كما نوقش في هذه المقالة، فرعًا رياضيًا راسخًا جدًا، وله مصادر عديدة. ويمكن الاطلاع على معظم محتوى هذه المقالة في كتابات لاي (2005) ، وماير (2001) ، ومحاضرات سترانج.

[:1-4] 1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية الرتبة والعدم" . mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 2019-12-09 .

[5] "نسخة مؤرشفة" (PDF) . مؤرشفة من الأصل (PDF) بتاريخ 29-08-2017 . تم الاطلاع عليها بتاريخ 14-04-2015 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title ( link )

[ 1 ]

3 ] [

[ 5 ]